2023年四川省凉山州数学中考真题

2023年四川省凉山州数学中考真题

学校:姓名：班级:考号：

一、单选题

1.下列各数中，为有理数的是（）

A.册B.3.232232223---C.yD.拉

【答案】A

【分析】根据立方根、无理数与有理数的概念即可得.

【详解】解：A、我=2,是有理数，则此项符合题意；

B、3.232232223…是无限不循环小数，是无理数，则此项不符合题意；

C、。是无理数，则此项不符合题意；

D、应是无理数，则此项不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查了立方根、无理数与有理数，熟记无理数与有理数的概念是解题关键.

2.如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位

置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（）

俯视图

【答案】B

【分析】根据俯视图可确定主视图的列数和小正方形的个数，即可解答.

【详解】解：由俯视图可得主视图有2列组成，左边一列由2个小正方形组成，右边一

列由1个小正方形组成.

故选：B.

【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，由几何体的俯视图可确定该几何体的

主视图和左视图，耍熟练掌握.

3.若一组数据百,犬2，为，，X0的方差为2,则数据为+3,%+3,马+3,,x“+3的方差是()

A.2B.5C.6D.11

【答案】A

【分析】根据方差的定义进行求解，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都

加3,所以波动不会变，方差不变.

【详解】解：当数据都加上一个数(或减去一个数)时，平均数也加或减这个数，设原

平均数为了，现在的平均数为元+3,

22

原来的方差S：=：[(占一X)+(X2-X)+...+(%-三)2]=2,

现在的方差S；=—[(X]+3—x—3)+(々+3—x—3)+...++3—x—3)],

222

=^[(XI-X)+(A^-X)++(X„-X)],

=2・

故选：A.

【点睛】本题考查了方差的定义.当数据都加上一个数(或减去一个数)时，平均数也

加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数(或除以一个

数)时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍.

4.下列计算正确的是()

A.a2-a4=a8B.〃+"=3/C.(2«2^=8«V

D.(a-h)2=a2-b2

【答案】C

【分析】利用同底数幕的乘法法则，合并同类项法则，幕的乘方法则，积的乘方法则和

完全平方公式分别计算，即可得出正确答案.

【详解】解：A.a2-a4=ab,故该选项错误，不合题意；

B.a2+2a2=3a2,故该选项错误，不合题意；

C.(2片“=8应故该选项正确,符合题意;

D.(a-b)2=a2-2ab+b2,故该选项错误，不合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查同底数基的乘法、合并同类项、基的乘方，积的乘方和完全平方公式

等知识点，熟练掌握各项运算法则是解题的关键.

5.2022年12月26日，成昆铁路复线全线贯通运营.据统计12月26日至1月25日，

试卷第2页，共27页

累计发送旅客144.6万人次.将数据144.6万用科学记数法表示的是()

A.1.446x10sB.1.446xl06C.0.1446xl07D.1.446xl07

【答案】B

【分析】科学记数法的表现形式为ax10”的形式，其中1<\a\<10,"为整数，确定〃

的值时，要看把原数变成“时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数

相同，当原数绝对值大于等于10时，〃是正数，当原数绝对值小于1时〃是负数；由此

进行求解即可得到答案.

【详解】解：144.6万=1.446x106,

故选B.

【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义.

6.点尸(2,-3)关于原点对称的点p，的坐标是()

A.(2,3)B.(-2,-3)C.(-3,2)D.(-2,3)

【答案】D

【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案.

【详解】解：点P(2,-3)关于原点对称的点P，的坐标是(-2,3),

故选D.

【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，解题的关键是记住“关于原点对称的点，

横坐标与纵坐标都互为相反数

7.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射.由

于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，4=45。,/2=120。,

C.105°D.90°

【答案】C

【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案.

【详解】解：如图所示，AB//CD,光线在空气中也平行，

Zl=45°,Z2=120°,

/.Z3=45°,Z4=180°-120°=60°.

.*.Z3+Z4=45°+60o=105°.

故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质.

8.分式立W的值为0,则x的值是（）

x-1

A.0B.-1C.1D.0或1

【答案】A

【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可.

【详解】解：•••分式的值为0，

X—1

x2-%=0

•••〈，

[x-lxO

解得x=0,

故选A.

【点睛】本题主要考查了分式值为。的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0,分母

不为0是解题的关键.

