（小白高考）新高考数学(零基础)一轮复习教案2.4《指数与指数函数》 (教师版)

页第四节指数与指数函数核心素养立意下的命题导向1.将根式与指数幂相结合考查它们之间的互化，凸显数学运算的核心素养．2．与方程、不等式等相结合考查指数函数图象的应用，凸显直观想象的核心素养．3．与二次函数、不等式等问题综合考查指数型函数的性质及应用，凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养．[理清主干知识]1．根式(1)根式的概念若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)a的n次方根的表示xn＝a⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(n,a)当n为奇数且n>1时，,x＝±\r(n,a)当n为偶数且n>1时.))2．有理数指数幂幂的有关概念正分数指数幂：aSKIPIF1<0＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)负分数指数幂：aSKIPIF1<0＝eq\f(1,aSKIPIF1<0)＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)0的正分数指数幂等于_0_，0的负分数指数幂无意义有理数指数幂的性质aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)3．指数函数的图象和性质y＝axa>10<a<1图象性质函数的定义域为eq\a\vs4\al(R)；值域为(0，＋∞)函数图象过定点(0，1)，即当x＝eq\a\vs4\al(0)时，y＝eq\a\vs4\al(1)当x>0时，恒有y>1；当x>0时，恒有0<y<1；当x<0时，恒有0<y<1当x<0时，恒有y>1函数在定义域R上为增函数函数在定义域R上为减函数4．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(指数型函数图象)函数y＝2x＋1的图象是()答案：A2．(指数幂的运算)计算：π0＋2﹣2×(2eq\f(1,4))0.5＝________.答案：eq\f(11,8).3．(根式的意义)若eq\r(2a－12)＝eq\r(3,1－2a3)，则实数a的取值范围为________．解析：eq\r(2a－12)＝|2a﹣1|，eq\r(3,1－2a3)＝1﹣2a.因为|2a﹣1|＝1﹣2a.故2a﹣1≤0，所以a≤eq\f(1,2).答案：(∞﹣，eq\f(1,2)]4．(函数过定点)函数f(x)＝ax﹣2＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点________．解析：令x﹣2＝0，得x＝2.此时a0＋1＝2，∴定点为(2，2)．答案：(2，2)5．(指数函数的值域)函数y＝3x2﹣2x的值域为________．解析：设u＝x2﹣2x，则y＝3u，u＝x2﹣2x＝(x﹣1)2﹣1≥﹣1，所以y＝3u≥3﹣1＝eq\f(1,3)，所以函数y＝3x2﹣2x的值域是[eq\f(1,3)，+∞).答案：[eq\f(1,3)，+∞)二、易错点练清1．(化简eq\r(n,an)(a∈R)时忽略n的范围)计算eq\r(3,1＋\r(2)3)＋eq\r(4,1－\r(2)4)＝________.答案：2eq\r(2)2．(错误理解指数函数的概念)若函数f(x)＝(a2﹣3)·ax为指数函数，则a＝________.答案：23．(忽视对底数a的讨论)若函数f(x)＝ax在[﹣1，1]上的最大值为2，则a＝________.答案：2或eq\f(1,2)考点一指数幂的化简与求值[典例]eq\f(a3,\r(a)·\r(5,a4))(a>0)的值是()A．1B．aC．aSKIPIF1<0D．aSKIPIF1<0[解析]eq\f(a3,\r(a)·\r(5,a4))＝eq\f(a3,aSKIPIF1<0·aSKIPIF1<0)＝aSKIPIF1<0＝aSKIPIF1<0.故选D.[答案]D[方法技巧]1．指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．2．化简指数幂常用的技巧(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))﹣p＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))p(ab≠0)；(2)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(aSKIPIF1<0))m，aeq\f(n,m)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(aSKIPIF1<0))n(式子有意义)；(3)1的代换，如1＝a﹣1a，1＝aSKIPIF1<0aSKIPIF1<0等；(4)乘法公式的常见变形，如(aSKIPIF1<0＋bSKIPIF1<0)(aSKIPIF1<0﹣bSKIPIF1<0)＝a﹣b，(aSKIPIF1<0±bSKIPIF1<0)2＝a±2aSKIPIF1<0bSKIPIF1<0＋b，(aSKIPIF1<0±bSKIPIF1<0)(aSKIPIF1<0∓aSKIPIF1<0bSKIPIF1<0＋bSKIPIF1<0)＝a±b.