新高考数学一轮复习提升练习考点11 对数与对数函数 (含解析)

考向11对数与对数函数1．（2020·海南高考真题）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】首先求出SKIPIF1<0的定义域，然后求出SKIPIF1<0的单调递增区间即可.【详解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增所以SKIPIF1<0故选：D【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.2．（2020·全国高考真题（文））Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：SKIPIF1<0，其中K为最大确诊病例数．当I(SKIPIF1<0)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则SKIPIF1<0约为（）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．69【答案】C【分析】将SKIPIF1<0代入函数SKIPIF1<0结合SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0即可得解.【详解】SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.4.识别对数函数图象时，要注意底数a以1为分界：当a＞1时，是增函数；当0＜a＜1时，是减函数．注意对数函数图象恒过定点(1,0)，且以y轴为渐近线．5.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．6.比较对数值的大小（1）若对数值同底数，利用对数函数的单调性比较（2）若对数值同真数，利用图象法或转化为同底数进行比较（3）若底数、真数均不同，引入中间量进行比较7.解决对数函数的综合应用有以下三个步骤：(1)求出函数的定义域；(2)判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，若涉及其单调性，就必须对底数进行分类讨论；(3)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性1.对数的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则：如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝eq\f(n,m)logaM(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.【知识拓展】1.换底公式的两个重要结论(1)logab＝eq\f(1,logba)；(2)logambn＝eq\f(n,m)logab.其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1))，函数图象只在第一、四象限.1．（2021·新沂市第一中学高三其他模拟）函数SKIPIF1<0的定义域是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2021·全国高三其他模拟（理））已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2021·广东茂名市·高三二模）（多选题）已知函数SKIPIF1<0若函数SKIPIF1<0有且只有两个不同的零点，则实数SKIPIF1<0的取值可以是（）A．-1 B．0 C．1 D．21．（2021·四川遂宁市·高三三模（理））已知函数SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的奇函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）已知函数SKIPIF1<0的图像关于SKIPIF1<0对称，满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小关系为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2021·新安县第一高级中学高三其他模拟（文））被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为最大数据传输速率，单位为bit/s：SKIPIF1<0为信道带宽，单位为SKIPIF1<0：SKIPIF1<0为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，最大数据传输速率记为SKIPIF1<0；在信道带宽不变的情况下，若要使最大数据传输速率翻一番，则信噪比变为原来的多少倍（）A．2 B．99 C．101 D．99994．（2021·济南市·山东师范大学附中高三其他模拟）若函数SKIPIF1<0在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2021·广东佛山市·高三其他模拟）（多选题）函数SKIPIF1<0，下列说法正确的是（）A．SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0在定义域内单调递増C．不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0D．函数SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称6．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三月考（文））已知函数SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为___________.8．（2021·全国高三其他模拟）已知不为SKIPIF1<0的正实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0则下列不等式中一定成立的是_____.（将所有正确答案的序号都填在横线上）①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0．9．（2019·吉林高三其他模拟（理））已知等比数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，等差数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.10．（2021·山东高三其他模拟）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．给出定义：使数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为正整数的SKIPIF1<0SKIPIF1<0叫做“好数”，则在SKIPIF1<0内的所有“好数”的和为______．11．（2021·辽宁铁岭市·高三二模）设SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0是奇函数，则使得不等式SKIPIF1<0成立的SKIPIF1<0取值范围为___________.12．（2021·全国高三其他模拟）已知函数SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数SKIPIF1<0的图象．（1）写出SKIPIF1<0的解析式：（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，总有SKIPIF1<0成立，求实数m的取值范围．1．（2020·全国高考真题（文））设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2008·山东高考真题（文））已知函数SKIPIF1<0的图象如图所示，则SKIPIF1<0满足的关系是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2013·辽宁高考真题（文））已知函数SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2019·北京高考真题（理））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足SKIPIF1<0，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．SKIPIF1<05．（2020·海南高考真题）（多选题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，定义X的信息熵SKIPIF1<0.（）A．若n=1，则H(X)=0B．若n=2，则H(X)随着SKIPIF1<0的增大而增大C．若SKIPIF1<0，则H(X)随着n的增大而增大D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则H(X)≤H(Y)6．（2020·北京高考真题）函数SKIPIF1<0的定义域是____________．7．（2019·上海高考真题）函数SKIPIF1<0的反函数为___________8．（2014·重庆高考真题（理））函数SKIPIF1<0的最小值为__________．9．（2014·广东高考真题（理））若等比数列的各项均为正数，且，则SKIPIF1<0.10．（2017·上海高考真题）已知数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的项是互不相等的正整数，若对于任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的第SKIPIF1<0项等于SKIPIF1<0的第SKIPIF1<0项，则SKIPIF1<0________1．【答案】C【分析】根据题意列不等式组，化简得出结论.【详解】由题意得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.所以原函数的定义域为SKIPIF1<0.故选：C.2．【答案】A【分析】运用对数运算法则和换底公式进行求解.【详解】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：A3．【答案】A【分析】先由对数的性质可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后利用作差法判断SKIPIF1<0的大小即可【详解】首先SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A.4．【答案】BCD【分析】作出函数SKIPIF1<0的图象如下图所示，将原问题转化为函数SKIPIF1<0的图象与直线SKIPIF1<0有两个不同的交点，根据图示可得实数SKIPIF1<0的取值范围.【详解】根据题意，作出SKIPIF1<0的图像如下所示：令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以要使函数SKIPIF1<0有且只有两个不同的零点，所以只需函数SKIPIF1<0的图像与直线SKIPIF1<0有两个不同的交点，根据图形可得实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．