9.如图，在aAB/和△£>€1£中，点E、F在8c上，BE=CF,NB=NC,添加下列

条件仍无法证明会△■DCE的是（）

A.ZAFB=NDECB.AB=DCC.ZA=Z£>D.AF=DE

【答案】D

【分析】根据BE=CF,可得BF=CE,再根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可

求解.

试卷第4页，共27页

【详解】解：：台后二。户,

:.BF=CE,

"：ZB=NC,

A、添加/4FB=N£）EC,可利用角边角证明△AS尸丝△£>《£,故本选项不符合题意;

B、添加AB=ZX?,可利用边角边证明尸丝△DCE,故本选项不符合题意：

C、添加&=〃，可利用角角边证明AAB产学△£）（%,故本选项不符合题意；

D、添加=无法证明△ABF丝△DCE,故本选项不符合题意；

故选：D

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的

关键.

10.如图，在等腰MC中，4=40。，分别以点A、点B为圆心，大于为半径画

弧，两弧分别交于点M和点N,连接MN,直线MN与AC交于点。，连接BD,则

。的度数是（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】B

【分析】先根据等边对等角求出/48C=70。，由作图方法可知，MN是线段AB的垂直

平分线，则49=%>,可得Z4B3=NA=40。，由此即可得到

NDBC=ZABC-ZABD=30°.

【详解】解：•••在等腰中，ZA=40°,AB^AC,

180°-/A

ZABC=ZACB==70°,

2

由作图方法可知，MN是线段AB的垂直平分线,

AD=BD,

：.ZABD=40°,

：.ZDBC=ZABC-ZABD=30°,

故选B.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，三角

形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键.

11.如图，在，。中，OAVBC,ZADB=30°,8c=26，则OC=()

C.D.4

【答案】B

【分析】连接08,由圆周角定理得ZAO3=60。，由04,8c得，ZCOE=ZBOE=,

CE=BE=^,在RtOCE中，由。。=二提，计算即可得到答案.

sin600

【详解】解：连接0B,如图所示，

ZAOB=2ZADB=2*30°=60°,

OAYBC,

:.NCOE=NBOE=60°,CE=BE=-BC=-x2y/3=>/3,

22

在Rt0C£中，ZC0£=60°,C£=A/3,

2

故选：B.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解题的关键是熟练学

握圆周角定理，垂径定理，添加适当的辅助线.

12.已知抛物线y=/+bx+c(aH0)的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是()

试卷第6页，共27页

A.ahc<0B.4a-2b+c<0C.3a+c=0

D.am2+bm+a<0（机为实数）

【答案】C

【分析】根据开口方向，与），轴交于负半轴和对称轴为直线x=l可得a>0,c<0,

b=-2a<0,由此即可判断A；根据对称性可得当x=-2时，y>0,当x=-l时，y=o,

由此即可判断B、C；根据抛物线开口向上，对称轴为直线x=l,可得抛物线的最小值

为-a+c,由此即可判断D.

【详解】解：•••抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，

♦♦a>0,c<0,

：抛物线对称轴为直线x=l,

•,A=1

2a，

：.b=-2a<0,

：.ahc>0,故A中结论错误，不符合题意；

•.•当x=4时，y>0,抛物线对称轴为直线x=l,

...当x=—2时，y>0,

：.4a-2b+c>0,故B中结论错误，不符合题意；

；当x=3时，y=o,抛物线对称轴为直线x=l,

・••当x=-l时，y=o,

。―/7+c=0,

又•：b=-2a,

・・・3a+c=0,故C中结论正确，符合题意；

・・,抛物线对称轴为直线x=l,且抛物线开口向上，

，抛物线的最小值为a+匕+c=a-2tz+c=-a+c，

anr+bm+c>-a+c^

am2+bm+a>0故D中结论错误，不符合题意；

故选C.

【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，熟练

掌握二次函数的相关知识是解题的关键.

二、填空题

13.计算（乃-3.14）。+J（播-1/=.

【答案】⑪

【分析】根据零指数累、二次根式的性质进行计算即可.

【详解】（万-3.14）°+J（夜-I）

=1+72-1

=y/2•

故答案为：y/2.

【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质等知识，掌握任何一个不为零的

数的零次基都是1是解题的关键.

14.己知1是完全平方式，则机的值是.

