证券投资分析（第七版） 课件 第8章 组合管理理论、方法及应用

第三篇证券投资理论组合管理的基本概念1马柯维茨组合管理理论和方法2第八章组合管理理论、方法及应用有效市场假设3利用马柯维茨模型研究资产组合4马柯维茨模型的应用5第一节组合管理的基本概念投资组合的构建,是选择纳入投资组合的证券并确定各证券在该投资组合中合适的比例(称为权重)。组合管理的目标是实现效用最大化,使组合的风险和收益特征能够给投资者带来最大的满足。具体而言,就是在实现投资者对一定收益水平的追求的同时,将投资者面临的风险降到最低,或在投资者可接受的风险水平之内,使其获得最大的收益。传统的组合管理实际上并不是一种组合管理,而仅仅是对证券组合进行管理。它是靠非数量化的方法即基础分析和技术分析来选择证券构建和调整证券组合,分析的着眼点在于单项资产,或者是资产的简单集合。一、组合管理的概念1.现代资产组合理论的产生1952年,哈里·马柯维茨在JournalofFinance上发表了一篇题为《资产组合选择》的论文,这篇著名的论文被公认为“标志着现代资产组合理论的开端”。马柯维茨考虑的问题是单期投资问题,投资者拥有一笔资金,从现在起在某一特定期间进行投资,在期初投资者需要决定购买哪些证券及其数量,并持有直到期末。分别以一定数量购买的一组证券称为一个证券组合,投资者的决策就是要从一系列可能的证券组合中选择一个最优的证券组合,这样一个决策问题于是被称作“投资组合选择问题”。投资者在期初进行这样一个决策时,应该认识到在未来持有期中,证券的收益率是未知的,证券组合的收益率也是未知的。投资者可能会去估计所考虑的各种证券的期望收益率并投资于期望收益率最高的证券。马柯维茨指出,单纯考虑收益所作出的资产组合选择并不是最佳的。他提出,一个典型的投资者不仅希望“收益高”还希望“收益尽可能是确定的”。二、组合管理理论的产生与发展

2.现代资产组合理论的发展在投资者只关注“期望收益率”和“用方差描述的收益率的不确定性(风险)”的假设前提下,马柯维茨提供的方法是完全精确的。他用数量化方法提出了确定最优资产组合的基本模型。然而由于这一方法涉及计算所有资产的协方差矩阵,其计算量十分庞大,特别是在大规模市场中,存在上千种证券的情况下,其计算哪怕借助高速计算机也无法实现,更何况实际市场在时间上有近乎苛刻的要求。1963年,马柯维茨的学生威廉·夏普提出一种简化形式的计算方法,这一方法是通过建立一种所谓单因素模型来实现,即假设资产收益只与市场总体收益有关。这一简化形式使得证券投资组合理论应用于实际市场成为可能。特别是20世纪70年代计算机的发展、普及以及软件的成套化和市场化,促进了现代证券组合理论在实际中的应用。现今,在西方发达国家,单因素模型已被广泛应用于证券组合中普通股票之间的投资分配上,而最初的更一般的马柯维茨模型则被广泛应用于不同类型证券之间的投资搭配,如债券、股票、风险资本和不动产等。5.证券组合资产的业绩评估对证券组合资产的经济效果进行评价是证券组合管理的最后一环,也是十分关键的一环,它既涉及对过去一个时期组合管理业绩的评价,也关系下一个时期组合管理的方向。评价经济效果并不是仅仅比较收益率就行了,还要看资产组合所承担的风险。风险度不同,收益率也不同,在同一风险水平上的收益率数值才具有可比性。而资产组合风险水平的高低应取决于投资者的风险承受能力,超过投资者的风险承受力进行投资,即使获得高收益也是不可取的。对于收益的获得也应区分哪些是组合管理者主观努力的结果,哪些是市场客观因素造成的。第二节马柯维茨组合管理理论和方法马柯维茨的资产组合理论是以理性投资者及其基本行为特征为基本假设,分析在不确定情况下,投资者如何分配投资,使得在一定风险水平上获得最高收益。马柯维茨模型的假设如下:(1)每一种投资都有一种预期收益的可能分布来代表;(2)投资者以期望收益率来衡量未来收益率水平,以预期收益的波动来估计风险;投资者以期望收益率和方差来评价单个证券或证券组合;(3)投资者是风险厌恶的和不知足的,在同一风险水平下,投资者偏好收益较高的单个资产或资产组合,在同一收益水平上,投资者偏好风险较小的单个资产或资产组合;(4)投资者总是希望持有有效资产组合;(5)投资者的投资是单一投资期的。一、理性投资者的共同偏好大量事实证明,投资者普遍是喜好高收益而厌恶风险的,因而人们在投资决策时希望期望收益越大越好,风险越小越好。