尤承业基础拓扑学讲义

尤承业基础拓扑学讲义汇报人：冯老师2023-12-10CATALOGUE目录拓扑学概述拓扑空间与子空间拓扑基与拓扑子基紧致性连通性分离性公理与Hausdorff空间拓扑学概述01CATALOGUE定义与基本概念拓扑学定义拓扑学是一门研究图形和空间在各种变换下不变性质的数学学科。基本概念拓扑学研究的基本概念包括同胚、同伦、紧致性、连通性、分离性等。拓扑学作为数学的一个分支，起源于19世纪，主要受到几何和代数的启发。拓扑学经历了20世纪的发展，逐渐形成了一套完整的理论体系。拓扑学的历史与发展发展历程历史背景主要研究图形的代数性质，如同胚、同伦等关系的性质和判定。代数拓扑学主要研究几何图形的不变性质，如紧致性、连通性等。几何拓扑学拓扑学的基本分类拓扑空间与子空间02CATALOGUE拓扑空间是一个集合，其中定义了两种关系：邻近关系和包含关系。定义拓扑空间是一个完全抽象的空间，只关注元素之间的邻近性和包含性。性质拓扑空间的定义与性质VS子空间是一个拓扑空间中的子集，它具有与原空间相同的邻近性和包含性。性质子空间是原空间的缩影，具有原空间的许多性质，但不一定具有所有的性质。概念子空间的概念与性质定义连续映射是一个函数，它将一个拓扑空间映射到另一个拓扑空间，并保持元素之间的邻近性和包含关系。性质连续映射保持了原空间的许多性质，如紧性、连通性、分离性等。拓扑空间的连续映射拓扑基与拓扑子基03CATALOGUE任意多个基元素的并集仍然是基元素。基元素的有限交集仍然是基元素。任意两个基元素的并集仍然是基元素。拓扑基的概念：拓扑基是给定拓扑空间中的基础，它由空间中的一些开集构成，且这些开集的并集构成了空间。拓扑基的性质：拓扑基具有以下性质拓扑基的概念与性质拓扑子基的性质：拓扑子基具有以下性质任意两个子基元素的并集仍然是子基元素。任意多个子基元素的并集仍然是子基元素。子基元素的有限交集仍然是子基元素。拓扑子基的概念：拓扑子基是给定拓扑空间中的子集，它由空间中的一些开集构成，且这些开集的并集构成了空间。拓扑子基的概念与性质拓扑基与拓扑子基的关系拓扑基与拓扑子基都是构成拓扑空间的基本元素。在一些情况下，拓扑子基可以包含拓扑基作为其子集。一个拓扑空间可以由一个拓扑基和一个拓扑子基共同定义。拓扑子基可以用来细化拓扑，提供更多的局部信息。紧致性04CATALOGUE如果一个拓扑空间中的任何开覆盖都存在有限子覆盖，那么这个空间就称为紧致空间。紧致空间是闭的，有有限交性质的，且任何紧致空间都包含一个封闭的有限子集。紧致性的定义紧致性的性质紧致性的定义与性质紧致空间的例子与反例有限的拓扑空间、有限的开覆盖、闭区间等都是紧致空间。紧致空间的例子欧几里得空间不是紧致空间，因为对于任何一个有限的开覆盖，总存在一个点不属于任何一个有限子覆盖。反例紧致性在连续映射中的性质如果一个映射将一个紧致空间映射到一个拓扑空间，那么这个映射一定是连续的。证明由于紧致性意味着任何开覆盖都有有限子覆盖，所以映射的像一定是闭的，因此连续。紧致空间与连续映射的关系连通性05CATALOGUE连通性的定义与性质定义：一个拓扑空间X称为是连通的，如果它不能被分解成两个非空的不相交的子空间。性质连通空间不能被分解成两个非空的不相交的子空间。连通空间的补空间不一定是连通的。连通空间的闭包不一定是连通的。例子实数空间R是连通的。要点一要点二反例单位区间[0,1]去掉一点(1/2,1/2)所形成的空间不是连通的。连通空间的例子与反例定理如果X和Y都是Hausdorff空间，且X是连通的，那么连续映射f:X→Y的像f(X)也是连通的。证明假设f(X)不是连通的，则f(X)可以分解为两个非空的不相交的子集A和B，即A和B都不为空。由于X是Hausdorff空间，因此f(X)也是Hausdorff空间，所以存在两个不相交的开集U和V，使得A属于U，B属于V。由于f是连续的，因此存在X中的两个不相交的开集U'和V'，使得f(U')=U和f(V')=V。由于U'和V'是不相交的，因此f(U'\capV')=f(U')\capf(V')=U\capV=\emptyset，这与f是满射矛盾。因此假设不成立，所以f(X)是连通的。连通空间与连续映射的关系分离性公理与Hausdorff空间06CATALOGUE对于空间中的任意两个不同的点x和y，存在不相交的开集O(x)和O(y)，使得x属于O(x)，y属于O(y)。T1分离性公理对于空间中的任意两个不同的点x和y，存在不相交的开集O(x)和O(y)，使得x属于O(x)，y属于O(y)，且O(x)和O(y)都是闭集。T2分离性公理T1分离性公理与T2分离性公理Hausdorff空间的定义：如果拓扑空间中的任意两个不同的点都可以被不相交的开集所分离，则称该拓扑空间为Hausdorff空间。Hausdorff空间的性质任何Hausdorff空间都是T1空间。Hausdorff空间的闭集也是Hausdorff空间。Hausdorff空间的有限乘积是Hausdorff空间。Hausdorff空间的定义与性质01Hausdorff空间的例子02欧几里得空间R^n是Hausdorff空