2023年高考数学第28讲怎么求异面直线所成角

第28讲怎么求异面直线所成角

一、知识概要

1异面直线所成角的定义（线线角）

直线a,h是两异面直线，经过空间任意一点。，分别作d//a,b'Hb，则两相交直线a,b所成的

锐角（或直角）叫作两异面直线a,6所成的角，两条异面直线所成的角的范围是（0,

2求异面直线所成的角的方法

求异面直线所成的角是通过平移直线把异面问题转化为共面问题来解决，根据等角定理,异面直

线所成的角的大小与顶点位置无关，一般将角的顶点取在一些特殊点上（如线段端点，中点等），还

可以用空间向量法求解就不用平移了.

3平移法求异面直线所成角的一般步骤

⑴平移:选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线,这里的点通常选择特殊位置

的点,如线段的中点或端点，也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点.

⑵证明:证明所作的角是异面直线所成的角.

⑶寻找:在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之.

/711

⑷取舍:因为异面直线所成角的范围是（）,万.所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直

线所成的角.

4立体几何中,解计算题的一般步骤

（1）作图；

（2）证明;

⑶计算.

三步缺一不可.

二、例题精析

（1）在正四面体A8CD中（如图3-1所示）,分别是AB,C。的中点，则EE和所成的角为

⑵已知正四面体ABC。中，E是A8的中点，则异面直线CE与所成角的余弦值为

（）.

1

A.-

6

B在

6

1

C.一

3

D在

3

图3-］

⑶在正四面体488中,（如图3-2所示）线段肱V是棱AC的中点和—BCD中心的连线，而线

段OE是.ABD的高.求MN和DE所成角的余弦值.

【策略点击】

本例3小题都是求正四面体上两异面直线所成角.通常是通过平移化空间为平面,再解三角形求

得，一般情况下运用余弦定理［如第⑵⑶问的解法］,也可用原图形的扩展，每个四面体都有其外接

平行六面体，四面体的棱为平行六面体的面对角线，而正四面体的外接平行六面体是正方体或者

说正四面体是正方体的六条面对角线所构成的内接图形，第（1）（2）问的解法二用的就是这种解法.

【解】

（1）【解法一】

图3-3

（平移法）如图3—3所示，取瓦）的中点M,连接EM,FM,则

EM//-AD,FM//-BC.:.NEFM是EF与BC所成的角或其补角.ABCD是正四面体,

22

.•.40=8。且4。，8。，于是双0=月0且,即，醐"'是等腰直角三角形.

/.NEFM=45°,即EF与BC所成角为45°.

【解法二】

图3-4

(补体法)如图3-4所示，作正四面体ABC。的外接正方体，则分别为正方体相对两个面的

中心,二EF//BG.于是EF与8C所成角即为NCBG,其大小为45°.

(2)【解法一】

坪移法)如图3-5所示，取AQ的中点F，连接EF,CF，则EE//8D故NCE/(或其补角)即为

异面直线CE与8。所成的角.

设正四面体的棱长为2厕CE=CF=®EF=1.

CE2+EF2-CF23+1-373

在CEF中油余弦定理得cosZCEF=~上二

2CEEF2x0x1—6

••・异面直线CE与8。所成角的余弦值为g,故选B.

6

图3-6

(补体法+向量法)在正方体中嵌套一个正四面体ABC。,建立空间直角坐标系，如图3-6所示，不

妨设正方体的棱长为2,

则A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2,0),D(2,2,2),

•E是A3的中点,.•.E(L0,1),又C£=(l,-2,1),,

BD=(0,2,2),.-.cos0=|cos<C£,BD)|=-r-=B.故选B.

\CE^BD\V6X2V26

⑶如图3—7所示，连接ON,延长交于F,可知产为3C中点，连接取EF三等分点G,

使四=2连接GN,GM厕GN//DE且GN=LDE,/.ZGNM是和DE所成的角或

GF13

其补角.

设正四面体棱长为a.在-GMN中,GN=1GM=——a

66

连接NC,=；a,NC=与a,cosNMCN=与.