【答案】±2

【分析】根据（。±32=。2±2必+后，计算求解即可.

【详解】解：-切+1是完全平方式，

—m=±2,

解得加=±2,

故答案为：±2.

【点睛】本题考查了完全平方公式.解题的关键在于熟练掌握：（。±切2^a2±2ab+b2.

15.如图，ABCO的顶点O、4C的坐标分别是（0，。）、（3,0）、（1，2）.则顶点B的坐标是

【答案】（4,2）

（分析］根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点B的纵坐标与点C的纵坐标

试卷第8页，共27页

相等，且3C=Q4=3,即可得到结果.

【详解】解：在ABCO中，0（0,0）,A（3,0）,

BC=OA=3,

BC//AO,

.・•点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，

.­.3（4,2）,

故答案为：（4,2）.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的性质，此题充分利用了“平

行四边形的对边相等且平行”的性质.

5x+2>3（x-l）

16.不等式组[13的所有整数解的和是.

-x-l<7——x

[22

【答案】7

【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再确定整数解，最

后求和即可.

,5x+2>3（x-l）①

【详解】解：1、八3c，

-x-l<7——x@

122

由①得：5x—3x>—3—2,

••2X>—5,

解得：x>~~2；

由②得：x-2<14—3%,

整理得：4x<16,

解得：x<4,

•••不等式组的解集为：-1<x<4,

.•.不等式组的整数解为：一2,-1,0,1,2,3,4；

；♦-2+（-1）+0+1+2+3+4=7,

故答案为：7

【点睛】本题考查的是求解一元一次不等式组的整数解，熟悉解一元一次不等式组的方

法与步骤是解本题的关键.

17.如图，在纸片中，ZACB=90°,CD是A8边上的中线，将dACD沿C£>折

叠，当点A落在点4处时，恰好C4'_LAS,若8c=2,则C4'=.

【答案】2g

【分析】由RtZXABC,ZACB=9Q°,8是AB边上的中线，可知CD=AD,贝U

48=4,由翻折的性质可知，ZACD=ZA'CD<A'C=AC,则/4co=NA'CD=NA,

如图，记A'C与AB的交点为E,ZC£4=90°,由NCE4+NAa)+NA'Cr>+NA=180。，

可得ZA=30。，根据A'C=AC=-J,计算求解即可.

tanZA

【详解】解：・・・RtZ\4?C,ZACB=90°,CO是A3边上的中线，

:.CD=AD,

:.ZACD=ZA,

由翻折的性质可知，ZACD=ZAfCD»A!C=AC,

f

：.ZACD=ZACD=ZAf

如图，记AC与A3的交点为E,

VGA'IAB,

・,.ZCE4=90°,

*.•ZCE4+ZACD+ZArC£>+ZA=180o,

AZA=30°,

A'C=AC=BC-=273,

tanZA

故答案为：2G.

【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，翻折的性质，等边对等角,

三角形内角和定理，正切.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

试卷第10页，共27页

三、解答题

(1、2023

18.先化简,再求值：(2x+y)2—(2x+y)(2x-y)-2y(x+y),其中工=仁,^=22022.

【答案】2xy91

【分析】根据(。±6)2=/±2必+62,(a+h)(a-b)=a2-b2,单项式乘以多项式法则

进行展开，再加减运算，代值计算即可.

【详解】解：原式=4/+4孙+9-(4/-力-2孙-2y2

=4x2+4xy+y2-4x2+y2-2xy-2y2

=2孙.

/1、2O23

当无干,尸2迎时，

Y023

原式=2*x22022

=1.

【点睛】本题考查了化简求值问题，完全平方公式、平方差公式，单项式乘以多项式法

则，掌握公式及法则是解题的关键.

【答案】x=2

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可

得到分式方程的解.

【详解】解：一一二一7

x+1x-1

方程两边同乘(x+l)(x-l),

得(-1)=2,

整理得，X2-x-2=0,

(x+l)(x-2)=0,

解得：再=T,%=2,

检验：当％=-1时，(x+l)(x-l)=O,x=-l是增根,

当x=2时，(x+l)(x—1)=3H0,

原方程的解为X=2.

【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解

题关键.