这种态度反映在证券组合的选择上可由下述规则来描述:(1)如果两种证券组合具有相同的收益率标准差和不同的期望收益率,那么投资者选择期望收益率高的一种组合;(2)如果两种证券组合具有相同的期望收益率和不同的收益率标准差,那么他就选择标准差较小的那种组合;(3)如果一种证券组合比另一种证券组合具有较小的标准差和较高的期望收益率,则他选择前一种组合。我们称这种选择规则为投资者的共同偏好规则。金融市场的无差异曲线表示在一定的风险和收益水平下,投资者对于不同资产组合的满足程度是无区别的,即投资者获得的效用相同。按照投资者共同偏好规则,证券组合的优劣不仅与风险/收益特征有关,还依赖于不同投资者的个人偏好。任意给定一个资产组合,根据投资者对风险的态度,在期望收益率的基础上对风险给予补偿,可以得到一系列效用相同的资产组合。根据马柯维茨的假设,我们分析理性投资者,即风险厌恶性投资者的个人偏好,确定其无差异曲线。在一个二元坐标中,横轴为用标准差测度的风险,纵轴为用期望收益率测度的收益,投资者认为,同一条无差异曲线上任何一点所代表的投资组合都能够带来同样的满意度。理性投资者的无差异曲线具有以下特点:二、投资者的无差异曲线(1)无差异曲线是从左下方向右上方倾斜的。对于理性投资者,风险的增加伴随着更多的不确定性,会降低效用,所以需要更高的收益率作为补偿,这就是我们常说的高风险高收益。反映在风险—收益二元坐标中,每个点只能与自己右上方的点具备相同的效用。无差异曲线的凸向反映投资者对风险的态度。水平的无差异曲线表明投资者是风险中性的,曲线左凸反映了风险偏好,曲线右凸反映了风险厌恶,如图8—1所示。图8—1理性投资者的无差异曲线(2)沿着无差异曲线向右移动,曲线将变得越来越陡峭。因为在已经承受较高风险的情况下,要进一步增加风险,就会要求更高的收益补偿;相反,如果期望收益较低,要进一步降低收益水平,就要降低更多的风险,这是经济学上的边际效用递减原理。(3)无差异曲线的斜率能反映风险厌恶程度。较陡峭的表示投资者具有高度风险厌恶,较平缓的表示风险厌恶程度较轻。(4)投资者的无差异曲线是一个曲线簇,称为无差异曲线簇,如图8—1所示。水平越高的曲线,效用越大,即曲线A代表的效用水平高于曲线B代表的效用水平,而后者又高于曲线C代表的效用水平。净值增长率给出了基金经理人的绝对表现,但是投资者却无法据此判断基金经理人业绩表现的优劣。基金表现的优劣只能通过相对表现才能作出判断,分组比较与基准比较是两个最重要的比较方法。1.分组比较法分组比较就是根据资产配置的不同、风格的不同、投资区域的不同等,将具有可比性的相似的基金放在一起进行业绩的相对比较,其结果常以顺序、百分位、星号等形式给出。这种比较要比不分组的比较更能给出有意义的衡量结果。分组比较的基本思路是,通过恰当地分组,尽可能地消除由于类型差异而对基金经理人相对业绩所造成的不利影响。例如,由于股票市场周期性波动的影响,一段时间以来,成长型基金的表现普遍较好,而价值型基金的表现较差。如果把它们分在一组比较,价值型基金的相对表现就会普遍较差。二、基金绩效的净值增长率衡量2.基准比较法基准比较法是通过给被评价的基金定义一个市场的基准组合,比较基金净值增长率与基准组合收益率的差异来对基金表现加以衡量的一种方法。基准组合是可投资的、未经管理的、与基金具有相同风格的组合。一个良好的基准组合,首先要具有明确的组成成分,也就是其构成组合的成分证券的名称和权重非常清晰。再者,要具有可实际投资性,而且基准组合的收益率是可计算的。第三,基准组合要与被评价基金具有相同的风格与风险特征,并且基准组合的构造要先于被评估基金的设立。基准组合可以是全市场指数、风格指数,也可以是由不同指数复合而成的复合指数。在资产组合理论中,可行集代表一组证券所形成的所有可能组合,即所有可能组合都位于可行集的边界或内部。通常可行集满足以下两个重要特征:(1)若至少有三种非完全不相关且均值不同的资产,则可行集是一个二维的实心区域。如图8—2所示,A、B、C是三种资产,由于三者中任两者构成的资产组合是两资产之间的一条曲线,将三种资产两两组合之后,得到如图所示的三条曲线。如果资产D为资产B和资产C的一种组合,A、D两点之间的曲线能代表A和D的组合,即为三种基础资产的组合。随着D点在BC曲线上移动,连接A和D的曲线轨迹就是一个实心区域。(2)可行区域凸向左边。