2023年初中数学7年级下册同步压轴题期末考试二元一次方程组压轴题考点训练（二）（教师版）

期末考试二元一次方程组压轴题考点训练(二)1．数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．(1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为：．(2)知识迁移：请用这种方法解方程组．(3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】(1)设，，即可得，解方程组即可求解；(2)设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解；(3)设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解．【详解】(1)设，，则原方程组可化为，∵的解为，∴，解得，故答案为：；(2)设，，则原方程组可化为，解得，即有，解得，即：方程组的解为；(3)设，，则原方程组可化为，化简，得，∵关于x，y的二元一次方程组的解为，∴，即有，解得：，故方程组的解为：．【点睛】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键．2．阅读材料：已知关于x，y的二元一次方程有一组整数解，则方程的全部整数解可表示为(t为整数)．问题：求方程的所有正整数解．小明参考阅读材料，解决该问题如下：解：该方程一组整数解为，则全部整数解可表示为(t为整数)．因为，解得因为t为整数，所以t=0或-1．所以该方程的正整数解为和．通过你所知晓的知识，请解决以下问题：(1)方程3x-5y=11的全部整数解表示为：(t为整数)，则______；(2)请你参考小明的解题方法，求方程2x+3y=24的全部正整数解；(3)若a，b均为正整数，试判断二元一次方程组有几组正整数解？并写出其解．【答案】(1)-1(2)，，．(3)该方程组有3组正整数解，分别为：，，．【分析】(1)把x=2代入方程3x-5y=11得，求得y的值，即可求得θ的值；(2)参考小明的解题方法求解即可；(3)先根据(2)得到关于a、b的二元一次方程，再结合a、b均为正整数确定a、b的值，进而得到方程组的所有解．【详解】(1)解：把x=2代入方程3x-5y=11得，6-5y=11，解得y=-1，∵方程3x-5y=11的全部整数解表示为：(t为整数)，则θ=-1，故答案为-1；(2)解：方程2x+3y=24一组整数解为，则全部整数解可表示为(t为整数)．因为，解得-1＜t＜3．因为t为整数，所以t=0，1，2．所以方程2x+3y=24的全部正整数解为：，，．(3)解：由(2)得：9a+2b=24或6a+4b=24或3a+6b=24∵a、b均为正整数∴∴该方程组有3组正整数解，分别为：，，．【点睛】本题考查了二元一次方程的解、一元一次不等式的整数解等知识点，理解题意、正常列出方程组和不等式是解答本题的关键．3．商场为庆祝母亲节，为了促进消费，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型．如下表：A型B型C型满368减100满168减68满50减20在此次活动中，小温领到了三种不同类型的“优惠券”若干张，准备给妈妈买礼物．(1)若小温同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元，已知她用了1张A型“优惠券”，4张C型“优惠券”，则她用了______张B型“优惠券”．(2)若小温同时使用了5张A，B型“优惠券”，共优惠了404元，那么他使用了A，B“优惠券”各几张？(3)若小温共领到三种不同类型的“优惠券”各16张(部分未使用)，他同时使用A，B，C型中的两种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了708元，请问有哪几种优惠券使用方案？(请写出具体解题过程)【答案】(1)5(2)他使用了A型2张，B型3张．(3)有两种优惠券使用方案：①A型3张，B型6张．