新中考：第二部分-专题二-突破解答题之-1-作图与证明VIP

专题二突破解答题之1——作图与证明

尺规作图与证明是每年中考必考内容，一般考查学生对基本作图的掌握情况和实践操作能力，并且在作图的基础上进一步证明结论的成立.此类题目属于基础题，难度不大，一般与特殊三角形、特殊四边形和圆有着密切联系.所以掌握5种基本作图的方法至关重要.

在基本作图的基础上，掌握较复杂的尺规作图，即利用基本作图作三角形、作三角形的外接圆、内切圆等是中考常考的内容.难度稍有提高，需要结合其他几何图形的性质灵活运用尺规作图.另外，注意在作图过程中，保留作图痕迹.基本作图与证明例1：如图

Z2-1，在ABCD中，已知AD＞AB.

图Z2-1 (1)实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF＝AB，连接EF；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明.[思路分析](1)以点A为圆心，以小于AB的长为半径作弧为半径作弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点E，则AE即为∠BAD的平分线.然后在AD上截取AF＝AB，连接EF.画出图形即可.(2)由平行四边形的性质和角平分线性质得出∠BAE＝∠AEB，证出BE＝AB，由(1)，得AF＝AB，得出BE＝AF，即可得出结论.解：(1)作图如图Z2-2.(2)四边形ABEF是菱形.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠AEB.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE.图Z2-2∴∠BAE＝∠AEB.∴BE＝AB.由(1)，得AF＝AB.∴BE＝AF.又∵BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形.∵AF＝AB，∴四边形ABEF是菱形.

[解题技巧]尺规作图需要进一步证明结论时，一般需要运用尺规作图中的结论，结合已知图形的性质进行推理、证明即可.基本作图与求值例2：(2017年广东)如图Z2-3，在△ABC中，∠A＞∠B.(1)作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)的条件下，连接AE，若∠B＝50°，求∠AEC的度数.图Z2-3[思路分析](1)“作线段垂直平分线”是5个基本作图之一，按基本作图方法作出便可.

(2)由于DE是AB的垂直平分线，得到AE＝BE，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B＝50°，由三角形的外角与内角的关系即可得到结果.

解：(1)如图Z2-4，DE就是所求作的边AB的垂直平分线. (2)∵DE是边AB的垂直平分线， ∴AE＝BE. ∴∠EAB＝∠B＝50°.∴∠AEC＝∠EAB＋∠B＝100°.图Z2-4

[解题技巧]尺规作图需要进一步求值时，一般要用到尺规作图的结果，结合已知图形的性质进行推理、计算即可.

较复杂的作图 例3：(2018年四川广安)下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在图Z2-5的方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：

(1)画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形. (2)画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形. (3)画一个面积为5的等腰直角三角形.(1)(2)(3)(4)

图Z2-5

[思路分析](1)根据三角形面积公式可求得直角三角形的另一直角边长为6×2÷4＝3，这样在网格图上画出长为4的直角边AC和长为3的直角边BC，连接AB即可画出；

(2)根据等腰三角形三线合一的性质可求得它的高为8×2÷4＝4.先画出长为4的底边BC，再在底边的中点上画长为4的垂线段，确定A点，最后连接AB，AC即可画出；解：如图Z2-6.(1)(2)(3)(4)图Z2-6作图与应用

例4：(2017年四川自贡)13个边长为1的小正方形，排列形式如图Z2-7，把它们分割，使分割后能拼成一个大正方形.请在如图Z2-8所示的网格中(网格的边长为1)，用直尺作出这个大正方形.图Z2-7

[思路分析]这是应用与设计作图，根据阴影部分的面积是直角边分别为2和3的直角三角形，其斜边长就是所求正方形的边长，进而设计出切割方案