天文学的宠儿-椭圆

主题2天文学的宠儿—椭圆曲线方程一线牵，坐标建立得表达.点集解集两大集，一一对应找联系.曲线方程“你〞中“我〞，方程曲线“我〞中“你〞.标准方程一般式，理解掌握需牢记.笛卡尔的观点对，点和有序实数对，两者—一来对应，开创几何新途径.解析几何是几何，得意忘形学不活.图形直观数入微，数学本是数形学.联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义可妙用，引参用参妙解题，分清关系思路畅，数形结合关系明，选好选准突破口，一点破译全局活.【数学史话】著名的天文学家、数学家——开普勒1600年，30岁的开普勒贸然给素不相识的丹麦天文学家第谷写信，他把自己研究天文学的成果和想法告诉了第谷.第谷看后，对开普勒的才华惊叹不已，立即写信邀请他来当自己的助手.但是开普勒来到第谷的身边仅10个月，老人便去世了.开普勒继承了这位老人留下的非常珍贵的资料，其中包括老人对火星运动的观测.在第谷的工作根底上，开普勒经过大量的计算，编制成《鲁道夫星表》，表中列出了1005颗恒星的位置.这个星表比其他星表要精确得多，因此直到十八世纪中叶，《鲁道夫星表》仍然被天文学家和航海家们视为珍宝，它的形式几乎没有改变地保存到今天.开普勒和前人都把行星运动当作等速来研究的,他按照这一方法苦苦计算了1年，却仍得不到结果.后来他发现，在椭圆轨道上运行的行星速度不是常数，而是在相等时间内，行星与太阳的连线所扫过的面积相等.这就是行星运动第二定律，又叫“面积定律〞.开普勒第二定律〔面积定律〕：在相等时间内，太阳和运动中的行星的连线〔向量半径〕所扫过的面积都是相等的.这一定律实际揭示了行星绕太阳公转的角动量守恒.用公式表示为：开普勒又经过9年努力，找到了行星运动第三定律：太阳系内所有行星公转周期的平方同行星轨道半长径的立方之比为一常数，即开普勒第三定律〔调和定律、周期定律〕：是指绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量.这里，a是行星公转轨道半长轴，T是行星公转周期，K是常数，其大小只与中心天体的质量有关.常用于椭圆轨道的计算.即：，.其中，，M为中心天体的质量.开普勒定律，或者是用几何语言，或者是用方程，将行星的坐标及时间跟轨道参数相连结.首先，开普勒定律在科学思想上表现出无比勇敢的创造精神.远在哥白尼创立日心宇宙体系之前，许多学者对于天动地静的观念就提出过不同见解.但对天体遵循完美的均匀圆周运动这一观念，从未有人敢疑心.开普勒却毅然否认了它.这是个非常大胆的创见.哥白尼知道几个圆合并起来就可以产生椭圆，但他从来没有用椭圆来描述过天体的轨道.正如开普勒所说，“哥白尼没有觉察到他伸手可得的财富〞.其次，开普勒定律彻底摧毁了托勒密的本轮系，把哥白尼体系从本轮的桎梏下解放出来，为它带来充分的完整和严谨.哥白尼抛弃古希腊人的一个先入之见，即天与地的本质差异，获得一个简单得多的体系.但它仍须用三十几个圆周来解释天体的表观运动.开普勒却找到最简单的世界体系，只用七个椭圆说就全部解决了.从此，不须再借助任何本轮和偏心圆就能简单而精确地推算行星的运动.第三，开普勒定律使人们对行星运动的认识得到明晰概念.它证明行星世界是一个匀称的〔即开普勒所说的“和谐〞〕系统.这个系统的中心天体是太阳，受来自太阳的某种统一力量所支配.太阳位于每个行星轨道的焦点之一.行星公转周期决定于各个行星与太阳的距离，与质量无关.而在哥白尼体系中，太阳虽然居于宇宙“中心〞，却并不扮演这个角色，因为没有一个行星的轨道中心是同太阳相重合的.我国著名的数学家、天文学家、翻译家和教育家李善兰李善兰，原名心兰，字竞芳，号秋纫，别号壬叔，浙江海宁县硖石镇人，生于嘉庆十六年，卒于光绪八年。