在可行区域内,对于任意两点,连接这两点的直线不会穿过可行区域的左边界,这是因为任意两个资产组合的轨迹总在两项资产连线左边或者这两项资产的连线上。如果可行区域如图8—3所示,那么由A和B两点代表的资产形成的组合(由虚线AB表示)将不在可行区域内,这是不合理的。三、资产组合的有效边界图8—2三种基础资产的组合的可行集图8—3不合理的可行集图8—4资产组合的可行集可行集的边缘上的资产或资产组合都是在同等收益水平上风险最小的资产组合,因此也被称为最小方差资产组合的集合。端点处的资产组合又是有最小方差资产组合中方差最小的一个,被称为最小方差资产组合(MVP)。该端点将弹形区间分为上下两部分,上部分边缘上的各种资产和资产组合,不仅满足同等收益水平下风险最小的条件,还满足同等风险水平上收益最高的条件,是理性投资者的理想选择。因此,弹形区间上半部分边缘被称为资产组合的有效边界(或有效资产组合的集合)。由于有效边界的收益和风险是对称的,因此,理想投资者到底选择有效边界上的哪一点,取决于投资者风险厌恶程度的强弱。风险厌恶程度较强的,可选择靠近端点的资产组合;风险厌恶程度较弱的,可选择高风险、高收益的资产组合。四、最优组合选择有效集是一段曲线,其上仍有很多资产组合,投资者如何在其上选择对自身而言最优的组合呢?特定投资者个人可以依赖个人偏好进行选择。将有效集与无差异曲线放在一个坐标内,与有效边界相切的无差异曲线就是有效边界所能遇到的效用最高的无差异曲线。在特定风险条件下,最优组合选择只有一个,因为双曲线与向上倾斜的无差异曲线切点只有一个。对于不同风险偏好的投资者而言,其无差异曲线的斜率是不同的,对于同样的可行集和有效集,不同投资者选择的最优组合也是不同的(见图8—5)。图8—5最优组合选择第三节有效市场假设早期的有效市场假设是建立在随机游走模型基础上的。1953年,英国统计学家莫里斯·肯德尔(MauriceKendall)在进行经济时间序列分析时研究了19种英国工业股票价格指数和纽约、芝加哥商品交易所棉花和小麦的即期价格周期变化规律,在作了大量序列相关分析之后,发现这些序列就像在随机游走一样,下一周的价格是前一周价格加上一个随机数构成的。随机游走是一个统计意义上的概念。其核心意义为过去与未来无关,一系列结果中的下一个结果并不依赖于它的上一个结果(此称为马尔可夫性质,随机游走过程是一个马尔可夫过程)。如果证券价格的时间序列是一个随机游走过程,证券价格的变化就是随机而不可预测的。下一时刻证券价格的变动方向和变化幅度与当前时刻以及以前时刻证券价格的变动方向和变化幅度无关。一、有效市场假设的形成法马在1970年提出的“有效市场假设”认为,如果证券市场上的证券价格能够迅速地对信息作出响应,且当前价格充分、准确地反映了全部的相关信息,则称该市场为有效率的。换句话说,能够有效地利用经济、金融等方面信息组织交易、确定资产价格的市场就是有效的。有效市场需要以下三个前提:第一,市场上存在着大量追求收益最大化的投资者。他们根据流入市场的信息分析和判断证券价值,从而决定是买入还是卖出。第二,有关证券价格的新信息以随机的方式进入市场,且在时间上相互独立。各种政治、经济、金融等信息流入市场是随意的,无固定时间及方式。第三,当新信息进入市场时,众多投资者之间的竞争使得证券的市场价格得到迅速调整。这种价格的修正可能不会很准确,有时候市场可能会过度修正,有时可能会修正不到位,但是修正总是公平的。投资者无法预知市场会修正过度还是修正不到位。二、有效市场假设的含义三、有效市场的三种类型根据所获得信息的含义不同,有效市场假定一般有三种可区分的形式:弱有效形式、半强有效形式和强有效形式。1.弱有效市场弱有效市场假设认为,股价已经反映了全部能从市场交易数据中得到的信息,这些信息包括过去的股票历史价格、交易量、收益率、空头的利益等。该假定以为市场的价格趋势分析是徒劳的,过去的股价资料是公开的且几乎毫不费力就可以获得。如果这样的数据曾经传达了未来业绩的可靠信号,那所有投资者肯定已经学会如何运用这些信号了。随着这些信号变得广为人知,它们最终会失去其价值,即建立在历史收益率和其他市场数据基础上的任何交易规则很难为投资者带来超额回报。如果弱有效市场假说成立,股票价格运动遵循随机游走理论。