[针对训练]1．已知14a＝7b＝4c＝2，则eq\f(1,a)﹣eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝________.解析：由题设可得2SKIPIF1<0＝14，2SKIPIF1<0＝7，2SKIPIF1<0＝4，则2SKIPIF1<0＝eq\f(14,7)＝2，∴2SKIPIF1<0＝2×4＝23，∴eq\f(1,a)﹣eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝3.答案：32．若x>0，则(2xSKIPIF1<0＋3SKIPIF1<0)(2xSKIPIF1<0﹣3SKIPIF1<0)﹣4xSKIPIF1<0(x﹣xSKIPIF1<0)＝________.解析：因为x>0，所以原式＝(2xSKIPIF1<0)2﹣(3SKIPIF1<0)2﹣4xSKIPIF1<0·x＋4xSKIPIF1<0·xSKIPIF1<0＝4xSKIPIF1<0﹣3SKIPIF1<0﹣4xSKIPIF1<0＋4xSKIPIF1<0＝4xSKIPIF1<0﹣33﹣4xSKIPIF1<0＋4x0＝﹣27＋4＝﹣23.答案：﹣23考点二指数函数的图象及应用[典题例析](1)已知函数f(x)＝(x﹣a)(x﹣b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是()(2)(多选)已知实数a，b满足等式2020a＝2021b，下列四个关系式中成立的关系式是()A．0<b<aB．0<a<bC．a＝bD．a<b<0[解析](1)由函数f(x)的图象可知，b<﹣1<0<a<1，∴g(x)＝ax＋b的图象是递减的．又g(0)＝a0＋b＝1＋b<0，∴g(x)的图象与y轴交于负半轴，故选A.(2)在同一平面直角坐标系中作出y＝2020x与y＝2021x的图象如图所示．设2020a＝2021b＝t.当t>1时，0<b<a，A正确．当t＝1时，a＝b＝0，C正确．当0<t<1时，a<b<0，D正确．故选A、C、D.[答案](1)A(2)ACD[方法技巧]有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关参数取值范围问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．[针对训练]1．函数f(x)＝1﹣e|x|的图象大致是()解析：选A由f(x)＝1﹣e|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，排除B、D.又e|x|≥1，所以f(x)的值域为(﹣∞，0]，排除C，故选A.2.函数f(x)＝ax﹣b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0解析：选D由f(x)＝ax﹣b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax﹣b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)＝ax﹣b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.故选D.3．若函数f(x)＝(eq\f(1,2))|1﹣x|＋m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是________．解析：作出函数g(x)＝(eq\f(1,2))|1﹣x|的图象如图所示，由图象可知0<g(x)≤1，则m<g(x)＋m≤m＋1，即m<f(x)≤m＋1.要使函数f(x)＝(eq\f(1,2))|1﹣x|＋m的图象与x轴有公共点，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋m≥0，,m<0，))解得﹣1≤m<0.答案：[﹣1，0)考点三指数函数的性质及应用考法(一)与指数函数有关的函数单调性问题[例1]若函数f(x)＝a|2x﹣4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝eq\f(1,9)，则f(x)的单调递减区间是()A．(﹣∞，2]B．[2，＋∞)C．[﹣2，＋∞)D．