20.2023年“五一”期间，凉山旅游景点，人头攒动，热闹非凡，州文广旅局对本次“五

一”假期选择泸沽湖、会理古城、螺髻九十九里、邛海沪山风景区（以下分别用

A、B、C、。表示）的游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下不完整的两

请根据以上信息回答:

（1）本次参加抽样调查的游客有多少人？

（2）将两幅不完整的统计图补充完整;

（3）若某游客随机选择A、B、C、。四个景区中的两个，用列表或画树状图的方法，求他

第一个景区恰好选择A的概率.

【答案】（1）600人

（2）见解析

【分析】（1）用选择B景区的人数除以其人数占比即可求出参与调查的游客人数；

（2）先求出选则C景区的人数和选择A景区的人数占比，再求出选择C景区的人数占

比，最后补全统计图即可：

（3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，然后找到他第一个景区恰好选择A的

结果数，最后依据概率计算公式求解即可.

【详解】（1）解：60+10%=600人，

本次参加抽样调查的游客有600人；

（2）解：由题意得，选择C景区的人数为600-180-60-240=120人，选择A景区的

试卷第12页，共27页

人数占比为若x100%=30%,

600

120

二选择C景区的人数占比为刀xl(X)%=20%

600

开始

数有3种,

工他第一个景区恰好选择A的概率为3看=：1

【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联,树状图法或列表法求解

概率，正确读懂统计图和画出树状图是解题的关键.

21.超速容易造成交通事故.高速公路管理部门在某隧道内的aE两处安装了测速仪,

该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内,且A、D、B、产在同一

直线上.点C、点E到的距离分别为CO、EF,且CO=EF=7m,CE=895m,在C

处测得A点的俯角为30。，在E处测得8点的俯角为45。，小型汽车从点A行驶到点B所

用时间为45s.

45),

ADBF

(1)求AB两点之间的距离(结果精确到1m)；

(2)若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点A行驶到点8是否超速？并通过计算

说明理由.(参考数据：V2*1.4.73^1.7)

【答案】(l)900m

（2）小型汽车从点A行驶到点B没有超速.

【分析】（1）证明四边形。CEF为矩形，可得CE=£>F=895m,结合NC4£>=30。，

/EBF=45°,CD=EF=1m,可得A£>==76,BF=EF=1,再利用线段的

tan30°

和差关系可得答案；

（2）先计算小型汽车的速度，再统一单位后进行比较即可.

【详解】（1）解：•••点C、点E到AB的距离分别为CD、EF,

：.CDLAB,EFYAB,而CE〃AB,

：.ZDCE=90°,

.••四边形。CEF为矩形，

，C£=DF=895m,

由题意可得：ZC4D=30°,NEBF=45°,CD=EF=1m,

：.AD=C£>=773,BF=EF=1,

tan30°

/.AB=AF-BF=AD+DF-BF=7^+895-7=900（m）

（2）•••小型汽车从点A行驶到点B所用时间为45s.

汽车速度为答=20（m/s）,

•••该隧道限速80千米/小时，

V20<22,

小型汽车从点A行驶到点8没有超速.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，理解俯角的含义，熟练的运用锐角三角函

数解题是关键.

22.如图，在YABCD中,对角线AC与80相交于点。，NC4B=N4CB,过点B作BEJ_

交AC于点E.

（1）求证：AC1BD-,

⑵若48=10,AC=16,求的长.

【答案】（1）见详解

试卷第14页，共27页

(2)1

【分析】(1)可证A8=Q?,从而可证四边形ABCD是菱形，即可得证；

(2)可求08=6,再证“EBOs,8AO,可得型=典，即可求解.

BOAO

【详解】(1)证明：.ZCAB=ZACB,

AB=CB,

四边形ABC。是平行四边形，

二•四边形A8C。是菱形，

.\AC±BD.

(2)解：四边形A8C0是平行四边形，

:.OA=-AC=S

2f

AC八BD,BELAS,

AAOB=NBOE=ZABE=90°,

：.OB=ylAB2-OB2

=^102—82=6,

/EBO+/BEO=90°,

ZABO+ZEBO=90°f

:.ZBEO=ZABOf

:..EBOsBAO,

.EOBO

'~BO~~AO,

.EO=6

-"T'S

9

解得：0E=|.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理.，三角形相似的

判定及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键.

四、填空题

23.已知一一2x—i=o,贝i」3d—10f+5%+2027的值等于.

