2023年高考数学第32讲 可化为等差

第32讲可化为等差、等比数列的数列问题

一、知识聚焦

等差数列与等比数列是两类最基本的数列,也是两个重要的数学模型,有些数列问题从表层

看并非是等差或等比模型，但是借助于变形、代换等方法转化为这两类基本数列(模型)而求

解，有些数列问题是由若干等差、等比数列结合在一起得到的，我们称之为“生成数列”，通

过分解还是归结为运用等差或等比数列的相关知识求解.

二、精讲与训练

【核心例题1]

如果有穷数列弓,。2，/，，品(机为正整数)满足条件：

q=a2=a,“_],,am=a｛,即/=aH,_/+l(2=1,2,,m),我们称其为"对称数列"•

比如:数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,2,4,8都是“对称数列”.

⑴设｛4｝是7项的“对称数列”，其中仇也也也是等差数列，且伍=2也=11,依次写出

低｝的每一项.

⑵设｛%｝是49项的“对称数列”，其中。25，。26，，C、49是首项为11公比为2的等比数列，

求｛，,｝各项的和S.

(3)设｛4｝是100项的“对称数列”，其中41,42，，4oo是首项为2,公差为3的等差数

列,求｛4,｝前〃项的和Sn(〃=1,2,,100).

【解题策略】

等差数列和等比数列是数列的两个基本的模型,这是高考中的热点之一,然而命题中常常把

这两个基本的模型进行组合得到数列的一些新概念、新定义，如等和数列、等积比数列以及

本题中的对称数列等.穹际上这类问题并不是难题,关键是要“吃透”新概念的含义以及与

已学知识的关系，在解题过程中运用好找们熟知的数学工具.

【解】

⑴设数列也｝的公差为d,则仇=4+3〃=2+3d=11,解得d=3.数列也｝为

2,5,8,11,8,5,2.

(2)S=C｝+c2++C49=2(/+026++C49)—。25

=20+2+2?++224)-1=2(225-1)-1=226-3=67108861.

⑶41=24x)=2+3x(50-1)=149.

由题意得4,W，，4o是首项为149,公差为-3的等差数列.

n(n-\]z、3o301

当几,50时，S〃=4+4+=149〃H------(-3)=一]〃+—^―H.

当5掇!h100时,S〃=4+&++4=850+(41+42++4?)

/、(〃一50)(〃一51)3299

=3775+2x(n-50)+^----八------^x3=-n92一一—n+7500.

v'222

33011网i

Yl2H〃/双方50,

2---2

c_J3OQQ

n-|-n2一一—/?+7500,50100.

【变式训练1】

已知数列｛4｝,也｝的通项公式分别为an=3n+6也=2〃+7(〃eN)将集合

｛乂x=a„,«GN*｝u｛^x=2，〃eN*｝中的元素从小到大依次排列，构成数列

C]，。2,C3,,C〃,

(1)求C],J，。4,

(2)证明：在数列(c,J中但不在数列也｝中的项恰为4，4，,%,，-•

(3)求数列｛%｝的通项公式.

【变式训练2】

定义:将一个数列中的部分项按原来的顺序排成一个新数列,称为原数列的一个子数列.

⑴写出等比数列｛2"｝的一个子数列的通项公式.

(2)已知«„=3/7-1,是否存在｛q｝的无穷等比子数歹岬若存在,求出这样的子数列

的通项公式;若不存在,说明理由.

(3)根据(1)(2),试给出一个关于等差数列、等比数列及其子数列的真命题，并证明.

【核心例题2】

对负整数a,数4a+3,7a+7M2+8a+3依次成等差数列.

(1)求a的值.

(2)若数列｛q｝满足4用="用—2a”(〃eN*),q=加，求a,的通项公式.

⑶若对任意nGN*,有生,向<a2„_,,求m的取值范围.

【解题策略】

本例考查等差数列的概念,由数列的道推式求通项公式，由数列不等式求参数q的取值

范围,三小间环环相扣，前后呼应,若前面小问没有解好,会直接影响后面小问的求解.在第

(2)问的求解中可以依据递推关系的特征.用构造法构造特殊数列(等差或等比数列)求通项

公式,也可以运用迭代法求解.迭代法是一种优美的且适用范围更广的解法，其难点是探求迭

代后的规律，而构造法的关键是发现递推公式的特点，通过适当的变形构造新数列，由递推关

系求出通项公式.构诰法和迭代法是两种最为基本的解题通法.第(3)问，在有了｛an｝的通项

公式之后,再运用含参不等式恒成立的条件实施参变分离,求加的取值范围.

【解】

(1)依题意有(4a+3)+(/+8a+3)=2(7a+7),即a2-2a-8=0,

解得Q=-2或Q=4.,QV0,二Q=-2.

(2)【解法一】(构造法之一，构造等差数列)

原递推式即为4+1=(―2)向一2%,.•.普瑞一事=1.

从而数列｛是以-%为首项，1为公差的等差数列.

(-2)"2

•・・言=一曰+(〃T)•=皿-2)"7+(〃一1)(一2)”.

