抛物线的简单几何性质高二上数学人教A版（2019）选择性必修1

抛物线的简单几何性质

第三章圆锥曲线的方程复习回顾定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(parabola).点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.图像

标准方程焦点坐标准线方程探究新知追问

那其他的形式的抛物线方程呢？当x的值增大时，ǀyǀ的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.1.范围KFM(x,y)••xyOH••M′(x,-y)关于x轴对称即点(x,-y)也在抛物线上,故抛物线y2=2px(p>0)关于x轴对称.则(-y)2=2px,

若点(x,y)在抛物线上,即满足y2=2px，2.对称性我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.4.离心率探究新知3.顶点定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点.∴y2=2px(p>0)中，令y=0，则x=0.即抛物线y2=2px(p>0)的顶点(0,0).KFM••xyOH由定义知,抛物线的离心率为e=1.抛物线上的点M与焦点F的距离和它到准线的距离d之比

，叫做抛物线的离心率，用e表示.探究新知过焦点且垂直于对称轴的弦|AB|=2p5.通径ABy2=2px2pxlFyO抛物线方程中2p的几何意义：利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.2p越大，抛物线张口越大探究新知连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径.焦半径公式：6.焦半径xlFMyO(x0,y0)追问

那其他的形式的抛物线方程呢？xlFAyOB(x1,y1)(x2,y2)焦点弦公式：7.焦点弦过抛物线的焦点的线段(1)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸,但没有渐近线；(2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;(3)抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线；(4)抛物线的离心率e是确定的为１,(5)抛物线的通径为2p,2p越大,抛物线的张口越大.归纳方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦

通径y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pylFyxOlFyxOlFyxOx≥0,y∈Rx≤0,y∈Rx∈R,y≥0x∈R,y≤0lFyxO关于x轴对称关于y轴对称

(0,0)抛物线的简单几何性质例题讲解ll例1

已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2,),求它的标准方程.因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过M(2,),解:所以设方程为：又因为点M在抛物线上，所以：因此所求抛物线标准方程为：例题讲解例2

斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长.lFAA1xyBB1例题讲解例2

斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长.lFAA1xyBB1

解法1（代数法）：

由题意知：抛物线的焦点F(1,0),联立得：例题讲解例2

斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长.lFAA1xyBB1

解法2（几何法（数形结合））：

例题讲解课堂小结方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦

通径y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pylFyxOlFyxOlFyxOx≥0,y∈Rx≤0,y∈Rx∈R,y≥0x∈R,y≤0lFyxO关于x轴对称关于y轴对称

(0,0)抛物线的简单几何性质探究新知1.抛物线的焦半径、焦点弦长公式特别的：焦点弦垂直抛物线的对称轴，则其称为通径，长为2P（最短）.2.抛物线的焦半径长的倒数和是定值3.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于OxyBAF直线的反斜截式（优越性）探究新知4.以抛物线的焦点弦为直径的圆与准线相切探究新知直线与圆锥曲线的有关综合问题,我们已经接触了一些,在我们看来就是三句话的实践:(一)设而不求;(二)联立方程组,根与系数的关系;(三)大胆计算分析,数形结合活思维.xyO直线与抛物线位置关系种类1.相离(0个交点)；2.相切(1个交点)

；3.相交(1个交点,2个交点)例题讲解⑴只有一个公共点⑵有两个公共