大学物理第11章：静磁场A

第十一章稳恒磁场研究对象：稳恒电流产生的磁场及磁场与电流的相互作用稳恒电流产生的磁场及其相互作用1.磁场对电流的作用2.磁场对运动电荷的作用磁现象的电本质

——运动电荷产生磁场磁场与运动电荷间的相互作用内容结构1.磁现象的电本质2.电流激发磁场的规律

—毕萨定律3.磁场的基本性质

—磁高斯定理、安培环路定理§11-1磁现象的电本质一.磁铁的磁性磁极：磁性特强的区域NS作用规律：同性磁极相互排斥，异性磁极相互吸引二.电流的磁效应奥斯特实验表明：电流对磁极有力的作用磁铁对电流有作用电流间有相互作用载流线圈的行为像一块磁铁1.实验基础磁场磁铁磁铁电流电流2.磁现象电本质假说安培分子电流假说一切磁现象都起源于电荷的运动(电流)。三.磁感应强度B方向：试验线圈处于平衡时，线圈正法线指示的方向即为该点磁场(B)的方向。sI

定义:（N--线圈的匝数，S--线圈包围面积）载流线圈的磁矩：Pm=NIS

真空中，电流元Idl

在P点产生的磁场为§11-2毕奥-萨伐尔定律！

上式称为毕奥-萨伐尔定律。

2.r是从电流元Idl

指向场点P的矢量。

r是电流元Idl

到P点的距离。

PIdl大小：Idl=电流I

线元长度dl。方向：电流I的方向；1.电流元Idl

是线元。4.磁场的大小：

方向：由右手螺旋法则确定(见图)。B

是Idl与r之间的夹角。

PIdlB

3.公式中的系数是SI制要求的。真空的磁导率：o=410-7

5.对载流导体，按照叠加原理,可分为若干个电流元，然后用毕-萨定律积分：6.磁感应强度的单位是特斯拉(T)，1T=104Gs。各电流元磁场方向相同：各电流元磁场方向不同：分量积分例题11-1

求直线电流的磁场。

解选坐标如图,

方向：垂直纸面向里(且所有电流元在P点产生的磁场方向相同);所以直线电流在P点产生的磁场为

电流元Idx在P点所产生的磁场为Pa.Ix

Idxrox

由图中可以看出:

x=atg(-90)=-actg

完成积分得

1

2P点磁场方向:垂直纸面向里。BIPa.Ix

Idxrox注意：

1.上式中的a是直电流外一点P到直电流的垂直距离。

2.

1和

2是直电流与(直电流端点与场点P的)连线的夹角。

应取同一方位的角。

2PI

1a

讨论:(1)对无限长直导线,IB

1=0,

2=

,则有

2PI

1a

(2)如果P点位于直导线上或其延长线上,

证：若P点位于直导线上或其延长线上，则

=0或

=，于是

则P点的磁感应强度必然为零。Pa.Ix

IdxroxqAabcd思考：如图所示，一个点电荷q位于立方体的A角上，则通过侧面abcd的电场强度通量等于：(A)(C)(D)(B)(C)