【解法二】(构造法之二，构造等比数列)

%=-2%+(-2严.

令%+。(>+1)(-2产=-2[an+4〃(-2)"].

比较两式得4=-1.故原式为-(“+1)(—2严=一2[凡一〃(一2)[.

数列一〃(—2)"｝是首项为q+2=m+2,公比为—2的等比数列.

,,_|

an-n(-2)"=(m+2)(-2),an=砥—2产+(〃—1)(—2)”.

【解法三】(迭代法)

由怎=(-2)，，+1-2%得%=-2的+(―2)"=-2[-2联+(一2尸]+

(一2)"=(—2)2q_2+(—2)"+(—2)"=(-2)2[—2a“_3+(-2)"2]+2x(—2)"

=(-2)34_3+3x(—2)"==(—2厂”+(〃7)(—2)"

=m(—2尸+(〃-1)(—2)”.

⑶由%<a2n-\对〃€N均成立得

见-2)2"+2〃(一2)2向<加(一2产-2+(2〃-2)(-2/1对〃eN*恒成立.

(-2产-2>0,.♦.可对不等式两边同时除以(-2产-2,

得4加+(-8)x2〃<加+(-2)(2〃一2),得根<I.">4对〃GN*均成立.

一.112«+4„,1616

而〃=1时，-------最小,为J一./.m<一.

333

【变式训练1】

⑴在数列｛%｝中，已知q=1,当〃..2时，有a“=3。,,_]+24=3a“_i+2,求通项％.

⑵在数列｛4｝中，4=1,%=/+(2〃+。(〃eN)其中实数cH0,求｛%｝的通

项公式.

【变式训练2】

1,n=l,

已知数列｛q｝中，若为=45a“T—2求数列｛4｝的通项公式.

.2a“_i

【核心例题3】

设各项均为正数的数列｛%｝的前n项和为5“.

⑴若2底=%+1(〃eN"),求数列｛4｝的通项公式.

若底=为常数)，且求数列的通项公式.

(2)a„+i/(neN\MeR,M2a2=4+6•｛4｝

(3)若=2aN*,2,”eR,2,M为常数)，且2a2=q+6.求数列｛a“｝的通项

公式.

(4)若Js“+c=2a“+u(jiGN*,4〃,ceR,%”,c为常数)，且2a?=4+%.证明：｛a“｝

为等差数列.

【解题策略】

本例各题已知E与%的关系，探求数列｛4｝的通项公式或证明｛%｝为等差数列.由于

底与。”的线性表达式从不含参数到含有一个参数、两个参数,从而使问题的难度逐级上

升.解题的关键是把题设中的后或后&与%的关系式进行变形,确定参数值或两个参

数之间的关系，即朝题意的目标前进.

【解】

⑴由2s=an+\得4S„=(4+1)?,①

则4s,田=(%+M②

②一①得4a"+[=+2。“+|-2an,

整理得(4+i+%)(%+「%)=2(%+«„)-

■«„>0,可得。向一q=2,数列｛为｝为等差数歹ij,公差d=2,

又有2同=4+1,解得4=1,｛凡｝的通项公式为4=2〃-1.

(2)由条件知〃],%，生成等差数歹I」，得4+〃,。2+4,%+〃也成等差数列.

向S，店成等差数列.即2店=6+店.

也即2jq+4=瓜+J亚，两边平方整理得3q+a?=213a1al，可知々=3al.

又由2%=q+%，得4=5q.

把〃=1,〃=2分别代入卮=an+u,结合。2=3区分解得yfa^=4+〃,2=3/+〃,

解得.

二点=%+；,与(1)的方法相同,可以证明当〃eN*时,数列｛%｝为等差数列，

从而求得见=2言〃一」1.

(3)由条件知4，〃2，〃3成等差数列，得+〃也成等差数列.

二属，底，何'成等差数列，即2病=6+病I同⑵得%=3q,%=54.

把〃=L〃=2分别代入=结合的=34，得

=必+〃,2yJ~a^=3鸡+u,

解得丸=--p=,U=----,All=一,U,------y

2W24।4储

将卮=乜+"平方得s“=雨+2&…+呆+/•①.

=矛匕如用+/=丸

S“+i।+2/124+|+|«„+|+/②

@■①，得2

A(«n+1+a„)(a„+1-a„)=|(a,i+l+«„).：

=我当〃wN*时，数列｛q｝为等差数歹山

2n-l

又q犷,',凡=方

(4)由条件知%成等差数列，设它们的公差为小

由yjSn+c=丸。〃+〃4导Sn+c=2“。；+

S]+c=+24〃q+〃2,(T)

，+c=2"。；+2几(2)

S3+c=%~a；+2AMi3+UJ(3)

222

©-①得%=42。(2%—4)+2々4：整理得(2Ad-l)a2=Ad-2Audf④

2f222

③-②得a3=Ad(2a3-d)+2Aud^n(2Ad-l)a3=Ad-2Aiid9⑤:

⑤-④得(222〃—1”=O,由于d=0显然不合题意,，.•.d=」T.

2A-

代人④解得Aw=—,,S+c=4%：+2Aua+u2+