2.半强有效市场根据有效市场假设,在半强有效市场中,与公司前景有关的全部公开的已知信息一定已经在股价中反映出来了。除了过去的价格信息外,这种信息还包括公司生产线的基本数据、管理质量、资产负债表组成、持有的专利、公司利润、净资产收益率等。此外,任一投资者都能从公开的已知资源获取的信息,包括金融法规、税负、利率水平等,我们都可以认为它们会被反映在股价中。在半强有效市场上,投资者不能通过对公众可获得信息的分析获得超额收益,即基本分析是无效的。3.强有效市场强有效市场假设认为,股价反映了全部与公司有关的信息,不仅包括过去的历史价格、公众可获得的全部信息,甚至包括仅为内部人员所知的信息。这一假设是十分极端的。公司管理层在内幕信息被公布之前就据此在市场进行买卖获取利润在目前仍是存在的。证券监管当局所从事的大部分活动是为了阻止内部人员利用职权谋利。弱有效市场、半强有效市场和强有效市场假说之间的区别在于所反映的信息范围不同。弱有效市场的信息集仅包括与该种股票历史价格有关的信息;半强有效市场包括弱有效市场信息集加上所有公开的有关信息;强有效市场信息集是半强有效市场信息集加上内幕信息。三种市场之间的关系如图8—6所示。图8—6三种市场之间的关系市场是否是有效的,或者说,市场在多大程度上是有效的,始终颇受投资者和经济学家关注。针对这一问题,他们作了很多实证研究,试图对真实市场的有效性作出判断。对有效市场假设的经验性检验大致集中在以下三个方面。1.弱有效市场假设检验对弱有效市场理论的检验分为两类:第一类是收益率独立性的统计检验;第二类是比较两种交易策略的风险回报。一种交易策略是以市场数据为决策基础,另一种交易策略是简单买进并持有,在检验期初买进股票并一直持有至期末。有效市场理论认为,证券收益应该是随时间而相互独立的,因为新信息是以随机、独立的方式进入市场,且证券价格会因新信息的进入而迅速调整。较著名的是独立性自相关检验。用于检验随时间变化的收益之间相关关系的显著性,即t日的收益率与t-1日、t-2日、t-3日的收益率是否相关。对短期股票收益间的序列相关检验表明,股票间的相关性并不显著,从而支持了有效市场理论。四、有效市场假定的检验2.半强有效市场假设检验对半强有效市场理论的检验主要有以下两种方法:(1)事件研究。事件研究法是检验半强有效市场最常用的办法。该方法是检验股票价格对某一特殊事件(如股票分割、公司控制权转移、年报公布等)的反应程度。通常是检验某一事件公开后再投资于某一证券是否有可能得到显著的异常收益率。依据半强有效市场假说,因为事件公开后证券价格会迅速修正,那么投资者在事件公开后买卖证券就不可能从该实践中得到比通常更高的风险收益。事件研究主要是检验某一特殊信息能否带来超常收益率,又称超常收益率法。方法如下:首先,利用市场模型计算股票的实际收益率。收益率测算公式为

rit=αi+βirmt+εit式中:rit为第i种股票第t期的实际收益率;rmt为市场指数在第t期的实际收益率;αi,βi为回归系数;εit为第t期的误差项,即残差。其次,将股票的正常收益率定义为

=αi+βirmt式中:为第i种股票第t期的正常收益率。最后,计算股票的超额收益率,超额收益率即为实际收益率减去正常收益率:

ARit=rit-=εit=rit-(αi+βirmt)式中:ARit是第i种股票第t期的超常收益率。很多学者运用事件研究法检验股票价格对特殊事件的反应。前人研究的事件,包括对股票拆细、初次公开发行、会计变更、并购重组等,宏观经济信息包括货币供给、通货膨胀等。在这些研究中,基本市场都能够对信息作出迅速反应,不会产生显著的异常收益,检验结果支持半强有效市场假设。(2)收益率预测研究。在对未来收益率预测的检验中,预测未来收益率时使用的是公开信息,而不仅是在弱有效市场假设检验中使用的价格和成交量信息。这些研究既涉及收益的时间序列分析,也涉及单只股票收益分布的横截面。半强有效市场理论认为,用历史收益数据或公开信息预测未来收益是不可能的。3.强有效市场假设检验强有效市场理论认为股票价格充分反映了所有的公开信息和非公开信息。这意味着投资者既不能从公开信息中获得超额收益,也不能从非公开信息中获得超额收益,这个极度严格的理论不仅要求股票价格必须迅速地对新的公开信息作出反应,还要求没有人能够通过内幕信息获得超额收益。对强有效市场理论的检验分析了不同投资小组在一段时间内的收益,以确定是否有哪个小组能够连续得到比平均风险修正收益更高的收益。