高考数学大一轮复习 第十二章 不等式选讲 课时达标60 不等式的证明试题

课时达标第60讲不等式的证明[解密考纲]不等式的证明以解答题进行考查，主要考查综合法、比较法，还常用基本不等式证明不等式或求最值．1．已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.证明(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2.因为a，b都是正数，所以a＋b>0.又因为a≠b，所以(a－b)2>0.于是(a＋b)(a－b)2>0，即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，所以a3＋b3>a2b＋ab2.2．已知a，b，c都是正数，求证：eq\f(a2b2＋b2c2＋c2a2,a＋b＋c)≥abc.证明因为b2＋c2≥2bc，a2>0，所以a2(b2＋c2)≥2a2bc，同理，b2(a2＋c2)≥2ab2c，c2(a2＋b2)≥2abc2，③①②③相加得2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c从而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋由a，b，c都是正数，得a＋b＋c>0，因此eq\f(a2b2＋b2c2＋c2a2,a＋b＋c)≥abc.3．已知a，b，c∈(0，＋∞)，求证：2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)－\r(ab)))≤3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b＋c,3)－\r(3,abc))).证明欲证2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)－\r(ab)))≤3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b＋c,3)－\r(3,abc)))，只需证a＋b－2eq\r(ab)≤a＋b＋c－3eq\r(3,abc)，即证c＋2eq\r(ab)≥3eq\r(3,abc)，∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴c＋2eq\r(ab)＝c＋eq\r(ab)＋eq\r(ab)≥3eq\r(3,c·\r(ab)·\r(ab))＝3eq\r(3,abc)，∴c＋2eq\r(ab)≥3eq\r(3,abc)成立，故原不等式成立．4．设a，b为正实数，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2eq\r(2).(1)求a2＋b2的最小值；(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．解析(1)由2eq\r(2)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(1,ab))，得ab≥eq\f(1,2)，当a＝b＝eq\f(\r(2),2)时取等号．故a2＋b2≥2ab≥1，当a＝b＝eq\f(\r(2),2)时取等号．所以a2＋b2的最小值是1.(2)由(a－b)2≥4(ab)3，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－\f(1,b)))2≥4ab，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))2－eq\f(4,ab)≥4ab，从而ab＋eq\f(1,ab)≤2.又a，b为正实数，所以ab＋eq\f(1,ab)≥2，所以ab＋eq\f(1,ab)＝2，所以ab＝1.5．已知函数f(x)＝|x|－|2x－1|，记f(x)>－1的解集为M.(1)求M；(2)已知a∈M，比较a2－a＋1与eq\f(1,a)的大小．解析(1)f(x)＝|x|－|2x－1|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x≤0，,3x－1，0<x<\f(1,2)，,－x＋1，x≥\f(1,2).))由f(x)>－1，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x－1>－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2)，,3x－1>－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2)，,－x＋1>－1，))解得0<x<2，故M＝{x|0<x<2}．(2)由(1)知0<a<2，因为a2－a＋1－eq\f(1,a)＝eq\f(a3－a2＋a－1,a)＝eq\f(a－1a2＋1,a)，当0<a<1时，eq\f(a－1a2＋1,a)<0，所以a2－a＋1<eq\f(1,a)；当a＝1时，eq\f(a－1a2＋1,a)＝0，所以a2－a＋1＝eq\f(1,a)；当1<a<2时，eq\f(a－1a2＋1,a)>0，所以a2－a＋1>eq\f(1,a).综上所述，当0<a<1时，a2－a＋1<eq\f(1,a)；当a＝1时，a2－a＋1＝eq\f(1,a)；当1<a<2时，a2－a＋1>eq\f(1,a).6．已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求证：(1)eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)≤eq\r(3)；(2)eq\f(1,3a＋1)＋eq\f(1,3b＋1)＋eq\f(1,3c＋1)≥eq\f(3,2).证明(1)∵由柯西不等式得(eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c))2＝(1·eq\r(a)＋1·eq\r(b)＋1·eq\r(c))2≤(12＋12＋12)·[(eq\r(a))2＋(eq\r(b))2＋(eq\r(c))2]＝3，当且仅当eq\f(1,\r(a))＝eq\f(1,\r(b))＝eq\f(1,\r(c))，即a＝b＝c＝eq\f(1,3)时，等号成立，∴eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)≤eq\r(3).(2)∵由柯西不等式得[(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3a＋1)＋\f(1,3b＋1)＋\f(1,3c＋1)))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3a＋1)·\f(1,\r(3a＋1))＋\r(3b＋1)·\f(1,\r(3b＋1))＋\r(3c＋1)·\f(1,\r(3c＋1))))2＝9(当且仅当a＝b＝c＝eq\f(1,3)时取等号