例题11-2

直电流公式的应用。P点磁场：

AB：BC：

1

2(1)P点磁场:APaBI

CI(2)边长为a的正方形中心O点:A点磁场：

1

1=45,

2=135a2

2

1

1=45,

2=90aI.o

2AaI.o

(3)边长为a的正三角形中心o点的磁场。

电流I经三角形分流后,在中心o点产生的磁场为零。

CD段在三角形中心o点产生的磁场也为零。只有AB段在三角形中心o点产生磁场：IABoraICDE

(4)在一半径为R的无限长半圆筒形金属薄片中，沿长度方向有电流I流过，且电流在横截面上均匀分布。求半圆筒轴线上一点的磁场强度。

解

用长直导线公式积分。Bx

=2Rsin

-IdBoxy

Rd

例题11-4

圆电流轴线上一点的磁场。

解由对称性可知，P点的磁场方向沿轴线向上。有Bx=sin

即BIRxpdB

rIdldB在圆电流的圆心o处,因x=0,故得

由于各个电流元在圆心处产生的磁场方向相同，因此，如半圆弧圆心处的磁场：B=当然，圆心之外这个结论就不正确了。

一段圆弧形电流在圆心处产生的磁场就是圆电流在圆心产生磁场乘以(圆弧弧长与圆周长之比)。BIRxp

dBrIdldBo例题11-5

直电流和圆电流的组合。圆心o:Bo=方向：垂直纸面向外。方向：垂直纸面向里。boRIIacdIbefRrocdIa

电流I经圆环分流后,在中心o点产生的磁场为零。方向：垂直纸面向外。Ｉ1l1Ｉ2l2IRoBCDAI圆心o:圆心o点的磁场:方向：垂直纸面向外。ICDBAIRo(

1=0,

2=60)圆心o点的磁场:

2oR60

BACD

2

1

例题11-6

一均匀带电圆盘，半径为R，电荷面密度为

,绕通过盘心且垂直于盘面的轴以

的角速度转动，求盘心的磁场及圆盘的磁矩。解将圆盘分为若干个圆环积分。

带电圆环旋转时产生的电流强度为盘心的磁场：.oR

rdr2r

o

qIs圆盘的磁矩:.oR

rdr方向：垂直纸面向里。Pm=IS单匝圆电流的磁矩：

例题11-7

一半径为R的均匀带电半圆弧，单位长度上的电量为

，绕其直径所在的直线以角速度

匀速转动，求圆心o处的磁场。

解半圆弧旋转起来，象一个球面，可划分为若干圆电流积分。

Ro

xro注意到：r=Rsin

,

于是建立如图所示的坐标系。

Ro

d

xr自学教材载流直螺线管轴线上磁场.

记住结果:无限长载流直螺线管内的磁场：(后面用安培环路定理求解)小结：用毕—萨定律求分布(1)将载流导体视为电流元集合（或典型电流集合）

(2)由毕—萨定律（或典型电流磁场公式）得(3)由叠加原理（用分量积分）

PIdl典型电流磁场公式：2.

圆电流轴线上磁场：

无限长直电流：圆电流圆心处磁场：1.

有限长直电流：

半无限长直电流：3.无限长载流螺线管，螺线环内：第十一章稳恒磁场研究对象：稳恒电流产生的磁场及磁场与电流的相互作用稳恒电流产生的磁场及其相互作用1.磁场对电流的作用2.磁场对运动电荷的作用磁现象的电本质

——运动电荷产生磁场磁场与运动电荷间的相互作用内容结构1.磁现象的电本质2.电流激发磁场的规律

—毕萨定律3.磁场的基本性质

—磁高斯定理、安培环路定理一.磁感应线(磁力线)

为了形象地描述磁场,引入磁感应线(也称磁力线)。

磁力线上每一点的切线方向与该点的磁感应强度B的方向一致。

通过某点垂直于磁场方向的单位面积上的磁力线条数等于该点B的大小。§11-3磁高斯定理

磁力线有以下特点:

(1)磁力线是无头无尾的闭合曲线(或两端伸向无穷远处)。所以磁场是涡旋场。(2)磁力线与载流电路互相套合。

(3)任两条磁力线都不相交。

磁场中,通过一给定曲面的磁力线数目,称为通过该曲面的磁通量。二.磁通量

磁通量是标量，其正负由角

确定。对闭合曲面来说,我们规定取向外的方向为法线的正方向。这样：磁力线从封闭面内穿出时，磁通量为正；

磁力线从封闭面外穿入时，磁通量为负。通过匀强磁场中面积为S的平面的磁通量应为在国际单位制中,磁通量的单位为韦伯(wb)。

由于磁力线是闭合曲线，因此通过任一闭合曲面磁通量的代数和(净通量)必为零,亦即三.磁场的高斯定理这就是磁场的高斯定理。

在静电场中,由于自然界有单独存在的正、负电荷,因此通过一闭合曲面的电通量可以不为零,这反映了静电场的有源性。而在磁场中,磁力线的连续性表明,像正、负电荷那样的磁单极是不存在的,磁场是无源场。狄拉克