②B型6张，C型15张．【分析】(1)根据“小温同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元”求解即可；(2)设他使用了A型“优惠券”x张，B型“优惠券”y张，根据“同时使用了5张A，B型‘优惠券’，共优惠了404元”列二元一次方程组，求解即可；(3)设小温使用了A型“优惠券”a张，B型“优惠券”b张，C型“优惠券”c张，根据题意，分三种情况∶①若使用了A，B两种类型的优惠券，②使用了B，C两种类型的优惠券，③使用了A，C两种类型的优惠券，分别列方程，求解即可确定使用方案．【详解】(1)解∶根据题意，得(张)，故答案为∶5；(2)解：设他使用了A型x张，B型y张．根据题意可得解得答：他使用了A型2张，B型3张．(3)解：设小温使用A型a张，B型b张，C型c张．根据题意可得三种情形：①若小温使用了A，B型优惠券，则有化简为：∵a，b都为整数，且，∴，②若小温使用了B，C型优惠券，则有化简为：∵b，c都为整数，且，∴，③若小温使用了A，C型优惠券，则有化简为：∵a，c都为整数，且，∴本小题无解．综上所述，有两种优惠券使用方案：①A型3张，B型6张．②B型6张，C型15张．【点睛】本题考查了二元一次方程(组)的应用，理解题意并建立相应的二元一次方程或二元一次方程组是解题的关键．4．某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．(1)如图为该化工厂与A、B两地的距离，已知公路运价为1.5元/(吨•千米)，铁路运价为1.2元/(吨•千米)，这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元．请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？①根据题意，甲、乙同学分别列出尚不完整的方程组如下：甲：乙：根据甲，乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数x，y，，表示的意义，然后在等式右边补全甲乙两名同学所列方程组甲：x表示，y表示；乙：表示，表示；②甲同学根据他所列方程组解得x＝300，请你帮他解出y的值，并解决该实际问题．(2)工厂原计划从A地购买的原料和送往B地的产品一共20吨，若要增加c吨的产品，就要再购买c吨原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差等于66000元，同时满足原料总重量的2倍，求需要再购买多少吨的原料？【答案】(1)①产品的重量，原料的重量，产品销售额，原料费，5000，97200，5000，97200，；②1887800(2)8吨【分析】(1)①仔细分析题意根据题目中的两个方程表示出，的值并补全方程组即可；②将的值代入方程组即可得到结论．(2)依据题意列出方程可求出的值，进而可得出结论．【详解】(1)解：甲：表示产品的重量，表示原料的重量，乙：表示产品销售额，表示原料费，甲方程组右边方框内的数分别为：15000，97200，乙同甲；则甲：乙：，故答案为：产品的重量；原料的重量；产品销售额；原料费．②将代入原方程组解得，产品销售额为元，原料费为元，运费为元，(元)，答：这批产品的销售额比原料费和运费的和多1887800元．(2)解：设工厂原计划从地购买的原料为吨，则送往地的产品为吨，原料总重量是产品总重量的2倍，．解得：．则原料的总重量为：吨，产品的总重量为：吨．产品的销售款与原料的进货款之差等于66000元，．解得：．．答：需要再购买8吨的原料．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确建立方程组进行求解．5．一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：(假设每辆车均满载)车型甲乙丙汽车运载量(吨/辆)6910汽车运费(元/辆)500600600(1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？