2022年北京数学高考真题学生版（含答案）

2022年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)

数学

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无

效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项。

1.已知全集U={目一3Vx<3},集合A={x|—21},则()

A.(-2,1]B.(-3,-2)UH,3)C.[-2,1)D.(—3,—2]U(1,3)

2.若复数z满足i・z=3—4i,则目=()

A.1B.5C.7D.25

3.若直线2x+y—1=()是圆(x—a)?+y?=i的一条对称轴，则。=()

111

A.-B.C.1D.—1

22

4.已知函数/则对任意实数x,有()

1+2

A./(-%)+/(x)=0B./(-x)-/(x)=0

C.〃T)+/(X)=lD./(-%)-/(%)=1

5.已知函数/(x)=cos?元一sin?x,则()

人./(工)在卜5，-%)上单调递减B.

/(x)在上单调递增

C./(%)在(0,乌)上单调递减D./(x)在，言)上单调递增

\3；

6.设{《,}是公差不为0的无穷等差数列，贝「'{4}为递增数列”是“存在正整数N。，当n>N0时，您>0"

的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬

奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和IgP的关系，其中T表示温度，单位是

K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是（）

A.当T=220,P=1026时，二氧化碳处于液态

B.当T=270,P=128时，二氧化碳处于气态

C.当T=300,P=9987时，二氧化碳处于超临界状态

D.当7=360,P=729时，二氧化碳处于超临界状态

8.若(2/-I)'=a/"++私人+4%+为,则为+4+%=()

A.40B.41C.-40D.-41

9.已知正三棱锥尸-ABC的六条棱长均为6,S是△ABC及其内部的点构成的集合.设集合

T={QeS|PQK5},则T表示的区域的面积为（）

3兀

A.—B.71C.2兀D.3兀

4

10.在ZiABC中，AC=3,BC=4,NC=90。.P为△ABC所在平面内的动点，且尸C=l,则丽・丽

的取值范围是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

H.函数y（x）=L+J0的定义域是.

X

12.已知双曲线丁+工=1的渐近线方程为〉=±中%，则机=

m3

13.若函数/(x)=Asinx-J^cos尤的一个零点为|■，则A=

—ax+Lx<a、

14.设函数/(x)=1；若/(%)存在最小值，则«的一个取值为________；〃的最大值为

(x-2),x>a.

15.已知数列｛a,J的各项均为正数，其前〃项和S“满足4=9(〃=1,2,…).给出下列四个结论：

①｛%｝的第2项小于3；②的｝为等比数列；

③｛凡｝为递减数列；④｛%｝中存在小于焉的项.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.(本小题13分)

在八43。中，sin2C=^sinC.

(1)求NC；

(II)若。=6,且ZVIBC的面积为66,求ZkABC的周长.

17.(本小题14分)

如图，在三棱柱ABC一A片G中，侧面BCC｝B］为正方形，平面BCC,瓦_L平面ABB,4，AB=BC=2,

M,N分别为Ag,AC的中点.

(I)求证：MN〃平面BCC］B］；

（II）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求直线AB与平面8MN所成角的正弦值.

条件①：AB工MN；

条件②：BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

18.（本小题13分）

在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将

获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数

据（单位：m）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.

（I）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

（II）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX；

（III）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

19.（本小题15分）

22

已知椭圆£：:5+方=1（。＞8＞0）的一个顶点为A（0,l）,焦距为2G.

（I）求椭圆E的方程;

（H）过点P（—2,1）作斜率为左的直线与椭圆E交于不同的两点8,C,直线AB,AC分别与x轴交于点M,

N,当|MN|=2时，求k的值.

20.（本小题15分）

已知函数/（x）=e1n（l+x）.

（I）求曲线y=/（x）在点（0,/（0））处的切线方程；

（II）设g（x）=7'（x）,讨论函数g（x）在［0,+oo）上的单调性；

（III）证明：对任意的6（0,y），有/（s+，）＞/（$）+/«）.

21.（本小题15分）

已知Q:%,4,…,4为有穷整数数列.给定正整数m,若对任意的〃e{l,2,…,加},在Q中存在

4,4+1，4+2,…，4+//2（））,使得q+4+|+《+2+…+4+/="，则称。为利一连续可表数列.