(﹣∞，﹣2][解析]由f(1)＝eq\f(1,9)，得a2＝eq\f(1,9)，解得a＝eq\f(1,3)或a＝﹣eq\f(1,3)(舍去)，即f(x)＝(eq\f(1,3))|2x﹣4|.由于y＝|2x﹣4|在(﹣∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(﹣∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.[答案]B[方法技巧]与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用．考法(二)比较指数式大小[例2]已知f(x)＝2x﹣2﹣x，a＝(eq\f(7,9))﹣0.25，b＝(SKIPIF1<0)0.2，c＝log2eq\f(7,9)，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为()A．f(b)<f(a)<f(c)B．f(c)<f(b)<f(a)C．f(c)<f(a)<f(b)D．f(b)<f(c)<f(a)[解析]易知f(x)＝2x﹣2﹣x在R上为增函数，又a＝(eq\f(7,9))﹣0.25＝(SKIPIF1<0)0.25>(SKIPIF1<0)0.2＝b>0，c＝log2eq\f(7,9)<0，则a>b>c，所以f(c)<f(b)<f(a)．[答案]B[方法技巧]比较指数幂大小的常用方法单调性法取中间不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底值法不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0，1)比较大小，然后得出大小关系图解法根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小考法(三)解指数方程或不等式[例3]设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－7，x<0，,\r(x)，x≥0，))若f(a)<1，则实数a的取值范围是()A．(﹣∞，﹣3)B．(1，＋∞)C．(﹣3，1)D．(﹣∞，﹣3)∪(1，＋∞)[解析]当a<0时，不等式f(a)<1可化为(eq\f(1,2))a﹣7<1，即(eq\f(1,2))a<8，即(eq\f(1,2))a<(eq\f(1,2))﹣3，因为0<eq\f(1,2)<1，所以a>﹣3，此时﹣3<a<0；当a≥0时，不等式f(a)<1可化为eq\r(a)<1，所以0≤a<1.故a的取值范围是(﹣3，1)．[答案]C[方法技巧]简单的指数方程或不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．考法(四)与指数函数有关的函数最值问题[例4](1)已知集合A＝{x|(2﹣x)·(2＋x)>0}，则函数f(x)＝4x﹣2x＋1﹣3(x∈A)的最小值为()A．4B．2C．﹣2D．﹣4(2)若函数f(x)＝(eq\f(1,3))SKIPIF1<0有最大值3，则a＝________.[解析](1)由题知集合A＝{x|﹣2<x<2}．又f(x)＝(2x)2﹣2×2x﹣3，设2x＝t，则eq\f(1,4)<t<4，所以f(x)＝g(t)＝t2﹣2t﹣3＝(t﹣1)2﹣4，且函数g(t)的对称轴为直线t＝1，所以最小值为g(1)＝﹣4.故选D.(2)令h(x)＝ax2﹣4x＋3，y＝(eq\f(1,3))h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值﹣1，因此必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,\f(12a－16,4a)＝－1，))解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.[答案](1)D(2)1[方法技巧]解决形如y＝a2x＋b·ax＋c(a>0，且a≠1)型函数最值问题，多利用换元法，即令t＝ax，转化为y＝t2＋bt＋c的最值问题，注意根据指数函数求t的范围．[针对训练]1．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A．a<b<cB．a<c<bC．b<a<cD．b<c<a解析：选C因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.5<a＝0.60.6<1.又c＝1.50.6>1，所以b<a<c.2．(多选)对于给定的函数f(x)＝ax﹣a﹣x(x∈R，a>0，且a≠1)，下面给出四个命题，其中真命题是()A．函数f(x)的图象关于原点对称B．函数f(x)在R上不具有单调性C．函数f(|x|)的图象关于y轴对称D．