将半球面和圆面组成一个闭合面，则由磁场的高斯定理知，通过此闭合面的磁通量为零。-Br2cos

这就是说，通过半球面和通过圆面的磁通量数值相等而符号相反。于是通过半球面的磁通量就可以通过圆面来计算：。S

B

例题11-7在匀强磁场B中，有一半径为r的半球面S,S边线所在平面的法线方向的单位矢量和B的夹角为

,如图所示，则通过半球面S的磁通量为无源场有源场高斯定理？比较静电场静磁场§11-4安培环路定理

真空中,安培环路定理的数学表示式如下：保守场环路定理(无旋场)1.导出：可由毕—沙定律出发严格推证

采用：以无限长直电流的磁场为例验证推广到任意稳恒电流磁场（从特殊到一般）1)沿磁感应线的环流

若电流反向：与环路绕行方向成右旋关系的电流对环流的贡献为正，反之为负。2)在垂直于导线平面内围绕电流的任意闭合路径3)闭合路径不包围电流不穿过的电流：对无贡献4)若L不在垂直于直导线的平面内5)空间存在多个长直电流时，由磁场叠加原理这个定理的表述为：在真空中，对任意形状电流所产生的稳恒磁场，磁感应强度B沿任何闭合路径l的线积分(亦称B的环流)等于该闭合路径l所包围的电流强度的代数和的

o倍。2.推广：稳恒磁场的安培环路定理1)

B的环流完全由闭合路径l所包围的电流确定，而与未包围的电流无关。

注意：lI1I2I3

3)I内—是闭合路径l所包围的电流的代数和。包围—穿过以闭合路径l为边界的任一曲面的电流。

2)

但B是空间所有电流(闭合路径l内外的电流)产生磁场的矢量和。lI1I2I3lII电流的正负规律是:当闭合路径l的方向与电流方向呈右手螺旋关系时，电流I就取正号;反之,取负号。4)适用条件：稳恒电流激发的稳恒磁场(闭合电路)IIlSI(圆面)0(曲面S)于是得B=0正确答案请见例题11-1。例如,对有限长直电流,P点磁场：rPI二.安培环路定理的应用

——

求解具有某些对称性的磁场分布5）揭示出静磁场是涡旋场，电流就是涡旋中心，是磁场的源泉。求解条件：电流分布(磁场分布)具有某些对称性，以便可以找到恰当的安培环路L，使能积出，从而方便地求解。在平面内，作以为中心、半径的圆环，上各点等价：大小相等，方向沿切向。对称性分析：例题11-8

设无限长圆柱体半径为R,电流I沿轴线方向,并且在横截面上是均匀分布的。求圆柱体内外的磁场。以L为安培环路，其绕向如图所示轴对称

设电流密度为2r

oJ.r22r

oI思考：

无限长均匀载流直圆筒曲线？讨论：无限长均匀载流圆柱体（）如图，求通过（）的磁通量.解：磁场分布微元分析法：取.

例题11-9

一长直圆柱体内有一长直柱形空腔，两轴线平行且相距a，柱体中的电流密度为J,求空腔中的磁感强度。

解空腔柱体的磁场可看作是两个流有反向电流J的实心长直柱体的磁场的叠加。or1B1由上题计算结果可知：+=JJo´r2B2r1aoo

Jpr2B1B2空腔中的合磁场:

可见，空腔中的磁场是一个匀强磁场：大小：

方向：y轴正方向(即垂直于连心线oo´)。r1aoo

Jpr2B1B2

1

2r1r2oo´axyB2B1

1

2raoo

JP.讨论:图中P点的磁场:实心柱体内:实心柱体外:

解

由对称性知,与螺线环共轴的圆周上各点磁感应强度的大小相等,方向沿圆周为切线方向。

例题11-10

求载流螺线环的磁场分布。设螺线环环上均匀密绕N匝线圈,线圈中通有电流I,如图所示。

Iro

由安培环路定理：l2r

o在环管内:B=NI

对于管外任一点,过该点作一与螺线环同轴的圆周l1或l2为闭合路径，l1l2

由于这时

I内=0，所以有

B=0(在螺线环外)可见，螺线环的磁场集中在环内，环外无磁场。

I讨论：

对无限长载流长直密绕螺线管，若线圈中通有电流强度为I的电流,沿管长方向单位长度上的匝数为n，管内：管外：B=0可见，管内是匀强磁场,而管外的磁场为零。由安培环路定理：

