机电耦合系统的最简规范形及其开折参数的关系

机电耦合系统的最简规范形及其开折参数的关系

在非平衡过渡中，电气耦合系统的机械耦合振动对系统的安全运行和系统的安全运行具有重大的影响。因此,研究机电耦合振动系统的动力学特性对于工业生产具有普遍而重要的意义。近年来,关于机电耦合系统的研究[1―8]有了很大发展。这些研究成果主要集中在建立机电耦合系统模型[1―7]、利用数值仿真方法研究其运动规律、利用规范形理论[9―12]、奇异性理论[1―2]初步分析机电耦合系统的动力学特性等。文献考虑机电耦合相互影响的因素,建立了大型汽轮发电机绕组非线性振动问题的力学分析模型,得到了稳态运动下的幅频响应方程,并对定常解的稳定性及奇异性进行了研究。文献建立了机电耦合非线性电机模型的数学方程,得到了系统的分岔转迁集和分岔响应曲线。文献采用Hopf分岔理论研究了发电机组的机电耦联失稳振荡问题。文献应用机电分析动力学理论建立了交流电机组的机电耦联振动方程组,讨论了系统的分岔情况以及分岔解的稳定性。文献讨论了具有串补电容的单机无穷大电力系统的余维3动态分岔。电磁振动机械系统是一类典型的机电耦合系统。它由电磁激振器提供激振力,在物料输送、筛选、产品的振动实验、零部件的耐久性实验设备中广泛使用。传统的研究方法不考虑机电耦合相互影响时,电输出只是机械部分的激励源。为了获得更精确的结果,越来越多的研究者考虑电机参数的影响。文献考虑振动机械的机电耦合因素,建立了偏心转子相位差角的微分方程和同步运动的必要条件,应用Lyapunov稳定性理论,讨论系统的平衡点稳定性及其分岔特性。文献建立了具有自动频率跟踪功能的电磁振动给料机的机电耦合模型,应用中心流形定理和传统规范形理论研究了其Hopf分岔。本文考虑具有自动频率跟踪功能的电磁振动机械,该类机电耦合系统的数学模型为:其中c2>0,c3>0,c4>0,c6>0,c7>0,c8>0,c1≥0,c5取任意值。文献利用传统规范形理论讨论了系统(1)的Hopf分岔。本文通过非线性动力学分析,展示了系统(1)丰富的动力学特性,得到了产生“双0”余维2分岔的参数条件,并得到了开折参数和原系统参数之间的关系。进而给出了系统分岔集、开折相图。最后通过数值仿真验证了理论分析的正确性。1co东南角矩阵由非线性动力学理论知:系统(1)有三个平衡点只考虑平衡点(0,0,0),其Jacobian矩阵为:其特征方程为:其中:p1=c2+c6,p2=c1-c3c5+c2c6,p3=c1c6。由特征方程可知:若p3=0,p2=0,即c1=c1*=0,时,特征方程有一对零特征值和一个负特征值,此时(0,0,0)为非双曲平衡点。2系统的类型和转迁集令,则系统(1)变为:引进可逆线性变换:则系统(3)变为:其中aij,bij,dij的取值见附录。利用中心流形定理,计算出中心流形上的约化方程为:引进可逆线性变换:和近恒同变换:得到系统(6)直到2阶的最简规范形:引入变换:,可得系统(9)的普适开折:易知,1μ≤0。当1μ<0时,系统(10)在原点附近有两个奇点;当1μ=0,系统(10)有唯一奇点(0,0)。令:μ1=-δ4,μ2=δ2v,u1→δ2u1,u2→δ3u2,由式(10)得:当δ=0时,系统(11)是哈密顿系统,其哈密顿函数为:此时,系统有两个平衡点(±1,0)。(1,0)为鞍点,(-1,0)为中心。哈密顿系统的相图如图1所示。该哈密顿系统过鞍点(1,0)的同宿轨道为:当δ≠0时,系统为耗散系统。易知,为:的零点。故系统(11)的同宿分岔的转迁集为综上可知:1)μ1=-μ22,μ2>0时,系统(10)发生Hopf分岔;2),μ2>0时,系统(10)发生同宿轨道分岔。在区域I有一个鞍点和一个汇,区域II有一个鞍点、一个汇和一个不稳定周期轨道,区域III有一个鞍点、一个源。图2为系统的分岔集:H表示Hpof分岔曲线,HL表示同宿轨道分岔曲线。图3为系统的开折平面相图。3同宿轨道相图为验证上述理论分析的正确性,给出数值仿真的结果。取:c2=0.5,c4=0.1,c5=1,c6=1.1,c7=1,c8=1.2。图4是ε1=0.01,ε2=0.0103306时,系统(3)出现极限环的相图,此时系统维持稳态振动,是实际生产中的所需要的理想状态。图5是ε1=0.001,ε2=-0.00163时,系统(3)出现同宿轨道的相图,此时系统(3)不是稳态振动,故不是实际生产中的理想状态。图6是系统(3)在区域I,区域II,区域III的三维相图。图7是系统(3)在区域I,区域II,区域III的xoy平面相图。(6-I)和(7-I)分别是ε1=0.01,ε2=-0.02时系统(3)的三维相图和xoy平面相图,系统(3)有一个鞍点和一个汇。此时所对应的机械系统作动器不产生振动,应避免。(6-II)和(7-II)分别是ε1=0.01,ε2=0.005时系统(3)的三维相图和xoy平面相图,系统(3)有一个鞍点、一个汇和一个不稳定周期轨道。(6-III)和(7-III)分别是ε1=0.01,ε2=0.02时系统(3)的三维相图和xoy平面相图,系统(3)有一个鞍点、一个源。比较图3与图4―图7,结果表明理论分析是正确的,并且易知系统(3)在区域II,区域III,也不是实际生产中的理想状态。4系统开折平面相图分析运用最简规范形理论和Melnikov方法对一类机电耦合系统的非线性系统复杂的动力行为进行了理论分析和数值仿真。在计算该类含参非线性系统的最简规范形时,采用