2023-2024学年人教A版必修第一册 　简单的三角恒等变换(2) 学案

简单的三角恒等变换(二)类型一积化和差问题(数学运算)[例1](1)求值:sin20°cos70°+sin10°sin50°.(2)求值:sin20°sin40°sin60°sin80°.【解析】(1)sin20°cos70°+sin10°sin50°=12(sin90°-sin50°)-1=14-12sin50°+=14-12sin50°+12(2)原式=cos10°cos30°cos50°cos70°=32=32[12=38cos70°+3=38cos70°+3=38cos70°+38cos110°+316【总结升华】积化和差公式的功能与关键(1)功能:①把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式).②将角度化为特殊角求值或化简,将函数式变形以研究其性质.(2)关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函数.【即学即练】sin(π4+α)cos(π4+β)化为和差的结果是 (A.12sin(α+β)+12cos(α-B.12cos(α+β)+12sin(α-C.12sin(α+β)+12sin(α-D.12cos(α+β)+12cos(α-【解析】选B.原式=1=12cos(α+β)+12sin(α-β类型二和差化积问题(逻辑推理)[例2]已知cosα-cosβ=12,sinα-sinβ=-13,求sin(α+β)【解析】因为cosα-cosβ=12所以-2sinα+β2sinα-又因为sinα-sinβ=-13所以2cosα+β2sinα-因为sinα-所以由①②,得-tanα+β2即tanα+β2所以sin(α+β)=2sinα+β2cosα+【总结升华】和差化积公式应用时的注意事项(1)在应用和差化积公式时,必须是一次同名三角函数方可运用.若是异名,必须用诱导公式化为同名;若是高次函数,必须用降幂公式降为一次.(2)根据实际问题选用公式时,应从以下几个方面考虑:①运用公式之后,能否出现特殊角;②运用公式之后,能否提取公因式,能否约分,能否合并或消项.(3)为了能够把三角函数式化为积的形式,有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用公式,如12-cosα=cosπ3【即学即练】1.(2023·潍坊高一检测)下列关系式中正确的是 ()A.sin5θ+sin3θ=2sin8θcos2θB.cos3θ-cos5θ=-2sin4θsinθC.sin3θ-sin5θ=-12cos4θcosD.12[cos(x-y)-cos(x+y)]=sinxsin【解析】选D.A中,sin5θ+sin3θ=sin(4θ+θ)+sin(4θ-θ)=2sin4θcosθ,A错误;B中,cos3θ-cos5θ=cos(4θ-θ)-cos(4θ+θ)=2sin4θsinθ,B错误;C中,sin3θ-sin5θ=sin(4θ-θ)-sin(4θ+θ)=-2cos4θsinθ,C错误;D中,12[cos(x-y)-cos(x+y)]=12×(2sinxsiny)=sinxsiny,D2.(2023·大连高一检测)求sin20°+sin40°+sin60°-sin80°的值.【解析】sin20°+sin40°+sin60°-sin80°=2sin30°cos10°+sin60°-sin80°=2×12×sin80°+32-sin80°=类型三利用公式证明恒等式(逻辑推理、数学运算)[例3]在△ABC中,求证:sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC.【证明】左边=sin2A+sin2B+sin2C=2sin2A+2B2=2sin(A+B)cos(A-B)-2sin(A+B)·cos(A+B)=2sinC[cos(A-B)-cos(A+B)]=2sinC·(-2)sin(Asin(=4sinAsinBsinC=右边.所以原等式成立.【总结升华】证明三角恒等式的基本思路根据等式两端特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法,使等式两端的“异”化为“同”,分式不好证时,可变形为整式来证.【即学即练】1.证明:sinα+sinβ【证明】左边=sinα+sinβsinα-sinβ=2.在△ABC中,求证:sinA+sinB-sinC=4sinA2·sinB2cos【证明】左边=sin(B+C)+2sinB-C=2sinB+C2cosB+=2cosB+C2(sinB=4sinA2sinB2cosC2=右边【教材拓展】与三角函数有关的最值问题(源于教材例2,例3)[常用结论](1)形如y=asinwx+bcoswx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c或y=Acos(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值);(2)形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c的三角函数,可先设sinx=t或cosx=t,化为关于t的二次函数求值域(最值).[例4]函数f(x)=2sinx2·sin