MN2=MC2+NC2-2MC-NC-cosNMCN=-a\:.MN=-a

42

NG?'MV-GM?

cosZGNM

2NGMN

图3-7

[例2]

如图3-8所示,四边形438和AOP。均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段

PQ上,E,F分别为AB,BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为夕则cos0的最大值为

图3-8

【策略点击】

立体几何中动态问题具有较大的综合性，是解立体几何问题中的一个难点，通常有儿何法与向量

法两种解题方法,几何法可以结合图形分析何时取得最大值，当点M在P处时,与AE所成

角为直角,此时余弦值为0（最小），当M到达。点时，角最小从而余弦值最大.当然若设QM=x,

求得cos。关于x的函数，借助于函数的单调性求得最大值，可谓殊途同归,结合图形中动点变化

时,EM与AF所成角大小的变化，显示出数形结合，以形助数的魅力,这是一种很好的思维方法.

当然本题极易建立空间直角坐标系，利用向量解无疑是求空间角的常用方法，易于操作.

【解法一】

y,P

图3-9

(平移法十函数单调性)如图3-9所示，设正方形的边长为2,QM=x，则()„x”2.取BE中点G,

连接EG,MG,则EG//AENMEG或其邻补角即为异面直线EM与AR所成的角，设

ZMEG=氏连接E0.在Rt_AQE中，易得QE=百;在Rt^MQE中，易得ME=y/x2+5.而

AF=y[5，则EG=^~，过点、G作G/7LAO,过点M作MR±AD,^\HR=x--

22

Rt_GM?中，易得GR=+4；在Rt_MRG中，易得

\EG2+EM2-MG2\

MG=+8,cos6=

2EGEM

_4I2J_|「2|_2-x

66+575-77+56心+5

2-x2

易知/(x)=-.在X£[0,2]上是减函数..•.当X=0时,/(X)max=:，即COS。的最大

\l5-\Jx~+55

值为:

【解法二】

z

S3-10

(向量法+基本不等式)以A为原点，分别以射线AB,AD,AQ为x轴,y轴,z轴的正半轴建立空间

直角坐标系4-型,如图3-10所示，

设=L则4/=1,；,())叫,0,()]

设M(0,y,l)(噫61)厕.

I，7

^r=8j；+l,re[l,9],ffii^iL=——，当，=1时取等号.

4y+5仆81_25

cos0=

2

当y=0时，即点M与点Q重合时,cos夕取得最大值为

[例3]

如图3—11所示，平行六面体中，底面A8CD是边长为1的正方形,

AAi=2,ZAtAB=ZA}AD=120°,求异面直线和AQ所成角的余弦值.

【策略点击】

求两异面直线所成角的余弦值，从立体几何角度讲，通常采用平移法,但有时平移后的图形不易作

出，可用补体的方法，即补体后再平移，当然，运用向量法求两异面直线所成的角是好方法而向量法

通常又分为纯向量法和坐标法.当空间直角坐标系难认建立时,可考虑纯向量的方法，还必须提醒

的是两异面直线所成角的范围为，而两向量所成角的范围是［0，加，这是容易出错的地方.

【解法一】

图3-12

（补体法）如图3-12所示,补上一个同样的平行六面体ABC。-482c2鼻，则或其补角

即为异面直线AC和4。所成角.

在..CtAD2中,可算出AD2=币,AC］=yfi,DS=V13.

故由余弦定理得=一恒

cosZC,AD2=诉2+噌?［而>

2xV2xV77

而两异面直线所成角的范围为0,',

故异面直线AG和A。所成角的余弦值为中.

【解法二】

图3-13

(纯向量法)注意到从点A出发的三条棱长和两两夹角都是已知的，故可设AB

=a,AD=b,,如图3—13所示.

则=0,4・C=〃・c=1x2x(-;)=-1AC]=a+b+d,A£)=b—乙

22

故AG.AD=(G+日+右)・(5—3)a-b-a-c+b~-c=-2,|/4J£)|=\j(b-c)=>/7,

|AC1|=J(a+.+c)2=5/2cos3=|-2|

ACJII4D-V2-V7~7

故异面直线AG和A。所成角的余弦值为”.