当0<a<1时，函数f(|x|)的最大值是0解析：选ACD∵f(﹣x)＝﹣f(x)，∴f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，A是真命题；当a>1时，f(x)在R上为增函数，当0<a<1时，f(x)在R上为减函数，B是假命题；y＝f(|x|)是偶函数，其图象关于y轴对称，C是真命题；当0<a<1时，y＝f(|x|)在(﹣∞，0)上为增函数，在[0，＋∞)上为减函数，∴当x＝0时，y＝f(|x|)的最大值为0，D是真命题．故选A、C、D.3．函数f(x)＝SKIPIF1<0的单调递增区间是()A.(﹣∞，eq\f(1,2)]B．[0，eq\f(1,2)]C.[eq\f(1,2)，+∞)D．[eq\f(1,2)，1]解析：选D令x﹣x2≥0，得0≤x≤1，所以函数f(x)的定义域为[0，1]，因为y＝(eq\f(1,2))t是减函数，所以函数f(x)的增区间就是函数y＝﹣x2＋x在[0，1]上的减区间[eq\f(1,2)，1]，故选D.4．若不等式1＋2x＋4x·a>0在x∈(﹣∞，1]时恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：从已知不等式中分离出实数a，得a>﹣(eq\f(1,4))x＋(eq\f(1,2))x.因为函数y＝(eq\f(1,4))x和y＝(eq\f(1,2))x在R上都是减函数，所以当x∈(﹣∞，1]时，(eq\f(1,4))x≥eq\f(1,4)，(eq\f(1,2))x≥eq\f(1,2)，所以(eq\f(1,4))x＋(eq\f(1,2))x≥eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，从而得﹣(eq\f(1,4))x＋(eq\f(1,2))x≤﹣eq\f(3,4).故实数a的取值范围为(﹣eq\f(3,4)，+∞).答案：(﹣eq\f(3,4)，+∞).eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])一、基础练——练手感熟练度1．函数y＝ln(2x﹣1)的定义域是()A．[0，＋∞)B．[1，＋∞)C．(0，＋∞)D．(1，＋∞)解析：选C由2x﹣1>0，得x>0，所以函数的定义域为(0，＋∞).2．函数y＝(eq\f(1,2))2x﹣x2的值域为()A.[eq\f(1,2)，+∞)B．(-∞，eq\f(1,2)]C.(0，eq\f(1,2)]D．(0，2]解析：选A设t＝2x﹣x2，则t≤1，所以y＝(eq\f(1,2))t，t≤1，所以y∈[eq\f(1,2)，+∞)，故选A.3．已知函数f(x)＝4＋2ax﹣1的图象恒过定点P，则点P的坐标是()A．(1，6)B．(1，5)C．(0，5)D．(5，0)解析：选A由于函数y＝ax的图象过定点(0，1)，当x＝1时，f(x)＝4＋2＝6，故函数f(x)＝4＋2ax﹣1的图象恒过定点P(1，6)．4．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是()A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．b＞c＞a解析：选A由0.2＜0.6，0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c；因为a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c.二、综合练——练思维敏锐度1．已知ab＝﹣5，则aeq\r(－\f(b,a))＋beq\r(－\f(a,b))的值是()A．2eq\r(5)B．0C．﹣2eq\r(5)D．±2eq\r(5)解析：选B由题意知ab<0，aeq\r(－\f(b,a))＋beq\r(－\f(a,b))＝aeq\r(－\f(ab,a2))＋beq\r(－\f(ab,b2))＝aeq\r(\f(5,a2))＋beq\r(\f(5,b2))＝aeq\f(\r(5),|a|)＋beq\f(\r(5),|b|)＝0.故选B.2．已知0<b<a<1，则在ab，ba，aa，bb中最大的是()A．baB．AaC．abD．bb解析：选C∵0<b<a<1，∴y＝ax和y＝bx均为减函数，∴ab>aa，ba<bb，又∵y＝xb在(0，＋∞)上为增函数，∴ab>bb，∴在ab，ba，aa，bb中最大的是ab.故选C.3．函数y＝(eq\f(1,3))SKIPIF1<0的值域为()A．(0，1)B．(1，＋∞)C．(2，＋∞)D．(0，1)∪(1，＋∞)解析：选D由eq\f(2,x＋1)≠0，得y＝(eq\f(1,3))SKIPIF1<0≠1，又y>0，所以值域为(0，1)∪(1，＋∞)，故选D.4．函数y＝ax(a>0且a≠1)与函数y＝(a﹣1)x2﹣2x﹣1在同一个坐标系内的图象可能是()解析：选C两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数过点(0，﹣1)，故排除A、D；二次函数的对称轴为直线x＝eq\f(1,a－1)，当0<a<1时，指数函数递减，eq\f(1,a－1)<0，C符合题意；当a>1时，指数函数递增，eq\f(1,a－1)>0，B不符合题意，故选C.5．