1．【答案】D【分析】由奇函数性质及SKIPIF1<0的解析式，求得SKIPIF1<0，在实数范围内单调递减，比较数的大小SKIPIF1<0，从而有SKIPIF1<0.【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由奇函数的性质知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数单调递减；又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0由函数单减知，SKIPIF1<0故选：D2．【答案】A【分析】根据题意得出SKIPIF1<0是以2为周期的周期函数，且在SKIPIF1<0上递增函数，再根据指数函数与对数函数的性质，求得SKIPIF1<0，结合单调性，即可求解.【详解】由函数SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，可得函数SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，即SKIPIF1<0，又由函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0是以2为周期的周期函数，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，可得函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增函数，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：A.3．【答案】C【分析】利用香农公式求SKIPIF1<0的值，根据SKIPIF1<0的值求SKIPIF1<0的值，从而就能求出信噪比变为原来的多少倍.【详解】当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即信噪比变为原来的101倍.故选：SKIPIF1<0.4．【答案】A【分析】由分段函数单调递增的特性结合单调增函数的图象特征列出不等式组求解即得.【详解】因函数SKIPIF1<0在R上单调递增，则有SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上也递增，根据增函数图象特征知，点SKIPIF1<0不能在点SKIPIF1<0上方，于是得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以实数a的取值范围是SKIPIF1<0.故选：A5．【答案】AD【分析】分别考虑函数的定义域、单调性及对称性就可以对每一个选项作出判断.【详解】要使函数有意义，则SKIPIF1<0，故A正确；SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，易知其在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，故B不正确；由于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以对于SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，故C不正确；令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，故D正确.故选：AD6．【答案】SKIPIF1<0【分析】确定函数的奇偶性与单调性，然后由奇偶性与单调性解不等式．【详解】函数定义域是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是偶函数，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是减函数，又SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0【点睛】关键点点睛：本题考查解函数不等式，解题关键是确定函数的奇偶性与单调性，然后利用函数的性质解不等式，解题时注意函数的定义域，否则易出错．7．【答案】6【分析】首先利用换底公式表示SKIPIF1<0，再代入SKIPIF1<0求值.【详解】由条件得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<08．【答案】④⑤.【分析】根据对数函数单调性先分析出SKIPIF1<0的大小关系，然后结合函数性质以及不等式的性质逐项分析.【详解】因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0不为SKIPIF1<0，由对数函数SKIPIF1<0的单调性可知SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故①不一定成立；②因为SKIPIF1<0，由指数函数SKIPIF1<0的单调性可知SKIPIF1<0,故②不成立；③当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故③不一定成立；④因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故④一定成立；⑤因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故⑤一定成立；故答案为：④⑤.9．【答案】10【分析】由已知结合等比数列的性质可求SKIPIF1<0，然后结合等差数列的性质即可求解.【详解】因为等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则由等差数列的性质得SKIPIF1<0.故答案为：10.10．【答案】2026【分析】先计算出数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，然后找到使其为正整数的SKIPIF1<0SKIPIF1<0，相加即可得到答案．【详解】由题，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．所以，SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0为正整数，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0为增函数，且SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．所以所有“好数”的和为SKIPIF1<0．故答案为：2026．【点睛】本题考查了数列的新定义、对数运算法则，解题时应认真审题，找到规律，注意等比数列求前SKIPIF1<0项和公式的灵活运用．11．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据SKIPIF1<0是奇函数判断函数的对称中心SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0，即可得到关于x的不等式，求出x的范围.【详解】因为SKIPIF1<0是奇函数，故SKIPIF1<0图像关于SKIPIF1<0对称，由题设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0，因此不等式SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0取值范围为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<012．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【分析】（1）设SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0图象上的任意一点，则P关于原点的对称点Q的坐标在函数SKIPIF1<0的图象上得SKIPIF1<0，再SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0图象上的点，可得答案；（2）求SKIPIF1<0时，利用换元法求出SKIPIF1<0的最小值可得答案．【详解】（1）由题意，设SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0图象上的任意一点，则P关于原点的对称点Q的坐标为SKIPIF1<0，因为已知点Q在函数SKIPIF1<0的图象上，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0图象上的点，所以SKIPIF1<0．（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，下面求当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为0，因为当SKIPIF1<0时，总有SKIPIF1<0成立，所以SKIPIF1<0，即所求m的取值范围为SKIPIF1<0．1．【答案】A【分析】分别将SKIPIF1<0,SKIPIF1<0改写为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再利用单调性比较即可.【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A.【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.2．【答案】A【解析】本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小．由图易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；取特殊点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．选A．3．【答案】D【详解】试题分析：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以答案为D.考点：1.对数函数的运算律；2.换元法.4．【答案】A【分析】由题意得到关于SKIPIF1<0的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.5．【答案】AC【分析】对于A选项，求得SKIPIF1<0，由此判断出A选项；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选项，计算出SKIPIF1<0，利用对数函数的性质可判断出C选项；对于D选项，计算出SKIPIF1<0，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项.【详解】对于A选项，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以A选项正确.对于B选项，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1