第3章 晶格振动与晶体热学性质

3.2一维单原子链一、知识点回顾

1.格点：原子的平衡位置2.晶格振动：原子在格点附近的振动3.格波：晶格具有周期性，因而，晶格振动模具有波的形式，称为格波▲关于格波的研究：先计算原子之间的相互作用力，再根据牛顿第二定律列出原子的微分运动方程，最后求解方程。一维单原子链是学习格波的典型例子！1二、原子间的相互作用力

1.平衡时相邻原子距离为a，每个原胞内含有一个质量为m的原子，原子限制在沿链的方向运动2.只考虑最近邻原子间的相互作用3.偏离格点位移

图1一维单原子链假设在平衡位置时，两个原子间的相互作用势能是产生相对位移

在平衡位置展开简谐近似下，相邻原子间的作用力：（1）相互作用势能变为2三、原子的运动方程第（n-1)个原子与第n个原子的相对位移：第（n+1)个原子与第n个原子的相对位移：

它们之间的力：

它们之间的力：第n个原子受到的总力：第n个原子的运动方程：（2）

图1一维单原子链3四、原子运动方程的解和振动频率设运动方程（2）的解为：将其代入设运动方程（2）中，有：消去共同因子，得到：利用欧拉公式后得到：的关系代表一维简单晶格中波矢的色散关系4五、格波的物理意义连续介质波：格波：晶格中格波和连续介质波具有完全类似的形式一个格波表示的是所有的原子同时振动，振动频率为相邻原子间的位相差aq格波的波长：格波的波矢：5六、格波波矢的取值和布里渊区图2格波q的不唯一性图示格波1（红色表示）的波矢相邻原子的位相差格波2（绿色表示）的波矢相邻原子的位相差相邻原子的位相差时，所有原子的振动没有任何改变▲两种波矢下，格波描述的原子振动是完全相同波矢的取值：-------第一布里渊区6七、波恩-卡曼周期性边界条件图3一维链的波恩-卡曼边界条件

由N个原子头尾形成一个环链，它保持了所有原子等价的特点，而且N很大，其中的原子运动近似为直线运动。在处理问题的时要考虑到环链的循环性。当原胞的标数n增加N，振动情况必须复员，即要求：波矢的取值范围：所以h只能取N个整数值，波矢q也只能取N个不同的分立值。所以在第一布里渊区包含N个状态。7八、色散关系图4一维单原子链的ω-q函数关系由于频率是波数的偶函数，所以有只有频率上述变化范围之间的格波才能在晶体中传播，其他频率的格波被强烈衰减。可以将一维单原子晶格看成低通滤波器。8九、长波极限情况当q趋近于零时，频率在长波极限下一维单原子链格波的色散关系和连续介质弹性波的色散关系ω=Vq一致。图5长波极限情况在长波极限下一维单原子链格波可以看作弹性波。格波传播速度：相邻两原子之间的振动位相差：波长：9十、短波极限情况图6短波极限情况短波极限：频率有极大值：格波的波长：此时两个相邻原子的振动位相相反。10十一、原子位移和简正坐标的关系第q个格波引起的第n个原子的位移：第n个原子总的位移：引入变量则有：比较（10）式和得到：简正坐标：线性变换系数：11十二、势能和动能的平方和形式首先证明两个关系式：第一个关系式可从原子位移为实数条件得到：因为也可以写成对（12）式两端取复共轭因为原子位移为实数，比较（13）和（14），可知12第二个关系式是线性变换系数的正交条件令同时注意到：有动能的平方和：13势能的平方和：哈密顿量：14十三、声子1.每一个简正坐标，对应一个谐振子方程，波函数是以简正坐标为宗量的谐振子波函数，能量本征值为：2.声子：晶格振动的能量量子；或格波的能量量子。一个格波就是一种振动模，称为一种声子，能量为声子是一种元激发，可以和电子或