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x﹣m|﹣1为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系是()A．a<b<cB．a<c<bC．c<a<bD．c<b<a解析：选C函数f(x)＝2|x﹣m|﹣1为偶函数，则m＝0，故f(x)＝2|x|﹣1，a＝f(log0.53)＝2|log0.53|﹣1＝2log23﹣1＝2，b＝f(log25)＝2log25﹣1＝4，c＝f(0)＝20﹣1＝0.所以c<a<b，故选C.6．若ea＋πb≥e﹣b＋π﹣a，则有()A．a＋b≤0B．a﹣b≥0C．a﹣b≤0D．a＋b≥0解析：选D令f(x)＝ex﹣π﹣x，则f(x)在R上单调递增，因为ea＋πb≥e﹣b＋π﹣a，所以ea﹣π﹣a≥e﹣b﹣πb，则f(a)≥f(﹣b)，所以a≥﹣b，即a＋b≥0.故选D.7．(多选)已知函数f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)，下面说法正确的有()A．f(x)的图象关于原点对称B．f(x)的图象关于y轴对称C．f(x)的值域为(﹣1，1)D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＜0解析：选AC对于选项A，f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)，定义域为R，则f(﹣x)＝eq\f(2－x－1,2－x＋1)＝eq\f(1－2x,1＋2x)＝﹣f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，故A正确；对于选项B，计算f(1)＝eq\f(2－1,2＋1)＝eq\f(1,3)，f(﹣1)＝﹣eq\f(1,3)≠f(1)，故f(x)的图象不关于y轴对称，故B错误；对于选项C，f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)＝1﹣eq\f(2,1＋2x)，令1＋2x＝t，t∈(1，＋∞)，则f(x)＝g(t)＝1﹣eq\f(2,t)，易知1﹣eq\f(2,t)∈(﹣1，1)，故f(x)的值域为(﹣1，1)，故C正确；对于选项D，易知函数t＝1＋2x在R上单调递增，且y＝1﹣eq\f(2,t)在t∈(1，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性，可知f(x)＝1﹣eq\f(2,1＋2x)在R上单调递增，故∀x1，x2∈R，且x1≠x2，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，故D错误．故选A、C.8．化简：(2eq\r(3,a2)·eq\r(b))(﹣6eq\r(a)·eq\r(3,b))÷(﹣3eq\r(6,a)·eq\r(6,b5))＝_______.解析：(2eq\r(3,a2)·eq\r(b))(﹣6eq\r(a)·eq\r(3,b))÷(﹣3eq\r(6,a)·eq\r(6,b5))＝4aSKIPIF1<0·bSKIPIF1<0＝4a1·b0＝4a.答案：4a9．若函数f(x)＝ax﹣1(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a的值为________．解析：当0<a<1时，f(x)＝ax﹣1在[0，2]上为减函数，故f(x)max＝f(0)＝a0﹣1＝0，这与已知条件函数f(x)的值域是[0，2]相矛盾．当a>1时，f(x)＝ax﹣1在[0，2]上为增函数，又函数f(x)的定义域和值域都是[0，2]，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝0，,f2＝a2－1＝2，,a>1，))解得a＝eq\r(3)，所以实数a的值为eq\r(3).答案：eq\r(3)10．当x∈(﹣∞，﹣1]时，不等式(m2﹣m)·4x﹣2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：∵(m2﹣m)·4x﹣2x<0在(﹣∞，﹣1]上恒成立，∴(m2﹣m)<eq\f(1,2x)在x∈(﹣∞，﹣1]上恒成立．∵y＝eq\f(1,2x)在(﹣∞，﹣1]上单调递减，∴当x∈(﹣∞，﹣1]时，y＝eq\f(1,2x)≥2，∴m2﹣m<2，解得﹣1<m<2，故m的取值范围是(﹣1，2)．答案：(﹣1，2)11．设a>0，且a≠1，函数y＝a2x＋2ax﹣1在[﹣1，1]上的最大值是14，求实数a的值．解：令t＝ax(a>0，且a≠1)，则原