第15章 轴对称图形与等腰三角形 复习课课件 2023-2024学年沪科版数学八年级上册

第十五章轴对称图形与等腰三角形复习课1.能掌握轴对称图形、轴对称的概念及性质；2.能利用线段垂直平分线、角平分线的性质与判定、等腰(等边)三角形的性质与判定进行有关的证明与计算；3.能够用尺规作图作已知线段的垂直平分线和角的平分线；4.掌握直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半.一、学习目标二、知识结构知识点梳理：三、知识梳理

把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴.1.轴对称图形2.轴对称：

把一个图形沿一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么这两个图关于这条直线成轴对称.这条直线叫做对称轴.3.轴对称图形和轴对称的区别与联系如果把两个成轴对称的图形拼在一起看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两个图形就关于这条直线成轴对称.三、知识梳理轴对称图形轴对称图形区别联系(1)轴对称图形是指()具有特殊形状的图形，只对()图形而言;(2)对称轴()只有一条.(1)轴对称是指()图形的位置关系,必须涉及()图形;(2)只有()对称轴.一个一个不一定两个两个一条(1)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.(2)如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.4.轴对称的性质：(1)点P(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)，其特征为：横坐标相等，纵坐标互为相反数；5.坐标系中的轴对称三、知识梳理(2)点P(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y)，其特征为：横坐标互为相反数，纵坐标相等;(3)作一个图形关于x轴(或y轴)对称的图形的步骤：三、知识梳理①求出特殊点关于x轴(或y轴)的对称点的坐标；②描点；③连接所描的点．6.线段的垂直平分线7.等腰三角形(1)画法：尺规作图(2)性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段的两端的距离相等；(3)判定定理：到线段的两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.三、知识梳理(1)性质：等腰三角形的两个底角相等.（等边对等角）推论：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°.(2)性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.（三线合一）8.等腰三角形的判定推论①：三个角都相等的三角形是等边三角形.推论②：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.推论③：在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.（等角对等边）三、知识梳理9.角平分线的性质与判定判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.三、知识梳理三角形三条角平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于一点,这一点到三角形三边的距离相等.知识点1：轴对称图形与轴对称D例1：甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是()四、典型例题解析：A项是轴对称图形，B项是轴对称图形，C项是轴对称图形，不符合题意；D项不是轴对称图形，故本选项正确.知识点1：轴对称图形与轴对称解：图①②③中的左右两个图形成轴对称，图④中的左右两个图形不成轴对称．图①②③中成轴对称的两个图形的对称轴如图所示．例2：观察图①～④中的左右两个图形，它们是否成轴对称？如果是，请画出其对称轴．四、典型例题点拨：判断两个图形是否成轴对称，关键是理解、应用两个图形成轴对称的定义，即看两个图形能否沿一条直线折叠后重合.若重合，则两个图形关于这条直线成轴对称，否则不成轴对称．四、典型例题知识点1：轴对称图形与轴对称解：由题意可知，△ABE和△AFE关于直线AE成轴对称，∴AB＝AF,BE＝FE.∵△AFD的周长为24cm，△ECF的周长为8cm，即AD＋DF＋AF＝24cm，FC＋CE＋FE＝8cm，∴四边形纸片ABCD的周长为AD＋DC＋BC＋AB＝AD＋DF＋FC＋CE＋BE＋AB＝(AD＋DF＋AF)＋(FC＋CE＋FE)＝24＋8＝32(cm)．例3：如图，将四边形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的点F处.若△AFD的周长为24cm，△ECF的周长为8cm，求四边形纸片ABCD的周长.四、典型例题1.下面的图形是轴对称图形吗？如果是，你能指出它的对称轴吗？解：图1、2、3、5是轴对称图形，它们的对称轴如图所示.【当堂检测】【当堂检测】A解析：注意观察，照镜子看到的字母是左右颠倒.2.小明照镜子的时候，发现T恤上的英文单词在镜子中呈现“”的样子，请你判断这个英文单词是（）A.B.C.D.【当堂检测】解：∵△ABC和△DEF关于直线l成轴对称，∴△ABC≌△DEF，∴∠C=∠F，∠A=∠D=40°，∠B=∠E=60°∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-40°-60°=80°．3.△ABC与△DEF关于直线l成轴对称，则∠C是多少度？l知识点2：线段的垂直平分线解：∵△ABC中，AB＝AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，∴AE＝BE.∵△BCE的周长为8cm，即BE＋CE＋BC＝8cm，∴AC＋BC＝8cm①.又AC－BC＝2cm②，①＋②得，2AC＝10cm，即AC＝5cm，故AB＝5cm；①－②得，2BC＝6cm，即BC＝3cm.例4：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，△BCE的周长为8cm，且AC-BC＝2cm，求AB，BC的长．四、典型例题4.如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，EF交AD于点M，试说明：AD垂直平分EF.证明：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE＝DF.∴点D在线段EF的垂直平分线上．∵∠FAD＝∠EAD，∠AFD＝∠AED＝90°，AD＝AD，∴△AFD≌△AED.∴AF＝AE.∴点A在线段EF的垂直平分线上．∴AD为线段EF的垂直平分线，即AD垂直平分EF.【当堂检测】知识点3：等腰三角形A例5：如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC.若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的度数是()A．100°B．80°C．70°