(2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，要求三种车同时参与运货，你能求出几种车型的辆数吗？(3)求出哪种方案的运费最省？最省是多少元．【答案】(1)需要甲车8辆，乙车10辆(2)共有三种方案：①甲车3辆，乙车10辆，丙车3辆；②甲车4辆，乙车6辆，丙车6辆；③甲车5辆，乙车2辆，丙车9辆(3)甲车5辆、乙车2辆、丙车9辆时运费最省，最省是9100元【分析】(1)找准等量关系：甲运物资乙运物资，甲运费乙运费，列二元一次方程组求解即可．(2)找准等量关系：甲运物资乙运物资丙运物资，甲车数量乙车数量丙车数量辆，列三元一次方程组然后消元变成二元一次方程组，注意结合实际情况，甲乙丙车辆数均为非负整数，列出可行的方案．(3)分别计算各个方案需要的运费，对比得出最省运费．【详解】(1)解：设需要甲车x辆，需要乙车y辆．根据题意可得：，解得：．答：需要甲车8辆，乙车10辆．(2)设三种车同时参与时，需要甲车x辆，乙车y辆，丙车z辆．根据题意得：，消去z可得：，即：．由于x、y、z均是非负整数，且三种车共16辆要求同时参与所以x与y都不能大于14，得：3，4，5．解得：，，．所以共有三种方案：①甲车3辆，乙车10辆，丙车3辆；②甲车4辆，乙车6辆，丙车6辆；③甲车5辆，乙车2辆，丙车9辆．(3)三种方案的运费分别是：①(元)；②(元)；③(元)．对比可知第三种方案，甲车5辆、乙车2辆、丙车9辆时运费最省，最省是9100元．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程组，是解题的关键．6．设，都是正整数，则方程的正整数解有__________．【答案】，，，，【分析】先把原方程可化为，后变形为，，根据x，y都是正整数，可到和都是96的约数且；再别计算出、2、3、4、时的x的值和对应的y的值即可．【详解】解：∵∴，即，∴，∵x，y都是正整数，∴和都是96的约数，且，∴当，即，即；当，即，即；当，即，即；当，即，即；当，即，即；所以原方程有5组解，分别是，，，，．故答案为：，，，，．【点睛】本题主要考查了二元二次方程的特殊解法、代数式的变形、正整数的性质等知识点，掌握二元二次方程的特殊解法是解答本题的关键．7．为推进乡村振兴工作，驻村服务队结合当地特点种植了甲、乙两种农作物，经过一段时间，甲、乙两种农作物的种植面积之比为1:3，单位面积产值之比为5:3．为进一步提高经济收入，服务队决定扩大两种农作物的种植面积，经统计，扩大种植面积后(单位面积的产值不变)，甲作物的总种植面积占两种作物总种植面积的，且两种作物的总产值提高了，则甲、乙两种作物扩大种植的面积之比为______________．【答案】【分析】设甲作物扩大种植的面积为m，乙种作物扩大的种植面积为n，表示出扩大后甲作物总种植面积，两种作物总种植面积，根据甲作物的总种植面积占两种作物总种植面积，表示出，再令甲，乙单位面积产值分别为，，列出式子，求出甲、乙两种作物扩大种植的面积之比．【详解】设甲作物扩大种植的面积为m，乙种作物扩大的种植面积为n∵甲、乙两种农作物的种植面积之比为1∶3∴令甲种农作物的种植面积为x，乙种农作物的种植面积为∴扩大后甲作物总种植面积为，两种作物的总种植面积为∵甲作物的总种植面积占两种作物总种植面积∴整理得，∵单位面积产值之比为5:3∴令甲，乙单位面积产值分别为，∵两种作物的总产值提高了∴整理得，把代入得，∴∴甲、乙两种作物扩大种植的面积之比为7:3故答案为：7:3【点睛】本题考查三元一次方程的应用，解题的关键是根据关系，列出方程进行求解．8．重庆是山水之城，桥梁对跨越山水起着重要作用．重庆因桥梁数量多、规模大、技术水平高、种类多样，而被称为“桥都”．近日，黄桷沱长江大桥正式开工建设，由于建设过程需要大量钢材，建设单位计划租赁若干艘A、B、C三种类型货运轮船，其中三种货运轮船每艘每天的运货量之比为．