方法提炼

1异面直线所成角求解的一般方法

(1)平移法:在异面直线中的一条直线上选择一“特殊点”，作另一条直线的平行线;也可在两条

异面直线外选择一“特殊点”，分别作两条异面直线的平行线(单移或双移).

当异面直线依附于某几何体，且直接过异面直线上的点平移直线有困难时,利用该几何体中的特

殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点，或通过构造辅助平面实现平移,再在三角形中计算.

(2)补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体、平行六面体等，从而发

现两条异面直线间的关系.

(3)向量法:建立适当的空间直角坐标系，求出两异面直线所在向量的坐标，代入向量夹角公式即

可求出.

2过空间一点P作直线与一对异面直线都成等角的情况

利用平移法探讨过空间一点尸作直线与一对异面直线都成等角，这样的直线有多少条的讨论:一

般地，若两条异面直线。力所成的角为。，则过空间一点P与直线。力所成的角为氏则过空间一

点P与直线。/所成角都等于a的直线/的条数：

⑴当a<-时,直线/不存在，即0条；

⑵当a=g时，若,则a=，此时只存在1条直线/；若。=授，则

01

0=三=二（万一。），此时存在2条直线/;

22

⑶当g<a〈工时，存在2条直线/;

（4）当a=g（万一6）时存在3条直线I;

7T—f）TT

⑸当<«<|时，存在4条直线/;

JF

⑹当a=］时，存在1条直线/.

3求异面直线AB与。的夹角。

求异面直线AB与CO的夹角。的向量公式:cos6=।.

|AB||C£>|

三、易错警示

【例】

空间四边形488中，4）=48=2,。8=。。=1,4）与8。所成的角为600,心尸分别为

AB,CO的中点，求与C。所成的角及£尸的长.

【错解】

图3-14

如图3—14所示，过点。作。尸//CB，过点B作BPIICD,DP与BP交于点P.

CB=CD=1,四边形BCDP是边长为1的菱形.

则NAQP就是AO与8C所成的角，即ZADP=60\

Z4BP是AB与CD所成的角.

在r.ADP和,ABP中，AB=AD,PD=PB,AP=AP.

.三ADP三二ABP.ZABP=ZADP=60°,因此，

AB与8所成的角为60°.

在.中,PO=BC=1,ZADP=60°,A£>=2.

则由余弦定理得AP=712+22-2xlx2xcos60"二有.

取AC的中点为Q厕EQ//BC,QFHAD，且EQ=；,。/=1,.-.ZEQF=60°.

则EF=y/EQ2+QF2-2XEQQF-COS60°二与，因此,EF的长为乎.

【评析及正解】

上述解法对异面直线所成角的概念不清晰，其实NAOP是AD与BC所成的角或其补角,所认在

上述解法的基础上还应补上/AZ>P=120°的情形.如图3-15所示，不论/4。2=60°还是

NADP=120°,异面直线A5与。。所成角都为60：取AC的中点Q,则E。//BC//。尸

//AT）.且EQ=；，。/=1.NEQF=60°或NEQF=120°.

______________________________J7

当ZEQF=60°时EF=^EQ2+QF2-2-EQQF-cos60°=三

当ZEQF=120°时，瓦'=^EQ1+QF1-2-EQQF-cos120°=--

/?Fj

因此EF的长为方-或丹-

四、难题攻略

【例】

将边长为1的正方形A41ao（及其内部）绕。。1旋转一周形成圆柱，如图3—16所示,AC长为

27r4

5，4片长为其中片与C在平面A4。。的同侧.

⑴求三棱锥C-OA耳的体积；

（2）求异面直线B£与AA,所成角的大小.

图3-16

【破难析疑】

本题的载体为圆柱，情景有所不同,但仍然依据求两异面直线所成角的3种基本方法求解，即①立

体几何平移法;②化向量的方法;③向量坐标法.

【解】

(l)V=-S/7=-X