2024版高考复习A版数学考点考法练习：平面向量的数量积及其应用

高考

数学平面向量平面向量的数量积及其应用基础篇考点平面向量的数量积考向一平面向量的数量积的运算1.(2023届浙南名校联盟联考,3)已知边长为3的正△ABC,

=2

,则

·

=

(

)A.3

B.9

C.

D.6答案

D

2.(2019课标Ⅱ理,3,5分)已知

=(2,3),

=(3,t),|

|=1,则

·

=(

)A.-3

B.-2

C.2

D.3答案

C

3.(2022全国乙理,3,5分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=

,|a-2b|=3,则a·b=(

)A.-2

B.-1

C.1

D.2答案

C

4.(2022江苏淮安车桥中学入学调研,7)已知△ABC的外心为O,2

=

+

,|

|=|

|=2,则

·

的值是

(

)A.

B.

C.2

D.6答案

D

5.(2023届辽宁六校期初考试,13)已知a=(3,4),|b|=

,则(a+b)·(a-b)=

.答案

206.(2022全国甲理,13,5分)设向量a,b的夹角的余弦值为

,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=

.答案

117.(2022湖南三湘名校、五市十校联考,14)已知点P(-2,0),AB是圆x2+y2=1

的直径,则

·

=

.答案

38.(2021新高考Ⅱ,15,5分)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a·b+b·c+c·a=

.答案-

考向二利用平面向量的垂直求参数1.(2023届长春六中月考,5)已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),

则λ=

(

)A.-4

B.-3

C.-2

D.-1答案

B

2.(多选)(2022辽宁大连一中期中,9)已知平面向量

=(-1,k),

=(2,1),若△ABC是直角三角形,则k的可能取值是

(

)A.-2

B.2

C.5

D.7答案

BD

3.(2021全国甲理,14,5分)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,则k=

.答案-

4.(2020课标Ⅰ文,14,5分)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b,则m=

.答案

55.(2021全国乙理,14,5分)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ=

.答案

考向三平面向量的夹角与模1.(2023届湖湘名校教育联合体大联考,3)已知四边形ABCD,设E为CD的

中点,

·

=10,|

|=4,则|

|=

(

)A.2

B.

C.2

D.

答案

A

2.(2022江苏泰州二调,3)已知|a|=3,|b|=2,(a+2b)·(a-3b)=-18,则a与b的夹角

为(

)A.30°

B.60°

C.120°

D.150°答案

B

3.(2022河北邢台“五岳联盟”联考,4)已知向量a=(-2,1),b=(1,t),则下列说

法不正确的是

(

)A.若a∥b,则t的值为-

B.若|a+b|=|a-b|,则t的值为2C.|a+b|的最小值为1D.若a与b的夹角为钝角,则t的取值范围是t<2答案

D

4.(2022新高考Ⅱ,4,5分)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,则

t=(

)A.-6

B.-5

C.5

D.6答案

C

5.(多选)(2023届哈尔滨师大附中月考,9)已知向量a=(1,3),b=(2,-4),则下列

结论正确的是

(

)A.(a+b)⊥aB.向量a与向量b的夹角为

C.|2a+b|=

D.向量b在向量a上的投影向量是(1,3)答案

AB

6.(2023届广东普宁华美实验学校月考,13)已知向量a=(1,1),2a+b=(4,2),则

向量a与b的夹角为

.答案

7.(2022河北邢台期末,14)已知向量a=(1,-

),|b|=3,a·b=3

,则a与b的夹角为

.答案

8.(2022湖南三湘名校联盟联考,13)已知向量a与b的夹角为

,|a|=1,a·(a+b)=2,则|b|=

.答案

29.(2022石家庄二中月考,13)已知单位向量a,b满足|a+b|=1,则|a-b|=

.答案

综合篇考法一求平面向量模的方法1.(2022福建龙岩一模,3)已知向量a,b的夹角为60°,且|a|=1,|2a-b|=

,则|b|=

(

)A.5

B.3

C.4

D.3答案

A

2.(2022福建南平联考,6)已知单位向量e1,e2的夹角为

,则|e1-λe2|的最小值为

(

)A.

B.

C.

D.

答案

C

3.(多选)(2022沈阳三十一中月考,9)若向量a,b满足|a|=|b|=1,且|b-2a|=

,则以下结论正确的是

(

)A.a⊥bB.|a+b|=2C.|a-b|=

D.向量a,b的夹角为60°答案

AC

4.(多选)(2021新高考Ⅰ,10,5分)已知O为坐标原点,点P1(cosα,sinα),P2(cosβ,

-sinβ),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则(

)A.|

|=|

|

B.|

|=|

|C.

·

=

·

D.

·

=

·

答案

AC

5.(2022重庆一中月考,8)已知平面内一正三角形ABC的外接圆半径为4,在

以三角形ABC的中心为圆心,r(0<r≤1)为半径的圆上有一个动点M,则|

+

+3

|的最大值为

(

)A.13

B.

C.5

D.

+6答案

A

6.(2023届湖北摸底联考,13)已知△ABC是边长为1的等边三角形,设向

量a,b满足

=a,

=a+b,则|3a+b|=

.答案

7.(2023届甘肃张掖诊断,13)已知a,b是单位向量,且|a-b|=1,则|a+b|=

.答案

8.(2022河北衡水中学模拟一,14)已知向量a与b的夹角为30°,且|a|=

,|b|=1,设m=a+b,n=a-b,则向量m在n方向上的投影向量的模为

.答案

29.(2021全国甲文,13,5分)若向量a,b满足|a|=3,|a-b|=5,a·b=1,则|b|=

.答案

3

考法二求平面向量夹角的方法1.(2023届福建漳州质检,4)已知a,b,c均为单位向量,且满足a+b+c=0,则<a-

b,c>=

(

)A.

