有限元法(杆系)

第2章杆系结构有限元法1.有限元法的思路2.一维问题3.二维问题(平面桁架)1.有限元法的思路例：自重作用下的等截面直杆位移分布，杆的应变和应力？①材料力学解答②有限元法解答

杆长L，截面积A，弹性模量E，单位长度重量q材料力学解答N(x)xuxL-xq(L-x)有限元法解答离散化将直杆划分成n个有限段有限段之间通过一个铰接点连接称两段之间的连接点为结点称每个有限段为单元第i个单元的长度为Li，包含第i，i+1个结点用单元节点位移表示单元内部位移把外载荷集中到节点上建立结点的力平衡方程3单元情况x单元①：单元②：单元③：平衡方程约束方程aaaaaa②①③1234有限元方法分析的一般步骤d组合单元；a离散，建立有限元模型：节点和单元；

b单元位移插值；c单元特性分析；

e引入边界条件，确定载荷；前处理阶段:有限元方法分析一般步骤后处理前处理有限元计算有限元方法分析的一般步骤f分别列各节点平衡方程，求解线性代数方程组，得到节点位移。g由位移进一步计算应变和应力。计算阶段:后处理阶段:2.一维问题(1)拉压杆单元ijlEA正方向aaa②①③1234例2例1E，A，l，DT，a2.一维问题(2)扭转杆单元ijlGJ正方向3二维问题（平面桁架系统）刚度的概念Pd2kkkPd1k坐标转换的概念Pkkdk②①③qqN2N3N1PqqDl3Dl2Dl1根据铰点处平衡及几何关系：单元刚度与结构系统刚度的转换关系：(a)局部坐标系下的单元刚度矩阵拉压杆单元ijlEA正方向(b)结构整体坐标系下的单元刚度矩阵拉压杆单元ijqqqqxy或（1）在局部坐标下，轴向力与轴向位移的关系：局部与整体坐标系下的位移关系：或（2）（3）将（2）和（3）代人（1）：(c)构造总体刚度矩阵Pd②①③E,A,lxqq1234各单元结点位移与结点力的关系：扩充结点力向量，将各单元刚度矩阵扩充为总刚度矩阵规模如单元（2）：叠加形成总刚度矩阵,求位移0计算杆内力单元（1）两端的结点力：单元（2）两端的结点力：例：213（1）（2）F已知：直杆长度为l，两杆夹角为

45度。两杆的横截面面积为A，材料弹性模量为E。求：图示桁架各杆端位移。3二维问题（平面桁架系统）步骤1：离散和选择单元类型解：步骤1：离散和选择单元类型将系统离散为两个单元，3个节点213（1）（2）2u，v分别代表单元各处的x及y方向位移，杆中任一点位移，可假设为：(2-1)待定系数位置坐标步骤2：选择单元位移函数步骤2：选择单元位移函数ijl代入节点的位移,

步骤2：选择单元位移函数所以：

(2-2)当杆受轴力作用时，杆横截面上的应力为：步骤3：单元特性分析步骤3：单元特性分析线弹性范围内应力与应变的关系是：

首先分析节点位移（杆端位移）与杆端力的关系

杆端力为：矩阵形式表示(2-3)步骤3：单元特性分析局部坐标下的节点力列向量

局部坐标下的节点位移列向量单元刚度矩阵步骤3：单元特性分析式（2-3）还可写成

（2-4）式（2-3）或（2-4）称为单元刚度方程步骤4：构造总体刚度矩阵首先进行坐标转换在杆系结构有限元法中，每个单元都有自己的局部坐标系，但对整个结构而言所建立的坐标系统，称为结构坐标系。把任意的一个单元取出来，放在结构坐标系下，考察一下该单元在两种坐标系下的物理量。符号约定：局部坐标系下的物理量用加上画线来标记。首先定义一下结构坐标系x-y与局部坐标系的夹角符号：x-y坐标系沿逆时针转动到与坐标系重合，则x-y坐标系转过的角度为正。步骤4：构造总体刚度矩阵步骤4：构造总体刚度矩阵杆端力的坐标变换矩阵形式表示或（2-5）同理（2-6）A.局部坐标系下的物理量：B.结构坐标系下的物理量：步骤4：构造总体刚度矩阵单元刚度矩阵的坐标变换:在局部坐标系下，单元的刚度方程为：由式（2-5）可得：由式（2-6）可得：带入可得：使：（2-7）（2-8）结构坐标系下的单元刚度矩阵结构坐标系下的单元刚度方程

步骤4：构造总体刚度矩阵所以：对单元1，α＝0对单元2，α＝45构造结构刚度矩阵（按节点力平衡的思想）步骤4：构造总体刚度矩阵由平衡条件可得：对于节点1有：节点1的节点力单元(1)中节点1的节点力（杆端力）同理有：对节点2：对节点3：任一单元(e)的单元刚度方程为：或步骤4：构造总体刚度矩阵对单元(1)有：对单元(2)有：因此，由节点1，2，3的平衡条件可得：注意到节点位移的连续性有：步骤4：构造总体刚度矩阵因此，把全部节点的平衡方程写成矩阵形式有（2-9）或：（2-10）所以，总刚为单元刚度矩阵：单元的局部力单元节点位移结构总体刚度矩阵[K]

：结构的总力

节点位移

总体刚度矩阵[K]步骤4：构造总体刚度矩阵

步骤5：节点位移求解步骤5：节点位移求解步骤5：节点位移求解步骤1：结构离散步骤2：确定位移函数步骤3：单元特性分析步骤4：构造总体刚度矩阵步骤5：节点位移求解知识回顾第二章小结

第二章小结

结构总体刚度矩阵[K]：单元刚度矩阵：小结作业一：