第一章章末总结

章末总结网络建构知识辨析×√判断下列说法是否正确.(请在括号中填“√”或“×”)1.“x>0”是命题.(

)2.一个命题的逆命题和这个命题的否命题是互为逆否命题.(

)3.互逆、互否的两个命题真假性没有关系.(

)4.若A是B的充分条件,C是B的必要条件,则A是C的必要条件.(

)5.设命题p,q对应的集合分别为A,B,若p是q的充分不必要的条件,则BA.(

)6.“若p,则q”的否定为“若﹁p,则﹁q”.(

)7.“三角形都存在一个外接圆”中的“存在”为特称量词.(

)√××××题型一命题的关系及其真假判定题型归纳素养提升【典例1】(1)(2018·洛阳高二期中)已知命题“若{an}是常数列,则{an}是等差数列”,在其逆命题、否命题和逆否命题中,假命题的个数是

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(1)解析:若{an}是常数列,则{an}是等差数列正确,即原命题正确,则逆否命题也正确.命题的逆命题为若{an}是等差数列,则{an}是常数列,当公差d≠0时,{an}不是常数列,故逆命题为假命题,则否命题为假命题,故假命题的个数为2.答案:2(2)已知a,b,c∈R,写出命题“若ac<0,则方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断这三个命题的真假.(2)解:逆命题“若方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)有两个不相等的实数根,则ac<0”,是假命题.如当a=1,b=-3,c=2时,方程x2-3x+2=0有两个不等实根x1=1,x2=2,但ac=2>0.否命题“若ac≥0,则方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)没有两个不相等的实数根”,是假命题.这是因为它和逆命题互为逆否命题,而逆命题是假命题.逆否命题“若方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)没有两个不相等的实数根,则ac≥0”,是真命题.因为原命题是真命题,而逆否命题与原命题等价.规律方法(1)对四种命题的真假判断,一般先改写成“若p,则q”的形式,再判断或利用等价命题进行判断.(2)对于特称或全称命题真假的判断,涉及指数函数、二次函数和三角函数等知识点,但难度不大,处理此类问题的关键是准确利用所学知识逐个进行判断,灵活采用各种判断方法.题型二充分必要条件的判定(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)非充分非必要条件 (D)充要条件(2)(2018·武汉二中高二期末)“a=-2”是“直线(a+2)x+3ay+1=0与直线(a-2)x+(a+2)y-3=0相互垂直”的(

)(A)充要条件 (B)充分非必要条件(C)必要非充分条件 (D)既非充分也非必要条件规律方法

判断充分必要条件时关键是要分清命题的条件与结论,如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时,可以通过举出恰当的特例来说明.题型三含逻辑联结词的命题(A)p为真 (B)﹁p为假(C)p∧q为假 (D)p∨q为真(1)解析:p假,q假,故选C.(2)设集合A={x|-2-a<x<a,a>0},命题p:1∈A,命题q:2∈A.若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求a的取值范围.规律方法判断含有逻辑联结词的命题真假的方法(1)先确定简单命题p,q.(2)分别确定简单命题p,q的真假.(3)利用真值表判断所给命题的真假.题型四命题的否定与否命题(2)写出下列各命题的否定及其否命题,并判断它们的真假.①若x,y都是奇数,则x+y是偶数;②若一个数是质数,则这个数是奇数.(2)解:①命题的否定:x,y都是奇数,则x+y不是偶数,为假命题.原命题的否命题:若x,y不都是奇数,则x+y不是偶数,是假命题.②命题的否定:若一个数是质数,则这个数不是奇数,是假命题.原命题的否命题:若一个数不是质数,则这个数不是奇数,为假命题.规律方法

(1)命题的否定只否定结论;(2)否命题对条件和结论都要否定.题型五等价转化思想【典例5】

设集合A={x|-x2+x+6≤0},关于x的不等式x2-ax-2a2>0的解集为B(其中a<0).(1)求集合B;解:(1)x2-ax-2a2>0⇔(x-2a)(x+a)>0,解得x>-a或x<2a.故集合B={x|x>-a或x<2a}(a<0).(2)设p:x∈A,q:x∈B,且﹁p是﹁q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.规律方法本题通过“﹁q⇒﹁p”(若﹁q,则﹁p)得到p⇒q(若p,则q),用到了等价转化的思想,利用命题的等价性解题,在求一些参数的范围问题时,显得简单快捷.题型六易错辨析1.不能准确判断充要条件【典例6】

判断下列各题中的条件p是结论q的什么条件.条件p:ax2+ax+1>0的解集是R.结论q:0<a<4.错解:因为当0<a<4时,Δ<0,所以当0<a<4时,ax2+ax+1>0恒成立,故q⇒p.当ax2+ax+1>0的解集是R时,有0<a<4,所以p是q的充要条件.纠错:此类题目的易错点是在用定义判断时,忽略了无论是p⇒q,还是q⇒p,均要认真考虑是否有反例,这一点往往是判断充分性和必要性的关键和难点.题中,根据一元二次不等式的解法考虑此题,忽略了a=0时原不等式变为1>0这一绝对不等式的情况.2.对命题的否定不全面真题体验1.(2015·全国Ⅰ卷)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则﹁p为(

)(A)∀n∈N,n2>2n (B)∃n∈N,n2≤2n(C)∀n∈N,n2≤2n (D)∃n∈N,n2=2nC解析:由特称命题的否定为全称命题知选C.2.设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的(

)(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:若λ<0,不妨取λ=-1,则m=λn表示非零向量m,n反向共线,必有m·n<0;反之,若m·n<0,非零向量m,n不一定反向共线(可能夹角为钝角),也就是不一定有m=λn,所以“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件,故选A.A3.已知命题p:∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2.下列命题为真命题的是(

)(A)p∧q (B)p∧﹁q (C)﹁p∧q (D)p∧﹁qB解析:因为x>0,所以+1>1,所以ln(x+1)>ln1=0.所以命题p为真命题,所以﹁为假命题.因为a>b,取a=1,b=-2,而12=1,(-2)2=4,因此a2<b2,所以命题q为假命题,所以﹁q为真命题.所以q∧q为假命题,p∧﹁q为真命题,﹁p∧q为假命题,﹁p∧﹁q为假命题.故选B.4.已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的(

)(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:因为S4+S6>2S5⇔S4+S4+a5+a6>2(S4+a5)⇔a6>a5⇔a5+d>a5⇔d>0,所以“d>0”是“S4+S6>2S5”的充分必要条件.故选C.C5.命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是(

)(A)∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2(B)∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2(C)∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2(D)∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2解析:∀的否定是∃,∃的否定是∀,n≥x2的否定是n<x2.故选D.D①若点A的“伴随点”是点A′,则点A′