例题11-11一均匀带电的长直柱面，半径为R，单位面积上的电量为

，以角速度

绕中心轴线转动，如图所示，求柱面内外的磁场。

解旋转的柱面形成圆电流，它和一个长直螺线管等效。

由长直螺线管的磁场可知，柱面外的磁场为零；而柱面内的磁场为=

o×单位长度上的电流强度

小结：用安培环路定理求解磁场分布

熟悉典型问题结果（无限）长直电流，圆电流轴线上，圆电流圆心处，长直载流螺线管，螺线环...

由求。

对称性分析

选环路L并规定绕向典型电流磁场公式：2.

圆电流轴线上磁场：

无限长直电流：圆电流圆心处磁场：1.

有限长直电流：

半无限长直电流：3.长直载流螺线管，螺线环内：第十一章稳恒磁场稳恒电流产生的磁场及其相互作用1.磁现象的电本质2.电流激发磁场的规律

—毕萨定律3.磁场的基本性质

—磁高斯定理、安培环路定理1.磁场对电流的作用2.磁场对运动电荷的作用磁现象的电本质

——运动电荷产生磁场磁场与运动电荷间的相互作用内容结构大小：dF=IdlBsin

方向：

即：dF

的方向垂直于Idl

和B组成的平面，指向由右手螺旋确定。

IdlBF

实验表明:电流元Idl

在磁场B中受的作用力(安培力)为§11-4磁场对载流导线的作用一.安培力其大小：F=IlBsin

方向：=Il×B对载流导体，可分为若干电流元积分：

对于放置在均匀磁场中长度为l的直载流导线,其所受的安培力为I

Bab=ab

例题11-12

在均匀磁场B中有一段弯曲的导线ab,通有电流I,求此段导线受的磁场力。

解弯曲导线ab可分为若干电流元积分：

可见,在匀强磁场中,弯曲导线受的磁场力等于从起点到终点的直导线所受的磁场力。力的大小：F=IlBsin

力的方向:垂直纸面向外。

IBabIdl直载流导线受的安培力:l又如，匀强磁场中的导线：圆弧受的力：力的方向垂直纸面向外。RBaboIoRIabB直载流导线受的安培力:圆弧受的力：

例题11-13

如图所示，无限长直电流I1和线段AB(AB=L,通有电流I2)在同一平面内,求AB受的磁力及对A点的磁力矩。

解由于每个电流元受力方向相同(如图示)，

由公式

dF=IdlBsin

得M=I2I1d

ABdFxdx

此电流元受磁力的方向沿半径指向圆外,

例题11-14

将半径R的圆电流I1置于无限长直电流I2的磁场中,长直导线与圆电流直径重合且相互绝缘,求圆电流I1所受的磁力。

解在圆电流上取电流元I1dl,

由对称性可知，圆环受的合力沿x轴的正方向,而大小为F=xyoI1I2I1dldFI1dl其大小为

xRydF

xRy安培力对电流元：对载流导体：I

Bab

IBabl大小：dF=IdlBsin

IdlBF方向：特例：匀强磁场：二.磁场作用于载流线圈的力矩

一N匝的刚性矩形平面载流线圈处于匀强磁场中，如图所示，求它受的力和力矩。f1f2f2´由F=IlBsin

，

可知：ab:f1=bc：f2=NIl2B,da：f2´=NIl2B,方向垂直纸面向内。

可见，ab和cd边受的力大小相等而方向相反,所以合力为零,也不产生力矩。cd：

显然，bc和da边受的合力也为零。f1´abcdIl1l2B

Il1Bsin

,方向向上；N但这对力偶对中心轴要产生力矩。方向垂直纸面向外;

f1´=NIl1Bsin

,方向向下。M=f22.

