特级教师改编中考数学几何模型24讲：专题20 瓜豆原理中动点轨迹不确定型最值问题（教师版）

专题8瓜豆原理中动点轨迹不确定型最值问题【专题说明】动点轨迹非圆或直线时，基本上将此线段转化为一个三角形中，（1）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求最值。（2）在转化较难进行时，可借助直角三角形斜边上的中线及中位线或构建全等图形进一步转化求最值。【知识精讲】所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是．【例题】如图，在反比例函数的图像上有一个动点A，连接AO并延长交图像的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图像上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】∠AOC=90°且AO:OC=1:2，显然点C的轨迹也是一条双曲线，分别作AM、CN垂直x轴，垂足分别为M、N，连接OC，易证△AMO∽△ONC，∴CN=2OM，ON=2AM，∴ON·CN=4AM·OM，故k=4×2=8．【思考】若将条件“tan∠CAB=2”改为“△ABC是等边三角形”，k会是多少？

【模型】一、借助直角三角形斜边上的中线1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（）A．6 B． C． D．【解析】如图，取CA的中点D，连接OD、BD，则OD=CD=AC=×4=2，由勾股定理得，BD==2，当O、D、B三点共线时点B到原点的距离最大，所以，点B到原点的最大距离是2+2．

【模型】二、借助三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边1、如图，已知等边三角形ABC边长为2，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴负半轴、轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连接OC，则线段OC长的最小值是（）A．1 B．3 C．3 D．【解析】如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，连接OE，∵△ABC是等边三角形，∴CE=AC×sin60°=，AE=BE，∵∠AOB=90°，∴EOAB，∴EC-OE≥OC，∴当点C，O，E在一条直线上，此时OC最短，故OC的最小值为：OC＝CE﹣EO＝3故选B．

2、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=4，BC=2.运动过程中点D到点O的最大距离是______．【解析】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD≤OE+DE，∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，∵AB=4，BC=2，∴OE=AE=AB=2，DE==，∴OD的最大值为+2，

3、如图，在中，，，，以线段为边向外作等边，点是线段的中点，连结并延长交线段于点.(1)求证：四边形为平行四边形；(2)求平行四边形的面积；(3)如图，分别作射线，，如图中的两个顶点，分别在射线，上滑动，在这个变化的过程中，求出线段的最大长度.【解析】(1)在中，，，，在等边中，，，为的中点，，又，，在中，，为的中点，，，，，，又，，又，，，又，，即，四边形是平行四边形；(2)在中，，，，∴，；(3)取的中点，连结，，，的最大长度4、如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到是的中点，是的中点，连接，若，则线段的最大值为（）A． B． C． D．【解析】连接CN，∵将绕顶点逆时针旋转得到，∴，，∴，，∵是的中点，∴，∵在∆CMN中，MN＜CM+CN，当且仅当M，C，N三点共线时，MN=CM+CN=6，∴线段的最大值为6．故选D．

【模型】三、借助构建全等图形1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是______．【解析】如图，取AB的中点E，连接CE，PE．∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠CBE=60°，

∵BE=AE，∴CE=BE=AE，

∴△BCE是等边三角形，

∴BC=BE，

∵∠PBQ=∠CBE=60°，

∴∠QBC=∠PBE，

∵QB=PB，CB=EB，

∴△QBC≌△PBE（SAS），

∴QC=PE，

∴当EP⊥AC时，QC的值最小，

在Rt△AEP中，∵AE=52，∠A=30°，

∴PE=12AE=54，

∴CQ

2、如图，边长为12的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连结MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连结HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）A．6 B．3 C．2 D．1．5【解析】如图，取BC的中点G，连接MG，∵旋转角为60°，∴∠MBH+∠HBN=60°，又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，∴∠HBN=∠GBM，∵CH是等边△ABC的对称轴，∴HB=AB，∴HB=BG，又∵MB旋转到BN，∴BM=BN，在△MBG和△NBH中，，∴△MBG≌△NBH（SAS），∴MG=NH，根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，此时∠BCH=×60°=30°，CG=AB=×12=6，∴MG=CG=×6=3，∴HN=3；故选：B．【模型】四、借助中位线1、如图，在等腰直角ABC中，斜边AB的长度为8，以AC为直径作圆，点P为半圆上的动点，连接BP，取BP的中点M，则CM的最小值为（）A． B． C． D．【解析】连接AP、CP，分别取AB、BC的中点E、F，连接EF、EM和FM，∴EM、FM和EF分别是△ABP、△CBP和△ABC的中位线∴EM∥AP，FM∥CP，EF∥AC，EF=，∴∠EFC=180°－∠ACB=90°∵AC为直径，∴∠APC=90°，即AP⊥CP∴EM⊥MF，即∠EMF=90°∴点M的运动轨迹为以EF为直径的半圆上取EF的中点O，连接OC，点O即为半圆的圆心当O、M、C共线时，CM最小，如图所示，CM最小为CM1的长，∵等腰直角ABC中，斜边AB的长度为8，∴AC=BC==∴EF==，FC==，∴OM1=OF==根据勾股定理可得OC=∴CM1=OC－OM1=，即CM最小值为故选C．2、如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最小值是（）A． B． C． D．【解析】∵，∴当时，，解得：，∴A点与B点坐标分别为：(，0)，(3，0)，即：AO=BO=3