中考数学几何模型重点突破讲练：专题21 十字架模型（学生版）

专题21十字架模型【模型】如图21-1，已知正方形ABCD，点E在边AD上，点F在边CD上。AF与BE相交于点O。如果，则，在和中≌如果，则可根据HL证明≌，。【模型变式1】如图21-2，已知正方形ABCD，点E在边AD上，点F在边CD上，点G在边BC上。AF与GE相交于点O。如果【模型变式2】如图21-3，已知正方形ABCD，点E在边AD上，点F在边CD上，点G在边BC上，点H在边AB上。HF与GE相交于点O。如果【例1】如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E，使，若折痕为，则的长为（

）A．13 B．14 C．15 D．16【例2】如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，BF⊥AE交DC于点F，若AB＝5，BE＝2，则AF＝____．【例3】正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G．（1）如图1，求证AE⊥BF；（2）如图2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：AN+CN＝BN；一、单选题1．如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝1.将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（

）A．2 B．2 C．6 D．52．如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE=5，折痕为PQ，则PQ的长为（

）A．12 B．13 C．14 D．153．如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长为（）A． B．3 C． D．4．如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④∠CEA＝∠DFB；⑤中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在DC，BC上，BF=CE=4，连接AE、DF，AE与DF相交于点G，连接AF，取AF的中点H，连接HG，则HG的长为（

）A． B． C．5 D．6．如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为（

）A． B．1 C． D．2二、填空题7．如图，将一边长为的正方形纸片的顶点折叠至边上的点，使，折痕为，则的长__________．8．如图，将边长为8的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的点E处，点A落在点F处，折痕为MN，若MN＝4，则线段CN的长是____．9．如图，正方形的边长是，点，分别是，边上的点，且满足，，连接，交于点，交于点，则四边形的面积为______．10．如图，四边形ABCD为正方形，点E、点G分别为BC、AB边上的点，CE＝BG＝BE，连接DE、CG交于点F，若GF＝3，四边形ABCD的面积为___．11．如图，正方形ABCD的边长为2，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上向各自终点C，B移动，连接AE和DF交于点P，则线段CP的最小值是________．12．如图，点E在正方形ABCD的CD边上，连结BE，将正方形折叠，使点B与E重合，折痕MN交BC边于点M，交AD边于点N，若tan∠EMC＝，ME＋CE＝8，则折痕MN的长为___________．三、解答题13．已知：如图，正方形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，AE⊥BF．(1)求证：AE＝BF；(2)联结BE、EF，如果∠DEF＝∠ABE，求证：．14．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，连接AF，BE相交于点G，且AF＝BE．(1)求证：DE＝CF；(2)若AB=4，DE=1，求GF的长．15．如图1，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点．（1）求证：；（2）如图2，连接、，点、、、分别是、、、的中点，试判断四边形的形状，并说明理由；（3）如图3，点、分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为3，求线段的长．16．如图，正方形ABCD边长为4，点G在边AD上（不与点A、D重合），BG的垂直平分线分别交AB、CD于E、F两点，连接EG．（1）当AG=1时，求EG的长；（2）当AG的值等于时，BE=8－2DF；（3）过G点作GM⊥EG交CD于M

①求证：GB平分∠AGM；

②设AG=x，CM=y，试说明的值为定值．17．已知：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC为正方形．(1)若正方形OABC边长为12，①如图1，E、F分别在边OA、OC上，CE⊥BF于H，且OE＝9，则点F的坐标为（______，_______）．②如图2，若D为x轴上一点，且OD＝8，Q为y轴正半轴上一点，且∠DBQ＝45°，求点Q的坐标．(2)若正方形OABC边长为4，如图3，E、F分别在边OA、OC上，当F为OC的中点，CE⊥BF于H，在直线CE上E点的两侧有点D、G，能使线段AD＝OG，AD//OG，且CH＝DH，求BG．18．如图，正方形中，点为边上一点，点为边上一点，且，连接、交于点．(1)求证：；(2)连接，若平分，求证：；(3)在（2）的条件下，连接，过点作EH∥GD交边于点，交于点，若，求线段FM的长．19．（1）如图1，在正方形ABCD中，AE，DF相交于点O且AE⊥DF．则AE和DF的数量关系为．（2）如图2，在正方形ABCD中，E，F，G分别是边AD，BC，CD上的点，BG⊥EF，垂足为H．求证：EF＝BG．（3）如图3，在正方形ABCD中，E，F，M分别是边AD，BC，AB上的点，AE＝2，BF＝4，BM＝1，将正方形沿EF折叠，点M的对应点与CD边上的点N重合，求CN的长度．20．华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．如图，在正方形中，．求证：．证明：设与交于点，∵四边形是正方形，∴，．∴，∵，∴．∴．∴，∴．∴．某数学兴趣小组在完成了以上解答后，