拓展03 全等三角形基础证明题不含辅助线（9种类型）（原卷版）

拓展03全等三角形基础证明题不含辅助线（9种类型）【类型一】平移模型1．如图，点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：△ABC≌△CDE．2．如图，已知点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，∠A=∠D，AB∥(1)△ABC≌△DEF；(2)AC∥3．如图，在△ABC和△DEF中，AB∥DE，AC∥DF，(1)求证：△ABC≌(2)分别连接AD，BE，CF，探索线段AD，CF，BF之间的位置关系和数量关系，并证明结论．4．已知：如图，BC∥EF，AB=DE，BC=EF．证明：△ABC≌△DEF．【类型二】轴对称模型5．如图，AE=AF,AC=AD,求证：∠C=∠D．6．如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B=∠E=90°，AC=DF，BF=EC，求证：

7．如图，AB=AD，CB⊥AB于点B，CD⊥AD于点

8．如图，AC=AE，

(1)求证：AB=AD(2)求证：EM=CN【类型三】旋转模型9．如图，点E在AB上，CD=CA，DE=AB，∠DCA=∠DEA．求证：CE平分∠BED．10．如图，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接

(1)求证：∠ABC=∠AED；(2)求证：BD=CE．11．如图，点B在CD上，OB=OD，AB=CD，∠OBA=∠D；(1)求证：△ABO≌△CDO；(2)当AO∥CD，∠BOD=30°，求12．如图，点E在△ABC边AC上，AE=BC，BC∥AD，∠D=∠BAC．求证：【类型四】角平分线模型13．在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，AB=7cm，AD平分(1)求证：△ACD≌△AED；(2)求EB的长．14．如图，已知DE⊥AB垂足为E，DF⊥AC垂足为F，BD=CD，BE=CF．

(1)求证：AD平分∠BAC；(2)丁丁同学观察图形后得出结论：AB+AC=2AE，请你帮他写出证明过程．15．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F，且BE=CF．线段BD与CD相等吗？说明理由．16．已知AD、CD分别是△ABC内角和外角平分线，它们的交点为D，过点D作DF⊥BC，垂足为F点，作DE⊥AB，垂足为E点，连接BD．求证：BF=BE．【类型五】三垂线模型17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE为BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，在直线CF上截取CD=AE．求证：BD⊥BC．

18．如图1，点A是线段DE上一点，∠BAC=90°，AB=AC，

(1)求证：DE=BD+CE．(2)如图2，点A是线段DE上一点，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥DE，19．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分别是D，E．

(1)求证：△ADC≌△CEB；(2)猜想线段AD，BE，DE之间具有怎样的数量关系，并说明理由．20．如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；(1)若B、C在DE的同侧（如图1所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC；(2)若B、C在DE的两侧（如图2所示），且AD=CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．【类型六】“8”字型21．如图，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，在BD上载取BF=AC，延长CE至点G使CG=AB，连接AF，AG．

(1)求证：AG=AF；(2)求∠GAF的度数；22．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一条直线上，连接BD．(1)△BAD与△CAE全等吗？为什么？(2)请判断BD、23．如图，AC⊥BC，CE⊥DC，CA=CB，CE=CD，AE与BD交于点F，AE与BC交于点G，BD与CE交于点H．

(1)求证：AE=BD；(2)求证：AE⊥BD．24．如图，△ACD和△BCE都是等腰三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AC=DC，BC=EC，AE交CD于点F，BD分别交CE，AE于点G，H．试猜想线段AE和

【类型七】手拉手模型25．如图,AB=CB,BD=BE,∠ABC=∠DBE=a.（1）当a=60°,如图①则，∠DPE的度数______________（2）若△BDE绕点B旋转一定角度，如图②所示，求∠DPE（用a表示）26．已知：如图1，在ΔABC和ΔADE中，∠C=∠E，∠CAE=∠DAB，BC=DE．（1）请说明ΔABC≌ΔADE．（2）如图2，连接CE和BD，DE，AD与BC分别交于点M和N，∠DMB=56°，求∠ACE的度数．（3）在（2）的条件下，若CN=EM，请直接写出∠CBA的度数．27．如图，△ABC和△DCE是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，且∠EBD=52°，求∠AEB的度数．

28．如图，△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，AC、BD交于M．(1)如图1，当α=90°时，∠AMD的度数为；(2)如图2，当α≠90°使，求证：△BOD≌(3)如图3，当△OCD绕O点任意旋转时，∠AMD与α是否存在着确定的数量关系?如果存在，请直接写出数量关系；若不确定，说明理由．【类型八】一线三等角29．已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面问题：①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，求证：BE=CF；②如图2，若∠α+∠BCA=180°，探索三条线段EF，(2)如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，题（1）②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论再给予证明．30．（1）如图1，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，AB>BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为18，求：△ABE与△CDF的面积之和．31．“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．根据对材料的理解解决以下问题：(1)如图1，∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，AC=BC．猜想DE，AD，BE之间的关系：________；(2)如图2，将（1）中条件改为∠ADC=∠CEB=∠ACB=α90°<α<180°，AC=BC，请问（1(3)如图3，在△ABC中，点D为AB上一点，DE=DF，∠A=∠EDF=∠B，AE=3，BF=5，请直接写出AB的长．32．【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AE=BD，则△AED≌_______；②如图2，△ABC为正三角形，BD=CF,∠EDF=60°，则△BDE≌________；③如图3，正方形ABCD的顶点B在直线l上，分别过点A、C作AE⊥l于E，CF⊥l于F．若AE=1，CF=2，则EF的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为1,3，则点C的坐标为________【模型变式】（3）如图5所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，DE=4cm，AD=6cm，求【类型九】动点问题33．如图，在△ABC中，D为AB的中点，AB=AC=10cm，BC=8cm，动点P从点B出发，沿BC方向以每秒3cm的速度向点C运动；同时动点Q从点C出发，沿CA方向以每秒3cm的速度向点(1)在运动过程中，当点C位于线段PQ的垂直平分线上时，求出t的值；(2)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BPD和△CQP全等，若存在，求出t的值．若不存在，请说明理由．34．如图1，在△ABC中，AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°，点P、Q分别是△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从点A、点Q从点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．(1)求证：△ABQ≌(2)点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数．(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，直接写出∠QMC的度数．35．如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF=10cm，AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/(1)求证：AF=AM；(2)当t取何值时，△DFE与△DMG全等．36．如图（1），AB=8cm，AD⊥AB，BC⊥AB，垂足为A、B，AD=BC=6cm，点P在线段AB上以每秒2cm的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC上