2023版高三一轮总复习数学新教材老高考人教版教案：第3章 第2节 第2课时　函数的极值与最大(小)值

第2课时函数的极值与最大(小)值

［考试要求］

1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.

2.会用导数求函数的极大值、极小值.

3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.

［走进教材•夯实基础］回顾知识•激活技能

€>梳理•必备知识

1.函数的极值

(1)函数的极小值：

函数y=*x)在点x=a的函数值7(。)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，

f(tz)=O；而且在点x=a附近的左侧*x)<0,右侧片x)〉0.则幺叫做函数y=7(x)

的极小值点，八。)叫做函数y=/(x)的极小值.

(2)函数的极大值：

函数y=«x)在点的函数值1与比它在点x=b附近其他点的函数值都大，

/(份=0；而且在点x=b附近的左侧尸(x)>0,右侧［(x)<0.则也叫做函数y=/(x)

的极大值点，#加叫做函数y=Ax)的极大值.

(3)极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值.

提醒：(1)函数人x)在次处有极值的必要不充分条件是/(%())=0,极值点是f(x)

=0的根，但/(x)=0的根不都是极值点(例如式©=/，/'(0)=0,但x=0不是

极值点).

(2)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极

值点是函数在区间内部的点，不会是端点.

2.函数的最大(小)值

(1)函数/U)在区间也，句上有最值的条件：

如果在区间［。，/上函数y=/U)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有

最大值和最小值.

(2)求y=/(x)在区间出，句上的最大(小)值的步骤：

①求函数y=/(x)在区间(a,加上的极值;

②将函数y=>x)的各极值与端点处的函数值4a),48)比较,其中最大的一

个是最大值，最小的一个是最小值.

［常用结论］

1.若函数Hx)的图象连续不断，则依)在修,加上一定有最值.

2.若函数人处在［a,加上是单调函数，则")一定在区间端点处取得最值.

3.若函数"x)在区间(a,/?)内只有一■个极值点，则相应的极值点、一定是由数

的最值点.

©激活•基本技能

一'易错易误辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)函数的极大值不一定比极小值大.()

(2)函数y=/(x)的零点是函数y=«r)的极值点.()

(3)函数的极大值一定是函数的最大值.()

(4)函数在某区间上的极大值是唯一的.()

［答案］(1)V(2)X(3)X(4)X

二'教材习题衍生

1../U)的导函数/(X)的图象如图所示，则“r)的极小值点的个数为()

A.lB.2C.3D.4

A「由题意知在x=-l处/(-1)=0,且其两侧导数符号为左负右正，兀。

在x=-1左减右增.故选A.］

2.函数,/(x)=2x—xInx的极大值是()

2

A.e-B.-eC.eD.e

C，(x)=2—(lnx+l)=l—Inx.令/(x)=0,得x=e.当OVxVe时，，(x)

>0;当x>e时，/(x)V0.所以x=e时，於:)取到极大值，

3.若函数兀r)=x(九一c)2在x=2处有极小值，则常数c的值为()

A.4B.2或6C.2D.6

C［函数=x(x-cP的导数为/(x)=3X2—4cx+c2.

由题意知，/(X)在x=2处的导数值为12—8C+C2=0,解得c=2或6.

2

又函数"x)=x(x—c)2在x=2处有极小值，故导数在x=2处左侧为负，右侧

为正.当c=2时，«r)=x(x-2)2的导数在x=2处左侧为负，右侧为正，即在x

=2处有极小值.而当c=6时，/(x)=x(x—6)2在x=2处有极大值.故c=2.］

4.若函数兀6=*—4尤+加在［0,3］上的最大值为4,则.

4『(x)=f—4,x£［0,3］,当xW［0,2)时,/(x)<0,当x@(2,3］时,/(x)>0,

所以兀c)在［0，2)上单调递减，在(2,3］上单调递增.又人0)=加，人3)=-3+/〃.

所以在［0,3］上，./U)1naxf0)=4,所以机=41

【细研考虑•突破题型］重难解惑直击高考

□考点一利用导数求函数的极值修维探究

考向1根据函数的图象判断极值

［典例1一1］(2021.郑州模拟)设函数.*x)在R上可导，其导函数为了⑴，且

函数y=(l—x)/(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()

A.函数人x)有极大值.穴2)和极小值.*1)

B.函数_/(x)有极大值1一2)和极小值人1)

C.函数人x)有极大值.*2)和极小值八-2)

D.函数/U)有极大值人-2)和极小值火2)

D［由题图可知，当xV—2时，Q)>0;当一2V*V1时，/(x)V0：当

l<x<2时，f(x)<0;当x>2时，f(x)>0.

由此可以得到函数於)在方=一2处取得极大值，在x=2处取得极小值.］

考向2求已知函数的极值

［典例1—2］已知函数.*x)=lnx—ax(aGR).

(1)当a=g时，求.*x)的极值；

(2)讨论函数«v)在定义域内极值点的个数.

II］［2—x

［解］⑴当4=］时，於)=lnx—那，定义域为(0,+°°),且了(］)=［一］=W・

令f(x)—0,解得x=2.

3

于是当X变化时，f(X),八X)的变化情况如下表.

X(0,2)2(2,+8)

/(x)+0—

於)单调递增In2-1单调递减

故火x)在定义域上的极大值为42)=ln2—l,无极小值.

[1—

(2)由(1)知，函数的定义域为(0,+°°),f'(x)=—Xa=­X：—.

当aWO时，f'(x)>0在(0,+8)上恒成立，

即函数/U)在(0,+8)上单调递增，此时函数/(x)在定义域上无极值点；

当aX),xG(0,J时，f(x)>0,

当xwg+8%寸，[(x)<0,

故函数式X)在x=：处有极大值.

综上可知，当aWO时，函数；U)无极值点；

当。>0时，函数/U)有一个极大值点，且为x=(.

考向3已知极值(点)求参数

[典例113](1)已知/(》)=；13+3加+为(:+/在x=—1处有极值0,则a+Z?

(2)(2021.全国乙卷)设aWO,若x=a为函数/(x)=a(x—a)2(xi)的极大值点,

则()

A.a〈bB.a>b

C.ab<a2D.ab>c^

(1)11(2)D[(l/(x)=3f+6以+江

f(-1)=0,

由题意得<

/(-I)=0,

。=1,a=2.

解得1或，

b=3b=9,

当a=l,6=3时，f(x)=3f+6X+3=3(X+1)220,

...於)在R上单调递增，

4

，危)无极值,

所以4=1,8=3不符合题意，

当0=2,6=9时，经检验满足题意.

.,.a+h=11.

(2y(x)=a[2(x—a)(x~/?)+(%—a)2]=a(x-a)(3x—a—2b),令f(x)=O,结合

a।2b

解得x=〃，或尢=-~，由题意得了(%)在直线的附近时，左侧为正

a।2b

值，右侧为负值，当a>0时，作出/⑴图象如图①所示，则“V巴了」，即OVa

a।2b

<b-,当aVO时，作出了(x)的大致图象如图②所示，则。>“一，即0>a>〃,

综上，a与。一〃始终异号，即a(a—8)V0,所以/〈必.

图①图②

畲反思领信与函数极值相关的两类热点问题

(1)求函数7U)极值的一般解题步骤

①确定函数的定义域.

②求导数人X).

③解方程八x)=O,求出函数定义域内的所有根.

④列表检验/(©在/(X)=0的根比左右两侧值的符号.

(2)根据函数极值情况求参数的两个要领

①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数

法求解.

②验证：求解后验证根的合理性.

一优艮进训练]

1.(1)已知尤=2是40=V―3处+2的极小值点，那么函数人%)的极大值为

4.,,

(2)已知函数«¥)=好一加+药.若«r)在(a—1,。+3)上存在极大值，贝lja的

5

取值范围是.

(1)18(2)(-9,0)U(0,1)［(1)函数人》)=必一3以+2的导数/(x)=3f-3a,

由题意得，/'(2)=0,即12—3。=0,解得a=4.

/.y(x)=—12x+2,'.f(x)=3/-12=3(x—2)(x+2),由.尸(%)>0,得x>2

或xV—2,即函数在(-8,—2)和(2,+8)上单调递增；

由/(x)V0,得一2VxV2,函数/(x)在(-2,2)上单调递减；

故式x)在x=2处取极小值，x=-2处取极大值，且.八—2)=-8+24+2=18.

即兀¥)机太侦=18.

2a

(2)f(x)=3X2—2cuc=x(3x—Id),令/(x)=0,得尤i=0,%2=岸

当a=0时，，(x)20,./U)单调递增，/(、)无极值，不合题意.

r\

当。>0时，«r)在x=g■■处取得极小值，在x=0处取得极大值，

则。一1<0<。+3,又a〉0,所以0<。<1.

当"0时，/U)在x=岸处取得极大值，在x=0处取得极小值,

则。一1<2^。<。+3,又a<0,所以一9<a<0.

所以a的取值范围为(-9,0)U(0,1).］

□考点二利用导数求函数的最值枷生共研

［典例2］已知函数_Ax)=at+lnx,其中。为常数.

(1)当。=-1时，求/U)的最大值；

(2)若/U)在区间(0,e］上的最大值为一3,求a的值.

［解］(1)易知7U)的定义域为(0,+oo),

当a=—1时，fix)=—x+lnx,

,.11—X

fW=-14--=——

人人

令，(x)=0，得x=l.