为了持续获得正的异常收益,投资小组必须获取重要的非公开信息,或者能够在得知公开信息后先于其他投资者采取行动。研究者共检验了两类人员。第一类是公司内部人员,第二类是证券交易所专家。公司内部人员这里指可以掌握公司内幕的人,包括公司董事、高级管理人员、大股东及其他有机会获得公司内幕信息的有关人员。对美国证券市场的研究结果表明,由于有掌握内部信息的便利,他们能够获得超额收益。而因为时差,普通交易者采取跟进策略并不能获得超额收益。1.有效市场假设与技术分析有效市场假设认为,在弱有效市场中,价格已经反映了所有的市场历史数据。而技术分析是以市场历史数据,主要是股票价格和成交量为基础的交易策略,所以,在有效市场上,技术分析无效。换言之,如果市场未达到弱有效,可以利用技术分析在交易中获利。2.有效市场假设与基本分析基本分析是通过对公司的盈利前景、利率预期及公司的风险评估来判断股票的内在价值,将股票的现时市场价格与内在价值比较,进行买入或卖出。依据有效市场假设,在半强有效市场中,公开的市场信息全部反映在股价中。投资者无法从对行业前景和公司经营与盈利情况的分析中发现价格和价值的不同。或者说,在大量投资者存在的市场上,想要利用公开信息比其他投资者获知更多超前的结果是相当困难的。五、有效市场假设与投资策略3.有效市场假设与投资组合管理依据有效市场假设,在半强有效市场上,技术分析和基本分析都不会带来超额收益,在强有效市场上,甚至对内幕信息的分析都不能带来超额收益。那么,是否在有效市场上,证券投资组合管理就不再需要了呢?事实上并不是如此。因为即使是在强有效市场上,每一种证券都具备各自的风险。通过组合管理进行分散化的投资,能够降低组合的风险。在有效市场上,选择适当的证券投资组合,能够充分分散化使得组合的非系统风险降到最低,使组合的风险水平达到投资者的要求。第四节利用马柯维茨模型研究资产组合1.资产的收益马柯维茨之前的原始投资理念认为,投资者在起初进行投资决策时遵循“最大收益率原则”,即投资者选择收益率最高的资产作为投资对象。实际上,这仅适用于具有确定收益的资产,收益率的公式为:一、资产组合的收益与风险式中:W0为期初资产价格总额;W1为期末资产价格总额;r为收益率。但是,对于风险资产而言,期末价格并不是确定的。在不同的经济状况下,资产的未来价格不确定,未来收益也就不确定。根据马柯维茨模型,我们运用期望收益率来估计收益不确定资产的收益率情况。期望收益率运用数学期望求得,方法是对未来可能的收益率作出估计,依据每一估计出现的概率,进行加权平均。公式为:式中:ri为第i种资产的收益率;pi为ri可能发生的概率;E(r)为期望收益率。期望收益率实际上是资产各种可能收益率的平均值,因此又被称为平均收益率,或者均值。假设某股票的收益率与概率分布如表8—2所示。经济状况可能的收益率ri(%)概率pi(%)ripi(%)1-1010-12-225-0.5310353.5415304.5期望收益率6.5%表8—2某股票的收益率与概率分布

2.资产的风险方差的全称为概率分布的平方差,是用于测度随机变量的可能值与预期值的离散程度的指标。我们用收益率的方差来测度资产的各种可能的收益率相对于期望收益率的离散程度,或者说是用来估计实际收益率与期望收益率之间的偏离程度。由于我们把投资的风险定义为实际收益偏离期望收益的潜在可能性,我们可以借期望收益率的方差作为衡量风险的标准。公式为:根据上例中的数据,该股票的方差为

σ2=(-0.1-0.065)2×0.1+(-0.02-0.065)2×0.25+(0.1-0.065)2×0.35+(0.15-0.065)2×0.3 =0.0027225+0.00180625+0.0042875+0.0021675 =0.01098标准差为0.1048。由于方差的单位是“百分率的平方”,这是没有意义的,所以人们通常用标准差来替代方差。标准差的单位为百分率,可以用来度量资产的风险。3.样本平均值和样本方差在实际生活中,随机变量发生的概率往往是不可预知的,股票收益率尤其如此,这就需要利用样本来估计未来收益和风险、计算样本平均值和样本方差。在计算资产未来收益的样本平均值和样本方差时,我们是以过去的收益为样本的,并假设资产收益的分布概率是不变的。样本平均值的计算公式为在上例中,该股票的样本平均值为:(-10%-2%+10%+15%)/4=3.25%。由于在计算样本平均值时,我们假设资产各种收益率发生的概率相等,因此,样本平均值与期望收益率是有差别的,这一差别叫做样本误差。样本误差可以通过增加观察值来缩小。样本方差的计算公式为公式分母为N-1,是因为我们以样本平均数为未知平均数的代表,使得自由度为N-1,所以只有以此为分母才能产生方差的无偏估计。在上例中,样本平均值和样本方差给了我们评价资产的一个基本的可用方法。1.组合的收益当投资者投资于由多种资产组成的组合时,期望收益率:二、资产组合的收益和方差

