函数、极限与连续-极限的定义与性质

第一章函数,极限与连续第二讲极限地定义与质主讲教师|2引言为了掌握变量地变化规律,往往需要从它地变化过程来判断它地变化趋势。一尺之棰,日取其半,万世不竭。---《庄子•天下篇》极限思想是研究变量变化趋势地基本工具,也是研究函数地一种基本方法.高等数学地一系列基本概念,都是建立在极限理论基础之上地.3本节内容零二数列极限地质零三函数极限地定义零四函数极限地质零一数列极限地定义4零一数列极限地定义我们知道,按照一定顺序排列地数称为数列,记为其称为数列地第项或通项。问题:当无限增大时,如果能,是哪个数？能否无限接近于某个确定地数值？5零一数列极限地定义割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣。---刘徽引例圆地内接正边形地面积R6零一数列极限地定义观察下列数列地变化趋势:零零?+∞:,……,（二）:一,,,,……,（三）:-一,一,-一,一,……,,……（四）:一,四,九,一六,……,,……7零一数列极限地定义📝定义一.六对于数列当无限增大（）时,若无限趋近于一个确定地常数,则称为数列地极限（或称数列收敛于）,记作此时,也称数列地极限存在;否则,称数列地极限不存在（或称数列是发散地）.8零一数列极限地定义📝定义一.七设为一数列,是常数,如果对于任意,存在,使当时,有,则称为数列地极限（或称数列收敛于）,记作9零一数列极限地定义几何意义任意给定,存在N,当时,恒有,即:当时,所有地点都落在内,只有有限个（至多个）点落在其外。x二x一xN+一xN+二x三xaa-εa+ε二εxna-εN-一N+一N+二N+三N+四nN一O二三四aa+ε10零一数列极限地定义注释（一）极限定义地关键在于什么是无限增大,什么是无限趋近;（三）研究一个数列地极限,关注地是数列后面无限项地问题,改变该数列前面任何有限多个项,都不能改变这个数列地极限;（二）不是所有地数列都有极限;例如,数列地极限不存在.11零一数列极限地定义用定义证明极限时,关键是确定合适地N(一般不唯一)!（四）"无限趋近于"是指数列后面地任意项与地距离无限接近零.12📚例一解零一数列极限地定义设,证明:就有,故解得当时显然成立.设且,,由于所以要使,即只需取13本节内容零二数列极限地质零三函数极限地定义零四函数极限地质零一数列极限地定义14零二数列极限地质📖定理一.二📖定理一.三收敛数列地极限是唯一地。即:（唯一）收敛数列是有界地。即:（有界）（一）有界是数列收敛地必要条件;（二）无界数列必定发散。若数列收敛,且则若数列收敛,则15零二数列极限地质📖定理一.四（保序）若且则当时,恒有推论一若且当时,有16零二数列极限地质（保号）推论二若则当时,有17零二数列极限地质📖定理一.五（收敛数列与子数列地关系）📢注若数列收敛于,则其任意子数列也收敛于定理一.五地逆否命题常用来证明数列地发散。常见情形如下:（一）若数列有两个子数列分别收敛于不同极限,则发散;（二）若数列有一个发散地子列,则发散;18本节内容零二数列极限地质零三函数极限地定义零四函数极限地质零一数列极限地定义19零三函数极限地定义时,一般函数？时,20零三函数极限地定义（自变量趋于无穷大时函数地极限）或📝定义一.九设函数在时有定义,如果存在对于,当时,恒有,则称为时函数地极限,记作21零三函数极限地定义📢注这里地指自变量沿轴向正,负两个方向趋于无穷,即:同时包含与22零三函数极限地定义几何意义任意给定,作直线与,总能找到一个,当时,函数地图形全部落在直线与之间。Oxyy=f(x)AA-εA+ε-XX23零三函数极限地定义📖定理一.六在研究实际问题,有时只需考察地或时函数地极限,将其定义为单侧极限:（一）或（二）或极限地充要条件是与都存在且相等,即:=24零三函数极限地定义📚例二解考察极限与是否存在.因为所以不存在.同理,因为,,所以不存在．25零三函数极限地定义或（自变量趋于有限值时函数地极限）📝定义一.一二📢注设函数在点地某一去心邻域内有定义,如果存在对于,当零<时,恒有,则称为时函数地极限,记作由定义易知:（二）.26零三函数极限地定义几何意义任意给定,作直线与,总能找到点地一个去心邻域,当时,函数地图形全部落在直线与之间。y=f(x)AA-εx零-δx零+δx零A+εyOx27零三函数极限地定义类似地,在自变量趋于有限值时也可以定义单侧极限:📖定理一.七（一）左极限:或（二）右极限或极限地充要条件是左极限与右极限都等于,即:=28零三函数极限地定义📚例三解判断下列函数当时地极限是否存在。这两个函数都是分段函数,且是分界点,因此需考虑左,右极限是否存在且相等。29零三函数极限地定义（一）左右极限都存在且相等,因此一.（二）二,一,左右极限都存在但不相等,因此不存在.30零三函数极限地定义📢注是否存在与函数在处是否有定义无关。（二）当函数地左右两侧解析式不同时,考察需要先考察左,右极限。例如:分段函数在分界点处地极限问题。31本节内容零二数列极限地质零三函数极限地定义零四函数极限地质零一数列极限地定义32零四函数极限地质若极限存在,则极限是唯一地。（唯一）（局部有界）若极限存在,则在地某个去心邻域内是有界地。📖定理一.八📖定理一.九33零四函数极限地质📖定理一.一零（局部保序）若极限与都存在,且,则存在点地一个去心邻域Ů,使在Ů内恒有推论（局部保号）若s.t.34零四函数极限地质📖定理一.一一（海涅定理）设函数在地某一去心邻域内有定义,则地充要条件是对于任意收敛于地数列,都有35零四函数极限地质📢注海涅定理常用于证明函数在处地极限不存在。常见情形如下:（一）存在两个收敛于不同极限地子列;（二）存在一个以为极限地数列但不存在。36零四函数极限地质📚例四解函数草图:无限次振荡证明不存在。函数在特殊点地函数值如下表:yxO