（I）判断Q:2,1,4是否为5—连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；

（II）若。：4吗，…，4为8-连续可表数列，求证：人的最小值为4；

（m）若Q:01M2,…,4为20-连续可表数列,且q+w+…+4<20,求证：k>l.

2022年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学参考答案

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项.

1.D2.B3.A4.C5.C6.C7.D8.B9.B10.D

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.5,0）。（0』

12.-3

13.①.1（2）,-72

14.①.0（答案不唯一）②.1

15.①③④

三、解答题共6小愿，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.(1)-

6

⑵6+673

17.(1)取A3的中点为K，连接用K,NK,

由三棱柱ABC—44J可得四边形ABB,4为平行四边形，

而gM=AM,，BK=M,则MK"BB\,

而MKZ平面CBB©,BBiu平面,故MKH平面CBB©,

而CN=NA,BK=KA,则NK〃BC,同理可得NK//平•面CBB©,

而NKCMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面MKN//平面CBB©,而MNu平面MKN,故MN〃平面CB4G,

(2)因为侧面CBB£为正方形，故C8，叫,

而CBu平面CBB©,平面CBBG1平面ABB.A,,

平面CB81Gc平面ABgA=BB「故Q3_L平面ABB^,

因为NK//BC,故NK，平面ABB14，

因为ABi平面故NK上AB,

若选①，则AB，MN,而NKLAB,NKCMN=N,

故AB_L平面MNK,而MKu平面MNK,故ABLMK，

所以ABLBq,而CB1BBi,CBcAB=B,故5耳J.平面ABC,

故可建立如所示的空间直角坐标系，则3(0,0,0),71(0,2,0),7^(1,1,0),“(0,1,2),

故丽=(0,2,0),丽=(1,1,0),西=(0,1,2),

设平面BNM的法向量为n=(x,y,z),

n-BN=Ox+y=0

则〈______,从而＜)+2z=0,取z=T则3=(-2,2,-1),

n-BM=0

设直线AB与平面BMW所成的角为。，则

sin0=|cos^n,~■

若选②，因NKUBC,故NKJ_平面ABqa，而M0u平面MKN，

故NK工KM,而B]M=BK=1,NK=1,故B、M=NK,

而48=MK=2,MB=MN,故ABB\MNAMKN,

所以=ZMKN=90°,故1

而CBLBBi，CBcAB=B,故平面ABC,

故可建立如所示的空间直角坐标系，则3（0,0,0）,4（0,2,0）,7^（1,1,0）,“（0,1,2）,

故丽=（0,2,。）,丽=（1,1,0）,西=（0,1,2）,

设平面BNM的法向量为n=（x,y,z）,

n-BN=0x+y=0

则从而,取z=—1，则力=(—2,2,-1)，

/丽=0y+2z=0‘

设直线AB与平面8vM所成的角为。，则

sin8=cos/n,AB}=—^―=一.

\/2x33

7

18.(1)0.4(2)一

5

(3)丙

2

19.(1)—+v2=l

4

(2)k=Y

20.(i)y=x

(2)g(x)在［0,+8)上单调递增.

⑶解:原不等式等价于y(s+/)—/0)>八»->(0),

4-m(x)=f(x+t)-f(x),(x,r>0),

即证加(x)〉加(0),

m(x)=f(x)=ex+/ln(l+x+，)一eAln(l+x),

x

e'+re

mf(x)=ex+/ln(l+x4-r)d----------eAln(l+x)------=g(x+，)-g(x),

1+x+Z1+x

由(2)知8。)=/(幻=］(111(1+%)+左)在［0,住)上单调递增，

g(x+f)>g(x),

/.m(x)>0

.••川(x)在(0,+8)上单调递增，又因为x,f>0,

m(x)>m(0),所以命题得证.

21.(1)是5-连续可表数列；不是6-连续可表数列.

(2)若攵W3,设为Q：则至多a+b,b+c,a+b+c,a,b,c,6个数字，没有8个，矛盾；

当左=4时,数列。：1,4,1,2,满足q=l,4=2,%+。4=3,。2=4,a1+a2=5,

4+。2+。3=6，。2+。3+。4=7,4+。2+%+。4=8，^min=4.

(3)Q-.a,,a2,...,ak,若，'=/最多有女种，若⑺,最多有C；种，所以最多有二+C：=种,

若女45,则4,外,…,%至多可表生土»=15个数，矛盾，

2

从而