E(rp)=E(x1r1+x2r2+…+xnrn) =x1E(r1)+x2E(r2)+…+xnE(rn)式中:x1+x2+…+xn=1。在计算方法上,通常我们先计算出各资产的期望收益率,然后以投资比重为权数,计算出组合的期望收益率。2.协方差与相关系数为了更好地理解资产组合的风险,我们在这里先介绍协方差和相关系数的概念。协方差是用来衡量两种资产收益率联动性的指标。如果已知证券A和证券B的收益率的联合分布,其协方差记作cov(rA,rB),公式如下:协方差反映两种证券协同变化的数量,其绝对数依赖于每个证券收益率与自身期望收益率的偏离程度,不同的证券对的协方差是不可比的,因而协方差的绝对数并不能反映证券间的什么关系,最多只能从协方差的符号上获得关于两种证券协同变化的方向上的认识。协方差为正,表明一种证券可望获得高于或低于预期的收益率,则另一种证券也有相同倾向;协方差为负,表明一种证券可望获得高于预期的收益,另一种证券则有收益低于期望收益的倾向;如果协方差为0,则表明一种证券的收益状况不能说明另一种证券的收益会有何种倾向,二者没有协同变化的倾向,因而两种证券的收益率之间没有关联性。协方差虽然不能反映证券间关系的密切程度,但将作为证券组合方差的重要输入数据。一般地,协方差不能直接用来比较两变量之间的相关性强弱,即不能直接用来比较两变量之间关系的密切程度。为了对证券间的相关程度作出衡量,应将收益率与期望收益率的偏离用收益率的标准差来标准化,从而使得不同证券对的协方差之间具有可比性,标准化后的协方差即被称为相关系数。证券A与证券B之间的相关系数记为ρAB,根据定义,公式如下式中:σA,σB分别为证券A和证券B的收益率的标准差。由于σA和σB的值总为正,所以相关系数的正负取决于协方差的正负。当协方差为正时,相关系数也为正;当协方差为负时,相关系数也为负。相关系数的取值范围在-1与+1之间,即有≤1。相关系数可以直接用来比较两资产之间的相关性大小。例如,如果股票A和股票B的收益率之间的相关系数为0.8,股票B和股票C收益率之间的相关系数为0.4,那么可以得出,股票B与A之间的相关性比B与C强。当两变量之间完全正相关时,它们之间的相关系数为+1;如果两变量之间完全负相关,它们之间的相关系数为-1。这两种情况都称为两变量之间完全线性相关。如果两个变量之间完全独立,没有任何相关性,那么它们之间的相关系数为0。

3.组合的风险衡量资产组合风险的因素不是资产组合中单个资产方差的简单加权平均,而是资产组合收益与其期望收益偏离数的平方,公式为:式中:rpi为资产组合p在i状态下的收益率。对于n个资产的组合来说,式中:i,j表示不同的资产。由于当i=j时,有cov(xi,xj)=,资产组合方差的公式可以改写为:引入相关系数,有由此不难推断,ρAB的数值越大,也越大;ρAB的数值小,也越小。换句话说,资产的相关度越高,资产组合的风险就越大。选择互不相关或负相关的资产进行组合可降低风险。在实际经济生活中,由于各种资产对一些宏观经济信息都会作出不同程度的反应,因此,绝对负相关或不相关的资产是很难找的,只能尽可能地选择相关系数偏低的资产。依据马柯维茨模型,我们用期望收益率和标准差衡量出了资产和资产组合的收益和风险特征,这是计算和判断最优资产组合的标准。选择最优资产组合,就是要寻找一个实现期望收益率目标的最小方差资产组合。具体地说,就是确定适当的投资比率,使得资产组合既能实现期望收益的目标,又能将风险降到最低。为了更简化地对问题进行说明,我们假设只有两种资产的情况。当允许卖空时,为求得每一给定期望收益率水平最小方差组合,实际只要对两个不同的期望收益率水平分别计算其最小方差组合即可。因为此时的最小方差集可由其上的两个组合的再组合产生。而对于给定的某期望收益率水平,计算其最小方差组合可通过数学上的拉格朗日乘数法来完成,或通过计算机的试错程序来确定。