李善兰自幼酷爱数学。十岁时学习《九章算术》。十五岁时读明末徐光启、利玛窦合译的欧几里得《几何原本》前六卷，尽解其意。后来，他到杭州应试，买回元代李冶的《测圆海镜》、清代戴震〔1724～1777〕的《勾股割圆记》等算书，认真研读；又在嘉兴等地与数学家顾观光(1799～1862)、张文虎(1808～1888)、汪曰桢(1813～1881)以及戴煦、罗士琳(1774～1853)、徐有壬(1800～1860)等人相识，经常在学术上相互切磋。自此数学造诣日臻精深，时有心得，辄复著书，1845年前后就得到并发表了具有解析几何思想和微积分方法的数学研究成果──“尖锥术〞。1860年起,他先后在徐有壬、曾国藩军中作幕僚,与化学家徐寿、数学家华蘅芳等人一起，积极参与洋务运动中的科技学术活动。1867年他在南京出版《那么古昔斋算学》，聚集了二十多年来在数学、天文学和弹道学等方面的著作，计有《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》、《垛积比类》、《四元解》、《麟德术解》、《椭圆正术解》、《椭圆新术》、《椭圆拾遗》、《火器真诀》、《对数尖锥变法释》、《级数回求》和《天算或问》等13种24卷，共约15万字。【数学应用】椭圆的参数方程及应用举例(可以参考选修4-1)椭圆的标准方程椭圆的参数方程1.求椭圆的内接多边形的周长及面积例1.求椭圆的内接矩形的面积及周长的最大值.〔课本69页例4变形〕解：如图，设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点是A〔〕〔〕，矩形的面积和周长分别是S、L.，当且仅当时，，，此时α存在.2.求轨迹例2.点A在椭圆上运动，点B〔0，9〕、点M在线段AB上，且，试求动点M的轨迹方程.解：由题意知B〔0，9〕，设A〔〕，并且设M〔x，y〕.那么，动点M的轨迹的参数方程是〔α是参数〕，消去参数得.3.求函数的最值例3设点P〔x，y〕在椭圆，试求点P到直线的距离d的最大值和最小值.解：点P〔x，y〕在椭圆上，设点P〔〕〔α是参数且〕，那么.当时，距离d有最小值0，此时椭圆与直线相切；当时，距离d有最大值2.4.求解有关离心率等入手比拟困难的问题例4.椭圆与x轴的正向相交于点A，O为坐标原点，假设这个椭圆上存在点P，使得OP⊥AP.求该椭圆的离心率e的取值范围.解：设椭圆上的点P的坐标是〔〕〔α≠0且α≠π〕，A〔a，0〕.那么.而OP⊥AP，于是，整理得解得〔舍去〕，或.因为，所以.可转化为，解得，于是.故离心率e的取值范围是.【思维导航】圆与椭圆的一组类比性质类比是科学研究中常用的一种思维方法，是根据两个或两类对象有局部属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理.尽管类比推理只是一个合情推理〔即类比得到的结果未必正确〕，但因其具有创造性的特点，而被广泛应用于科学研究之中.命题1直线切圆O于且都存在非零斜率，那么类比命题1直线切椭圆于且都存在非零斜率，那么证明设切点那么切线的方程为，进而有又因为，所以，命题2是的直径，是上一点，且都存在非零斜率，那么类比命题2是椭圆的直径，且都存在非零斜率，那么证明如图1，设，,那么(这里利用了和差化积公式，参考三角函数有关内容)命题3是的弦，是的中点，且都存在非零斜率，那么类比命题3是椭圆的弦，是的中点，且都存在非零斜率，那么证明如图2，过作椭圆的直径，连结那么∥,由上述类比命题2可知命题4是的两条弦，直线相交于点，那么类比命题4是椭圆的两条弦，直线相交于点，且直线的倾斜角互补，那么证明如图3，设直线的倾斜角分别为设点的坐标为，那么弦的参数方程为〔为参数〕，将其代入椭圆的方程，化简得由参数的几何意义可知，同理可得又因为上述4个类比命题实质上是“圆的切线垂直于过切点的半径〞、“圆的直径对的圆周角为直角〞、“圆心与非直径的弦的中点的连线垂直于该弦〞、“圆的相交弦定理、切割线定理〞在椭圆中的推广.