当04<1时，f(x)>0;当x>l时，/(x)<0.

.•JU)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.

•Wmax=Al)=-l.

.,.当a=-1时，函数.*x)在(0,+8)上的最大值为一］.

6

（2）f（x）=a+KxC（O,e］,*+°01

人AL_C/

①若心一占则/（x）20,从而凡r）在（0,e］上单调递增，

.•JU）max=«e）=ae+120,不符合题意.

②若&v-令/（x）>0得。+:>0,结合尤w（0,e］,解得0令v—

令了（尤）<。得。+5<0，结合x£（0，e］,解得一十<x〈e.

从而7U）在（0,一；|上单调递增，在（一今e上单调递减，

••g）max=f㈢一］+ln㈢.

令_l+ln（―0=-3,得In（一；）=—2,

即«=—e2.

•/—e2<—/.«=—e2为所求.

故实数a的值为一e?.

畲反思领悟

求函数«x）在［m上的最大值和最小值的步骤

I笫；步茶面£7乙\^（a,6）'而庙冠看：

I笫.步卜一f茶亩数7©云应向海£遍漏数瓦7，/）［£（小］

I第!步新函.数7b而各一极值-与7醛。7（江必晟「M+'"：

1~~最大的一个为最大值，最小的一个为最小值：

［跟进训练］

3—2x

2.（2021.北京高考节选）若函数加）=工^在x=-l处取得极值，求於）的

单调区间，以及最大值和最小值.

3—2%,—2（J^+«）—2x（3—2x）2（x2—3x—a）

因为穴力=十不？贝L=（/+a）2

阙（『+a）2，

2（4—〃）

由题意可得了（-1）=2=0,解得4=4,

（。+1）

..&,3-2A-2（A-+1）（A-4）

故/（X尸6+4）2'

7

当x变化时，式工）、/（X）的变化情况如下:

X(-8,—1)-1（一1，4）4(4,4-°°)

fw+0—0+

於）单调递增极大值单调递减极小值单调递增

所以，函数兀《）的单调递增区间为（-8,—1）、（4,4-0°）,单调递减区间为

（一1，4）.

极大值为人-1）=1,极小值为.*4）=—/

33

当x＜5时，.*x）＞0;当x＞］时，兀。＜0.

所以，兀V）max=/（-l）=l,.*X）min=*4）=-/

□考点三导数在解决实际问题中的应用枷生共研

［典例3］（2020・江苏高考）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直

截面图如图所示，谷底。在水平线MN上，桥A3与平行，。0'为铅垂线

（。在AB上）.经测量，左侧曲线A0上任一点D到MN的距离加（米）与D到00,

的距离。（米）之间满足关系式加=点片；右侧曲线B0上任一点F到MN的距离

后（米）与E到。。的距离伏米）之间满足关系式力2=一击〃+6".已知点B到00'

oUU

的距离为40米.

（1）求桥的长度；

（2）计划在谷底两侧建造平行于。。的桥墩CD和EF且CE为80米，其中

C,E在A8上（不包括端点）.桥墩所每米造价攵（万元），桥墩CO每米造价（万

元）/＞0）,问。石为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？

［解］（1）如图，设AA”BB\,CDi，EFi都与MN垂直，4，B\,Di,Fi是

8

3

相应垂足.由条件知,当。'B=40时，BBi=—^X40+6X40=160,则44I

oUU

=160.

由表042=160,

得02=80.

所以A8=O'A+O'B=80+40=120(米).

(2)以。为原点，00'为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示).

设E(x,")，xG(0，40),则＞»2=一/产3+6X,

EF=160—>2=160+^^r3—6x.

因为CE=80,所以O'C=80—x

设£>(x—80,yi),则yi=表(80—

所以CD=160-J.=160—表(80—九)2=一4,『+4乂

记桥墩CD和EF的总造价为加:),

则X》)=4160+焉1P-6x)+|《一京1f+4x

="舄村一病"16o\o<x<4O).

3k

8OOA"一制=痂e20)，

令了(x)=0,得x=20.

当X变化时，j{x},/(x)的变化情况如下:

X(0,20)20(20,40)

fM—0+

於)单调递减极小值单调递增

9

所以当x=20时，7U)取得最小值.

答：(1)桥4?的长度为120米；

(2)当O，E为20米时，桥墩CD和E厂的总造价最低.

命反思领悟利用导数解决实际问题的四个步骤

(1)分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际

问题中变量之间的函数关系式y=Ax).

(2)求函数的导数了⑴，解方程，(x)=0.

(3)比较函数在区间端点和/(x)=0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大

(小)值.

(4)回归实际问题，结合实际问题作答.

一［跟进训练］

3.某同学准备自主创业