这里给出拉格朗日乘数法的具体运算方法。用拉格朗日乘数法求最小方差资产组合的权数。限制条件为:①E(rp)=xAE(rA)+xBE(rB);②xA+xB=1。我们要求使资产组合方差最小化的权数值:三、确定最小方差资产组合由于有两个限制条件,因此,我们引入两个λ乘数,使得资产组合方差最小化的拉格朗日方程可以表示为:用矩阵形式表示上述方程组,则有:当资产和资产组合的期望收益以及资产之间的协方差是已知的,利用上述矩阵,我们可以求出xA,xB,λ1,λ2,其中,xA,xB即为资产A和B各自的权重。此时,资产组合为最小方差资产组合。推广到多种资产的情况下,矩阵方程为第五节马柯维茨模型的应用投资领域有一个广泛而深入人心的概念,就是分散化投资,即俗话所说的“不要把所有的鸡蛋都放在一个篮子里”。一个资产组合的资产数目越多,一般称其分散化程度越高。分散化程度对于组合的风险是有明显的影响的,我们来看组合方差的公式一、资产组合的风险分散假设进行等权数投资,即任何一种资产的权数均为1/N,则这一公式说明,如果各证券都是零相关,即协方差为零,则上式中cov(ri,rj)=0,则该公式简化为:。可见,组合的风险是组合中单个资产风险的平均值的1/N。随着资产组合中资产数量的增加,组合更加分散,组合的风险也不断降低。极端地,当N→∞,→0。也就是说,在资产完全不相关的情况下,资产组合的风险随着资产数量的增加而消失。在现实生活中,资产之间完全不相关或者完全负相关的情况不多,由于都会受到一些宏观经济状态和波动因素的影响,所以大部分资产之间是不完全正相关的。这时,资产的风险主要来自资产价格共同运动。当N→∞,→1,可以得出此时cov(ri,rj)是资产组合风险的决定性因素。1.系统风险与非系统风险基于上面的论述,我们给出两个概念:系统风险和非系统风险。非系统风险是资产组合个别的风险,通过多样化可以消除。系统风险又称市场风险,是不能通过多样化予以消除的部分。图8—7表示了上述概念。风险曲线反映了分散化的效果,说明随着证券数目的增加,投资组合的风险减少。无限增加成分证券数目将使投资组合的风险趋向于系统风险或与市场有关的风险。保留下来的变异性反映这样一种事实,即几乎所有证券的回报率依赖于市场总体业绩的水平。因此,充分多样化的投资组合的回报率与市场回报率是高度相关的,其不确定性基本上是市场整体的不确定性。这时投资者不管持有多少种股票,他们面临的风险都是市场的不确定性。图8—7风险曲线但是,需要注意的是,当我们进行分散化投资时,并不是简单地增加持有的资产数量就可以了。随机地增加所选择的证券并按照相同的投资比重把这些证券组合在一起,只是在投资者不知道各种证券相关性之前的一个简单化的办法。正确有效的分散化,需要通过分析更充分利用不同资产对于市场不同的敏感性,资产之间相关性越小,它们组成的资产组合的方差越小,组合的风险越小。资产的标准差和相关系数是帮助我们进行有效分散化时重要的分析依据。马柯维茨模型中对最小方差资产组合的确定,也正是建立在上面两类数据的基础上的。2.扩充资产类型马柯维茨模型向我们证明了分散化能降低风险,也促使这一原则在投资中得到了更广泛运用。最近,投资者在资产配置中已经拓宽了资产选择的范围。依据投资组合理论,所考虑的证券的总体越大,得以改进多样化的潜在机会就越大。增加新的资产类型,特别是那些具有较好的协方差特征的资产类型,已成为越来越多的投资者和投资组合管理人员的目标。在资产配置中,投资者已显著增加的资产类型包括国际权益、国际债券和房地产。其他一些或许被认为是少量或不标准的资产,如风险资本和其他商品,也吸引了投资者的认真考虑。将国际权益加入资产组合,具有更加不同的意义。当投资者仅投资于本国资产时,本国宏观经济因素将成为重要的系统风险。如果纳入其他国家的资产,能分散这种国别风险,有效降低系统风险。另外,除了提供的良好多样化机会,其中有些国家具有的高增长潜力能为资产组合带来更高的收益率。目前,在很多投资组合中都出现了国际权益权重增加的趋势。世界市场投资组合的概念就是这样产生的。这种投资组合一般由现金等价物、本国债券、外国债券、本国普通股股票和外国普通股股票构成。在资产配置时,国际权益是重要的考虑因素。