考虑到pm=NIl1l2，所以磁场对线圈力矩的大小可表示为M=pmBsin

用矢量式来表达，就是M=pm×Bf2f2´abcdIl1l2B

Bl1a(d)b(c)f2f2

力矩M的方向：沿中心轴线向上。Mf2=NIl2B

上式对任意形状的平面线圈也都适用。当线圈与磁场垂直时，M=0当线圈与磁场平行时，Mmax=pmB（类似于电偶极子在电场中的行为）f2f2´abcdIl1l2B

MM=pm×B大小：M=pmBsin

力矩将力图使转向

,当两者同向时，力矩便消失了。方向：

例题11-15半径为R的圆盘,带有正电荷,其电荷面密度

=kr,k是常数,r为圆盘上一点到圆心的距离,圆盘放在一均匀磁场B中,其法线方向与B垂直。当圆盘以角速度

绕过盘心o点,且垂直于圆盘平面的轴作逆时针旋转时,求圆盘处于图示位置所受磁力矩的大小和方向。

解可将圆盘分为无限多个圆环积分。

由M=pmBsin

，圆盘所受的磁力矩为r2BM=由pm×B

可知，M的方向垂直B向上。

RBodIrdr

解

(1)由M=pmBsin

，得M=IabJ=M/β=2.16×10-3(kg.m2)(2)磁力所作的功为=IabBsin60ºBsin(90º-

)

例题11-16

一矩形线圈a×b=10×5cm2，I=2A,可绕y轴转动，如图所示。当加上B=0.5i(T)的均匀外磁场(B与线圈平面成

=30º角)时，线圈的角加速度为β=2rad/s2，求:(1)线圈对oy轴的转动惯量J=?(2)线圈平面由初始位置转到与B垂直时磁力所作的功。yzo

BxabIM=pm×Bf2f2´abcdIl1l2B

M安培力矩:安培力大小：dF=IdlBsin

IdlBF方向：一.匀速运动点电荷的磁场

I=qn

ds

设电流元Idl

的横截面积为ds，导体单位体积内有n个带电粒子,每个粒子带有电量q，以速度

沿Idl

的方向作匀速运动，由§10-17例题10-37可知

Idl=qn

dsdl

在电流元Idl

内运动的带电粒子数为:dN=ndsdl。一个运动电荷产生的磁场=rPIdldsI§11-5带电粒子的运动=q

.ndsdl

例题11-17

一电子以速度

=1.0×107m/s作直线运动,求该电子在与它相距r=10-9m的一点处产生的最大磁感应强度。于是一个运动电荷产生的磁场就是:解

由式可知，磁场的最大值为P2023/12/18781.洛仑兹力安培力磁场中运动的带电粒子受到磁场的作用洛仑兹力(Lorentz,1853-1928)

实验指出：二

.运动带电粒子在磁场中的受力2023/12/1879大小：方向：垂直于()平面方向方向特点：不改变大小，只改变方向。不对做功。2.带电粒子在匀强磁场中的运动2023/12/1880

因为洛仑兹力F=q

Bsin

=0，所以带电粒子在磁场中作匀速直线运动。

带电粒子作匀速率圆周运动。圆周运动的半径和周期分别为

2023/12/1881

与B有一夹角

3）

B

=cos

^

=sin

此时带电粒子一方面以

⊥=

sin

在垂直于B的平面内作圆周运动,同时又以

=

cos

沿磁场B的方向作匀速直线运动。

这两种运动叠加的结果是粒子以B的方向为轴线作等螺距螺旋线运动(见下图)。2023/12/1882

B

=cos

^

=sin螺旋线运动螺距旋转半径2023/12/1883

：磁聚焦磁聚焦示意图电子显微镜近似相等均匀磁场，且很小：3.应用之一2023/12/1884三.霍耳效应

1879年,霍耳(A.H.Hall)发现下述现象:在匀强磁场B中放一板状金属导体,使金属板面与B的方向垂直,在金属板中沿着与磁场B垂直的方向通以电流I,则在金属板上下两个表面之间就会出现横向电势差UH(见图)。这种现象称为霍耳效应,UH称为霍耳电势差。

bIBa

上下两个表面之间的电场用EH表示。

产生霍耳效应的原因：金属中的自由电子受洛仑兹力的作用。UHfm

达到稳恒状态时，-eEH=-e

B即EH=

B

UH=EH.a=a

B

I=ne

式中b是导体在磁场方向的厚度。霍耳效应不只在金属导体中产生,在半导体和导电流体(如等离子体)中也会产生。

得