B.

C.

D.

答案

C

2.(2022山东烟台莱州一中开学考,4)已知|a|=

,|b|=4,当b⊥(4a-b)时,向量a与b的夹角为

(

)A.

B.

C.

D.

答案

B

3.(2022福建龙岩一中月考,2)已知向量a,b满足3|a|=2|b|=3,若|a+2b|=

,则a,b的夹角的余弦值为

(

)A.

B.

C.

D.

答案

C

4.(2019课标Ⅲ理,13,5分)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-

b,则cos<a,c>=

.答案

考法三平面向量数量积的综合应用考向一平面向量与平面几何的综合1.(2022福建泉州质量监测二,7)四边形ABCD为梯形,且

=2

,|

|=|

|=2,∠DAB=

,点P是四边形ABCD内及其边界上的点.若(

-

)·(

+

)=-4,则点P的轨迹的长度是

(

)A.

B.2

C.4πD.16π答案

B

2.(2018天津理,8,5分)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则

·

的最小值为(

)

A.

B.

C.

D.3答案

A

3.(2022辽宁部分中学期末,7)已知O为坐标原点,向量

,

,

满足|

|=|

|=|

|=1,(

-

)·(

-

)=0,若|

|=4,则|

+

+

|的取值范围是

(

)A.[11,13]

B.[8,11]C.[8,13]

D.[5,11]答案

A

4.(2023届山西长治质量检测,16)在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,矩形内一点

M(含边界),满足

·

=

,若

=λ

+μ

,当3λ+2μ取得最大值时,

·

=

.答案

2-

5.(2020北京,13,5分)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足

=

(

+

),则|

|=

;

·

=

.答案

-16.(2019天津,14,5分)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2

,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则

·

=

.答案-1考向二平面向量数量积的最值问题1.(2022辽宁六校协作体期中,8)边长为2的正三角形ABC内一点M(包括边

界)满足:

=

+λ

(λ∈R),则

·

的取值范围是

(

)A.

B.

C.

D.[-2,2]答案

B

2.(2020新高考Ⅰ,7,5分)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,

则

·

的取值范围是

(

)A.(-2,6)

B.(-6,2)

C.(-2,4)

D.(-4,6)答案

A

3.(2022湖北部分重点中学联考,6)如图,正六边形ABCDEF的边长为2,动点M从顶点B出发,沿正六边形的边逆时针运动到顶点F,若

·

的最大值和最小值分别是m,n,则m+n=

(

)A.9

B.10

C.11

D.12答案

D

4.(2020天津,15,5分)如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且

=λ

,

·

=-

,则实数λ的值为

,若M,N是线段BC上的动点,且|

|=1,则

·

的最小值为

.

答案

一、单项选择题专题综合检测1.(2022辽宁大连一中期中,6)设向量a,b满足|a+b|=

,|a-b|=1,则a·b=

(

)A.1

B.-1

C.4

D.-4答案

A

2.(2022河北曲阳一中月考,3)已知|a|=4,|b|=1,且(2a-3b)·b=3,则向量a,b的夹

角的余弦值为

(

)A.-

B.

C.

D.-

答案

B

3.(2022湖南常德临澧一中月考,4)已知向量a=(

,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=

,则b=

(

)A.

B.

C.

D.(1,0)答案

B

4.(2020课标Ⅱ文,5,5分)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,

与b垂直的是(

)A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-b答案

D

5.(2022江苏南京、盐城模拟,6)在平面直角坐标系xOy中,设A(1,0),B(3,4),

向量

=x

+y

,x+y=6,则|

|的最小值为

(

)A.1

B.2

C.

D.2

答案

D

6.(2022湖北部分重点中学联考,3)已知|a|=3,|b|=1,|a-2b|=

,则向量a,b的夹角为

(

)A.30°

B.60°

C.120°

D.150°答案

C

7.(2022辽东南协作体期中,6)已知平面向量m,n满足|m|=3,n=(4,-3),且m,n

之间的夹角为60°,则|m-2n|=

(

)A.

B.

C.

D.

答案

C

8.(2018天津文,8,5分)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,

=2

,

=2

,则

·

的值为

(

)

A.-15

B.-9

C.-6

D.0答案

C

9.(2022辽宁六校联考,11)给出下列命题,其中正确的有

(

)A.非零向量a、b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为30°B.若(

+

)·

=0,则△ABC为等腰三角形C.等边△ABC的边长为2,则

·

=2D.已知向量a=(1,-2),b=(k,1)且a⊥(a+b),则k=0答案

AB

二、多项选择题10.(2022湖北部分重点中学联考,11)已知a=(sinα,cos2α+5),b=(3sinα+7,-

1),且a⊥b,则

(

)A.sinα=

B.sin2α=

C.cos2α=

D.若-

<α<

,则tan

=7答案

ACD

11.(2022河北神州智达省级联测,9)设0<θ<π,非零向量a=(sin2θ,cosθ),b=

(cosθ,1),则

(

)A.若tanθ=

,则a∥bB.若θ=

,则a⊥bC.存在θ,使2a=bD.若a∥b,则tanθ=

答案

ABD

12.(2022山东青岛二中期末,10)已知平面向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb(k∈

R),则下列结论正确的是

(

)A.{a,b}可以作为平面内所有向量的一个基底B.若a⊥c,则k=-

C.存在实数k,使得b∥cD.若|cos<a,c>|≤

,则k≤