【答案】2023

【分析【把——2x—1=。化为：/=2玄+1代入降次，再把f—2x=l代入求值即可.

【详解】解：由x?—2x—1=0得：X2—2x+l<x2-2x=\,

3x3-lOx2+5x+2027

=3x(2x+1)-10x2+5x+2027

=6x2+3x-10/+5x+2027

=—4/+8x+2027

=-4(x2-2x)+2027

=-4xl+2027

=2023,

故答案为：2023.

【点睛】本题考查的是代数式的求值，找到整体进行降次是解题的关键.

24.如图，边长为2的等边的两个顶点48分别在两条射线OM、ON上滑动，若

OM1ON,则OC的最大值是.

【答案】1+石/石+1

【分析】如图所示，取的中点D,连接ODCD,先根据等边三角形的性质和勾股

定理求出=，再根据直角三角形的性质得到OO=gA8=l,再由OC4OD+CD可

得当0、a。三点共线时，OC有最大值，最大值为1+6.

【详解】解：如图所示，取A3的中点D,连接8,CD,

：..ABC是边长为2的等边三角形，

CDJ,AB,BC=AB=2,

：.BD=AD=\,

CD=>]BC2-BD2=>/3,

试卷第16页，共27页

•：OMLON,即ZAO3=90°,

OD=-AB=\,

2

OC<OD+CD,

...当。、a。三点共线时，oc有最大值，最大值为i+百,

故答案为：

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性

质等等，正确作出辅助线确定当0、C、。三点共线时，OC有最大值是解题的关键.

五、解答题

25.凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区.经过近20年的发展，雷波脐橙

多次在中国西部农业博览会上获得金奖，雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”，某

水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况，购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销.在试销

中，水果商将两种水果搭配销售，若购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78

元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币.

(1)求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元？

(2)一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，要求雷波脐橙尽量多，他最多

能购买雷波脐橙多少千克？

【答案】(1)雷波脐橙和资中血橙每千克分别为18元，12元.

(2)最多能购买雷波脐橙40千克.

【分析】(1)设雷波脐橙和资中血橙每千克分别为x元，y元，购买雷波脐橙3千克,

资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需

72元人民币，再建立方程组即可；

（2）设最多能购买雷波脐橙加千克，根据顾客用不超过1440元购买这两种水果共100

千克，再建立不等式即可.

【详解】（1）解：设雷波脐橙和资中血橙每千克分别为x元，y元，则

j3x+2），=78①

12x+3y=72②’

①+②得；5x+5y=150,则x+y=30③

把③代入①得：x=18,

把③代入②得：y=i2,

x=18

.•.方程组的解为：.

y=12

答：雷波脐橙和资中血橙每千克分别为18元，12元.

（2）设最多能购买雷波脐橙机千克，则

18^+12（100-/??）<1440,

6m<240,

解得：机440,

答：最多能购买雷波脐橙40千克.

【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系

是解本题的关键.

26.阅读理解题:

阅读材料：

如图1,四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记N3AE为a、NEW为夕，

若tana=—,则tan£=-.

23

图1

试卷第18页，共27页

证明：设BE=k,Vtana=-,1AB=2k,

2

易证即也△£：/((AAS)

・・・EC=2k,CF=k,

：.FD=k,AD=3k

・cDFk\

..tanp=---=—=-,

AD3k3

若a+/7=45°时，当tana=g,则tan/.

同理：若e+〃=45°时，当tana=；,则tan/?=g.

根据上述材料，完成下列问题：

如图2,直线y=3x-9与反比例函数)，=丝(》>0)的图象交于点A,与x轴交于点B.将

X

直线43绕点A顺时针旋转45。后的直线与轴交于点E,过点A作A"，x轴于点M,

过点A作A/V_Ly轴于点N,已知。4=5.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)直接写出tan/8AM、tan4ME的值;

(3)求直线AE的解析式.