康德曾经讲过：“每当理智缺乏可靠论证思路的时候，类比就像一位大师，指引我们前进.〞同学们在学习椭圆时注意与初中我们学习有关圆的性质，那些可以推广到椭圆，那些不行，培养我们科学探索的精神.【拓展提升】椭圆的一个几何性质定义1：椭圆是到两个定点〔焦点〕的距离和等于定长〔2a〕的点的轨迹.命题1：椭圆外一点到椭圆两焦点的距离和大于椭圆上一点到两焦点的距离和.【证明】：如图1所示，M是椭圆外任一点，和分别是该点到两焦点和的距离.由于M在椭圆之外，所以我们总能够在椭圆上找到一点N，使此点在内.所以总有.FF1F2MN图1下面我们证明命题1中用到的关于三角形的一个命题.命题2：三角形内一点到两个顶点的距离和小于第三个顶点到这两个顶点的距离和.【证明】：如图，M是中任一点，我们要证明的是.延长AM与BC交于D点.在中，由于两边之和大于第三边，有；在中，由于两边之和大于第三边，有.上面两式相加有，命题得证.AABCMD图2命题3：椭圆内一点到两焦点的距离和小于椭圆上一点到两焦点的距离和.FF1F2MN图3【证明】：如图3所示，我们总能够在椭圆上找一点N，使M位于内.由命题2可知命题正确.我们可以说，椭圆的外部是这样的点的集合，它到椭圆的两个焦点的距离之和大于2a；椭圆的内部是这样的点的集合，它到椭圆的两个核糖点的距离之和小于2a；椭圆上的点到两个焦点的距离之和恰为2a.【数学欣赏】椭圆的四心近似画法相互垂直且平分的椭圆长轴和短轴,那么椭圆的近似画法(四心近似法)步骤如下所示:第一步：画出长轴AB和短轴CD，连接AC；第二步：在AC上截取CF，使其等于AO与CO之差CE；第三步：作AF的垂直平分线，使其分别交AO和OD〔或其延长线〕于O1和O2点.以O为对称中心，找出O1的对称点O3及O2的对称点O4，此O1、O2、O3、O4各点即为所求的四圆心.通过O2和O1、O2和O3、O4和O3各点，分别作连线；第四步：分别以O2和O4为圆心，O2C〔或O4D〕为半径画两弧.再分别以O1和O3为圆心，O1A〔或O3B〕为半径画两弧，使所画四弧的接点分别位于O2O1、O2O3、O4O1和O4O3椭圆的光学性质椭圆有一些光学性质：椭圆的面镜〔以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动1800形成的立体图形，其外外表全部做成反射面，中空〕可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜〔某些截面为椭圆〕有会聚光线的作用〔也叫凸透镜〕，老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片〔这些光学性质可以通过反证法.从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上.如图1：证明：如图2，过点P做椭圆的切线l，焦点F1关于l的对称点F,那么反射光线与FP在同一直线上.|PF1|+|PF2|=|PF|+|PF2|≥|FF2|(当且仅当F、P、F2共线时“=〞成立)即2a≥|FF2|连FF2交椭圆于M,如图3，交l于P’,那么|MF1|+|MF2|=2a∵|MF1|≤|MF|(M、P’重合时“=〞成立，即P为切点)∴2a≤|MF|+|MF2|≤|FF2|∴2a≤|FF2|≤2a∴|FF2|=2a此时F、P、F2共线，即反射光线过F2.由以上证明可知：假设椭圆存在切线l，且F1关于l的