D．50°四、典型例题解:(方法一)∵DA＝DB，∴∠DBA＝∠DAB＝20°.∵DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC＝30°.在△ABC中，有∠DBC＋∠DCB＝180°-2×20°-2×30°＝80°.∴∠BDC＝180°-(∠DBC＋∠DCB)＝180°-80°＝100°.(方法二)在△ADB中，由方法一可得∠ADB＝180°-2×20°＝180°-40°＝140°.同理∠ADC＝180°-2×30°＝120°.∴∠BDC＝360°-140°-120°＝100°.四、典型例题点拨:等腰三角形的两个底角相等.（等边对等角）知识点3：等腰三角形【当堂检测】5.如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，AE∶EM∶MB＝1∶2∶1，AD∶DN∶NC＝1∶2∶1，连接MD，NE交于点O，求证：△OMN是等腰三角形．证明：在△ABC中，∵AB＝AC，且AE∶EM∶MB＝1∶2∶1，AD∶DN∶NC＝1∶2∶1，∴AD＝AC，AE＝AB＝AC，∴AE＝AD.同理AM＝AN.【当堂检测】在△ADM与△AEN中，∴△ADM≌△AEN，∴∠AMD＝∠ANE.又∵AM＝AN，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMN-∠AMD＝∠ANM-∠ANE，即∠OMN＝∠ONM，∴△OMN是等腰三角形．点拨：等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.（等角对等边）知识点4：等边三角形的性质解：过P作PF∥BC交AC于F，∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD＝∠QCD，∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∠A＝60°，∴△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF.∵PE⊥AC，∴AE＝EF.例6：如图，过边长为3的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交边AC于点D，求DE的长．四、典型例题F∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ.在△PFD和△QCD中，四、典型例题∴△PFD≌△QCD，∴FD＝CD.∵AE＝EF，∴EF＋FD＝AE＋CD，F∴AE＋CD＝DE＝AC.∵AC＝3，∴DE＝.【当堂检测】6.如图所示，锐角三角形ABC中，∠A＝60°，它的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC，求证：△ABC是等边三角形．证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，∴∠BEC＝∠CDB＝90°.又∵∠BOE＝∠COD，∴∠EBO＝∠DCO.∴∠EBO+∠OBC＝∠DCO+∠OCB，即∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．∵∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形．知识点5：角平分线的性质证明：如图，过点E作EG⊥AF，垂足为点G.连接EF.∵∠BAE＝∠EAF，∴AE为∠BAF的平分线．又∵EB⊥AB，EG⊥AF，∴EB＝EG.例7：如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，∠EAF＝∠BAE.求证：AF＝BC＋FC.四、典型例题G在Rt△ABE和Rt△AGE中，四、典型例题∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL)．∴AB＝AG.∵在正方形ABCD中，AB＝BC，∴BC＝AG.又∵点E是BC的中点，∴BE＝EC＝EG.在Rt△EGF和Rt△ECF中，∴Rt△EGF≌Rt△ECF(HL)．∴GF＝CF，∴AF＝AG＋GF＝BC＋FC.G【当堂检测】7.如图，三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有多少处？(阴影部分不能修建超市)分析：角平分线上的点到角两边