在前面的讨论中,我们一直假设投资对象仅限于风险资产。我们现在引入无风险资产,使得投资组合的分析更加接近真实情况。投资于无风险资产,一方面是指买入无风险资产,另一方面包括借入资金并支付相应固定利率的利息,即无风险负债,相当于卖出无风险资产,即为卖空。二、引入无风险资产后的资产组合1.无风险资产在马柯维茨的方法中,无风险资产是指在单一持有期内具有确定收益率的资产。如果投资者在期初购买了一种无风险资产,那么他能够确切预测到期末的资产价值。无风险资产的期望收益率为这一确定的收益率,标准差为0。2.一种无风险资产与一种风险资产构成的资产组合假设由无风险资产A和风险资产B构成资产组合,两种资产的期望收益率和标准差分别为rA,rB,σA,σB,投资比重为xA,xB,xA+xB=1。计算该投资组合的期望收益率和风险,公式如下从上述计算资产组合期望收益和风险的公式不难推断,该资产组合期望收益和风险之间是线性关系。也就是说,当我们对无风险资产和风险资产进行组合投资时,由这两种资产各种组合的期望收益和风险数据所构成的是一条直线,如图8—8所示。线段AB上的各种组合是按不同比例同时投资A、B这两种资产的情况。A点上方的射线代表对A做卖空,并将收益全部投资于B资产的情况。很显然,只要卖空无风险资产就可以有效改善资产组合的风险和收益状况。图8—8一种风险资产和一种无风险资产构成的资产组合线直线特征在无风险资产与风险资产组合的组合中也同样存在。举例而言,对于两种风险证券A、B组合成的风险组合PAB,依据单个证券的期望收益率、方差及协方差,我们能够得出组合的风险和收益,视为一种新的风险资产。将这一新的风险资产与无风险资产C重新构建为组合,这一组合将落在连接两者的连线上。推广可以得出一般性,无风险资产与风险资产或风险资产组合构成的新组合,将位于连接无风险资产与风险资产或风险资产组合的直线上。3.无风险资产引入对有效边界的影响无风险资产的引入,将对可行集产生显著的影响。如图8—9所示,不仅单个风险资产,风险资产构成的各种组合都可能同无风险资产相结合,也就是说,无风险资产和可行集中的任一点的连线,其连线上的点都是新的可能组合。如图8—9所示,可行集扩展为这样一个区域:是一组从无风险资产组合点出发的射线。这一区域是夹在两条射线之间的全部区域,两条射线通常通过射线与风险资产有效集的切点或者是单个资产所表示的顶点。图8—9引入无风险资产后的可行集把无风险资产引入资产组合,拓宽了投资者的选择范围。(1)考虑不允许卖空的情况,此时,射线FT上T右方的点没有意义,因为投资者无法实现。投资组合的有效边界上从最小风险组合到切点T的那段也不再有效。新的有效边界将由一条直线段和一条曲线段组成。其中从无风险资产F到T点的直线,代表无风险资产与T点所代表的风险资产组合以不同比例结合构成的新组合,T右边的曲线段即为马柯维茨模型中有效边界中的那一段,此时,投资者仅投资于风险资产组合,在无风险资产上的投资权重为0。图8—10显示了在不允许卖空的情况下投资者最佳组合的情况,在图8—10中,投资者的最佳组合为无差异曲线和有效边界直线段的切点,投资者此时的最佳投资组合由无风险资产和风险资产构成。在图8—11中,投资者更倾向于冒险,无差异曲线较平缓,切点出现在有效边界的曲线段,此时投资者的最佳投资组合不包括无风险资产。图8—10不允许卖空情况下,倾向于保守的投资者的最佳组合图8—11不允许卖空情况下,倾向于冒险的投资者的最佳组合(2)考虑允许卖空的情况。此时,可行集为射线FT与射线FA所夹的区域。马柯维茨模型中投资组合的有效边界不再有效,因为有效边界上的点,在相同风险的情况下,组合的收益率都没有加入无风险资产后新组合的收益率高。新的有效边界将为一条射线。有效边界上的各点,代表无风险资产与T点所代表的风险资产组合以不同比例结合构成的新组合。图8—12显示了允许卖空的情况下投资者最佳组合的情况。最佳投资组合仍为无差异曲线与有效边界的切点。在图8—12中,切点出现在有效边界上T点左边,投资者的最佳投资组合是由无风险资产与风险资产组成的,其中各资产的权重均满足0≤ωi≤1。在图8—13中,投资者更倾向于冒险,切点出现在有效边界上T点右边,此时投资者的最佳投资组合是由无风险资产与风险资产组成的,不同的是无风险资产的权重为负,实际上是无风险负债,投资者将这部分借入资金用于投资风险资产组合。图8—12允许卖空情况下,倾向于保守的投资者的最佳组合图8—13允许卖空情况下,倾向于冒险的投资者的最佳组合在前面的讨论中,我们假设无风险利率