新中考：第二部分-专题五-突破解答题之-4-四边形VIP

专题五突破解答题之4——四边形

在近几年中考中，涌现了大量四边形为素材或背景或有关四边形的性质及判定，或借助一定的图形变换(折叠、平移、旋转、剪拼等)与动态操作，酝酿与构建相关图形的某种状态与结论，进行相关计算、作图、证明或探究，这对于培养与训练学生的空间观念、动手操作、合情推理和探究能力等具有重要的作用.

解决这类问题的关键应把握三角形、四边形的性质与特征，加强相关图形之间的联系，利用所给图形及图形之间形状、大小、位置关系，进行观察、实验、比较、联想、类比、分析、综合.从动态、变换操作的角度，运用分类讨论思想分析与解决有关两个三角形(全等或相似)、特殊三角形、特殊四边形的问题，进一步体会三角形与四边形之间相互转化、相互依存的内在关系，从而提高学数学、用数学的能力与素养.在解决此类问题时要注意：平移、对称、旋转等只是改变了图形的位置，而没改变图形的形状与大小.

平行四边形的判定与性质 例1：(2018年湖南永州)如图Z5-1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边三角形ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F. (1)求证：四边形BCFD为平行四边形；(2)若AB＝6，求平行四边形BCFD的面积.图Z5-1(1)证明：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴∠ABC＝60°.在等边三角形ABD中，∠BAD＝60°，∴∠BAD＝∠ABC＝60°.∵E为AB的中点，∴AE＝BE.又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC.在△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB的中点，∴CE＝AE.∴∠EAC＝∠ECA＝30°.∴∠BCE＝∠EBC＝60°.又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE＝∠BCE＝60°.又∵∠D＝60°，∴∠AFE＝∠D＝60°.∴FC∥BD.又∵∠BAD＝∠ABC＝60°，∴AD∥BC，即FD∥BC.∴四边形BCFD是平行四边形.(2)解：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，AB＝6，

[解题技巧]此题主要考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解本题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.特殊四边形的判定与性质

例2：(2017年上海)已知：如图Z5-2，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形.图Z5-2证明：(1)在△ADE与△CDE中，∴∠ADE＝∠CDE.∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD.∴∠CDE＝∠CBD.∴BC＝CD.∵AD＝CD，∴BC＝AD.∴四边形ABCD为平行四边形.∵AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形.(2)∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC.∵∠CBE∶∠BCE＝2∶3，∴∠CBE＝180×

22＋3＋3＝45°.∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝45°.∴∠ABC＝90°.∴四边形ABCD是正方形.

[名师点评]本题考查了特殊平行四边形的判定，注意平行四边形与特殊平行四边形之间的区别与联系，分别要从四边形的角、边和对角线来理解它们的判定与性质.

四边形综合题 例3：(2017年四川南充)如图Z5-3，在正方形ABCD中，

(1)求证：EF⊥AG；

(2)若点F，G分别在射线AB，BC上同时向右、向上运动，点G运动速度是点F运动速度的2倍，EF⊥AG是否成立(只写结果，不需说明理由)?图Z5-3

(3)正方形ABCD的边长为4，P是正方形ABCD内一点，当S△PAB＝S△OAB时，求△PAB周长的最小值.[思路分析](1)由正方形的性质得出AD＝AB，∠EAF＝形的性质得出∠AEF＝∠BAG，再由角的互余关系和三角形内角和定理证出∠AOE＝90°即可. (2)证明△AEF∽△BAG，得出∠AEF＝∠BAG，再由角的互余关系和三角形内角和定理即可得出结论.∵∠BAG＋∠EAO＝90°，∴∠AEF＋∠EAO＝90°.∴∠AOE＝90°.∴EF⊥AG.(2)解：成立.理由如下：又∵∠EAF＝∠ABG，∴△AEF∽△BAG.∴∠AEF＝∠BAG.∵∠BAG＋∠EAO＝90°，∴∠AEF＋∠EAO＝90°.∴∠AOE＝90°.∴EF⊥AG.(3)解：过点

O作MN∥AB，交AD于点M，BC于点N，如图Z5-4.图Z5-4则MN⊥AD，MN＝AB＝4.∵P是正方形ABCD内一点，且S△PAB＝S△OAB，∴点P