12

【答案】⑴>=—(x>0)

x

(2)tanZBAM=；,tanZ.NAE=g

(3)y=$+i

【分析】（1）首先求出点8（3,0）,然后设A（a,3a-9）,在RtZXAOM中，利用勾股定理

求出a=4,得到4（4,3）,然后代入y=］（x>0）求解即可；

（2）首先根据A（4,3）,8（3,0）得到MO=4,80=3,求出M3=l,AM=3,然后利

用正切值的概念求出tan/BAM=4N=:，然后证明出四边形NQM4是矩形，得到

AM3

ZBAM+ZNAE=45°,然后由tanZBAM=-即可求出tanZNAE=-：

32

（3）首先根据矩形的性质得到AN=0M=4,NO=AM=3,然后利用tanNNAE=g求

出NE=2,进而得到E（（M）,然后设直线4E的解析式为y=fcr+。，利用待定系数法将

£（0,1）和A（4,3）代入求解即可.

【详解】（1）将尸。代入y=3x-9得，x=3,

/-8（3,0）,

•••直线y=3x—9与反比例函数y='（x>0）的图象交于点A,

X

.•.设A（a,3a-9）,

AMYx,0A=5,

...在RtA4OM中，OM2+AM2=AO',

：.a2+（3a-9）2=52,

,7

:.解得4=4,=-,

・・•点A的横坐标要大于点B的横坐标，

7」,

：•a>■应舍去，

一5

62=4,

/.4（4,3）,

.•.将A（4,3）代入y=E（x>。），解得加=12；

12

反比例函数的解析式为y=—（x>0）；

X

（2）；A（4,3）,8（3,0）,

:.MO=4,BO=3,

MB=\,AM=3,

试卷第20页，共27页

AM±x,

・

・・/tDanCZ/.BAMBM=---1---=—,

AM3

・.,4V_Ly，NNOM=90。,

・・・四边形NOMA是矩形，

AZM4M=90°,

・・,将直线AB绕点A顺时针旋转45。后的直线与）’轴交于点E,

・・・NBAE=45。,

JNBAM+NNAE=45°,

,：tanZBAM=-

3f

:.tanZNAE=~；

2

（3）,・•四边形NOMA是矩形，

：.AN=OM=4,NO=AM=3,

•：AN±ytanZNAE=-,

f2

,NE1NE1

AN242

解得NE=2,

OE=ON-NE=\,

：.£（0,1）,

设直线AE的解析式为y=^+6,

.•.将E（0,1）和A（4,3）代入得，=3，

b=l

解得，1,

x=—

2

直线AE的解析式为y=gX+1•

【点睛】此题考查了反比例函数，一次函数和几何综合题，矩形的性质，解直角三角形,

勾股定理等知识，解题的关键是正确理解材料的内容.

27.如图，C。是：。的直径，弦ABLCD,垂足为点F,点尸是CO延长线上一点，

DEYAP,垂足为点E,乙EAD=4FAD.

（1）求证：AE是：O的切线；

（2）若PA=4,PD=2,求O的半径和DE的长.

【答案】（1）证明见解析

（2）。的半径为3,的长为?

【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得“4D+NO/M=90。，再根据等腰三角形的

性质可得=从而可得/。4£=90。，然后根据圆的切线的判定即可得证；

（2）设。的半径为r，则。4=OD=r,OP=r+2,在RtZ\OAP中，利用勾股定理

求解即可得；根据相似三角形的判定可得PDEPOA,根据相似三角形的性质即可

得.

【详解】（1）证明：如图，连接。4,

弦

:.ZFAD+ZODA^90°,

NEAD=/FAD,

:.ZEAD+ZODA=90°,

OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

：.ZEAD+^OAD=90°,即/。4£=90。,

AEYOA,

又OA是。的半径，

是。的切线.

(2)解：如图，连接。4,

试卷第22页，共27页

设;O的半径为，・，则。4=OD=r,

QPD=2,

:.OP=r+2,

在RlAO"中，Ofic+PA2=OP2,即/+42=(r+2)=

解得r=3,

OA=3,OP=5,

AE.LOA,DELAPf

:.DE//OA9

：.PDEPOA,

DEPDDE2

/.——=——,H即n——=-,

OAOP35

解得£>E=g,

所以。的半径为3,OE的长为g.

【点睛】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角

形的性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定，相似三角形的判定与性质是解题关键.

28.如图，已知抛物线与x轴交于A(l,0)和8(-5,0)两点，与V轴交于点C.直线

y=-3x+3过抛物线的顶点入

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)若直线x=加(-5<m<0)与抛物线交于点E,与直线8c交于点尸.

①当EF取得最大值时，求小的值和EF的最大值;

②当EFC是等腰三角形时，求点