由于钢材生产效率不稳定，建设单位重新调整了三种轮船的数量，其中A、C型轮船数量各减少一半，B型轮船数量增加一倍，每种类型的轮船每艘每天运货量不变，三种轮船一天的运输总量增加了；若按照调整分配后的轮船的数量，三种轮船完成钢材运输计划需要t天，但实际三种轮船一起运输一段时间后，A、C轮船临时有其他任务被调走了，剩下的钢材由B型轮船运完，完成的总时间比调整分配后的时间多了3天，若B型轮船运输的时间恰好为C型轮船运输时间的2倍，则B型轮船的运输时间为______天．【答案】【分析】设A、B、C三种类型货运轮船的每天的运货量分别为，调整前的数量为,则调整后的数量为，根据每种类型的轮船每艘每天运货量不变，三种轮船一天的运输总量增加了，三种轮船完成钢材运输计划需要t天，完成的总时间比调整分配后的时间多了3天，B型轮船运输的时间恰好为C型轮船运输时间的2倍，列出方程组，解方程组即可求解．【详解】设A、B、C三种类型货运轮船的每天的运货量分别为，调整前的数量为,则调整后的数量为，依题意得，整理得：①∵三种轮船完成钢材运输计划需要t天，完成的总时间比调整分配后的时间多了3天，B型轮船运输的时间恰好为C型轮船运输时间的2倍，∴整理得：②联立①②得，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了三元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键．9．小王带了1千元现金，去商场购买单价67元的A种商品a件和单价为59元的B种商品b件，找回了几张10元和几张1元的钞票(都不超过9张，超过就补大面额的了).小王算了一下，发现找得钱数不对.销售员再仔细算了一遍，发现问题是把两种商品的单价弄反了，重新计算后，找回的10元和1元的钞票张数也恰好相反.问小王购买了______件B种商品.【答案】12【分析】设买A种商品a个，B种商品b个，找回10元的m张，1元的n张，根据已知条件列出方程组，再根据等式讨论它们的取值情况即可求解．【详解】解：设第一次找回了10元的m张，1元的n张，，且m、n为整数，根据题意得由得：，，，，，，，，，，，代入①得：，解得，故小王购买了12件B种商品，故答案为：12．【点睛】此题考查了多元一次方程组的应用，解本题的关键是根据已知写出其中的等量关系，再根据取值范围求解．10．电影票有元、元、元三种票价，于班长恰好用元钱买了张电影票，则票价为元的电影票比票价为元的电影票多___________张．【答案】【分析】设三种票分别买了x、y、z张，则根据题意列出关于x、y、z的三元一次方程组，然后求出的值即可．【详解】解：设元、元、元三种票分别买了x、y、z张，依题意得：，由得，即：，故答案为：．【点睛】本题考查了三元一次方程的应用；根据题意消去y是解题的关键．11．为庆祝五一劳动节，某电商推出适合不同人群的甲，乙两种袋装混合坚果．其中，甲种坚果每袋装有4千克坚果，1千克坚果，1千克坚果；乙种坚果每袋装有1千克坚果，2千克坚果，2千克坚果．甲，乙两种袋装坚果每袋成本价分别为袋中的，，三种坚果的成本价之和．已知坚果每千克成本价为5元，甲种坚果每袋售价为59.8元，利润率为30%，乙种坚果的利润率为20%．若这两种袋装坚果的销售利润率达到24%，则该电商销售甲，乙两种袋装坚果的数量之比是________．【答案】/【分析】首先求出甲种坚果中每袋成本价，再求出1千克坚果的成本价1千克坚果的成本价，进而得出乙种坚果每袋售价，然后设该电商销售甲种袋装坚果袋，乙种袋装坚果袋，再根据题意，列出方程求出比例关系即可．【详解】解：∵甲种坚果每袋售价为元，利润率为，∴甲种坚果中每袋成本价为元，∵甲种坚果每袋装有4千克坚果，1千克坚果，1千克坚果，∴1千克坚果的成本价1千克坚果的成本价(元)，∵乙种坚果每袋装有1千克坚果，2千克坚果，2千克坚果，∴乙种坚果每袋成本价为(元)，∴乙种坚果每袋售价为(元)，设该电商销售甲种袋装坚果袋，乙种袋装坚果袋，根据题意，可得：，整理，可得：，∴，∴该电商销售甲，乙两种袋装坚果的数量之比是．故答案为：【点睛】本题考查了二元一次方程的应用、比例的应用，理解题意，得出等量关系是解题的关键．12．响应国家号召，某区推进新型农村建设，强村富民．村民小红家准备将一块良田分成三个区域来种植三种畅销型农作物．爸爸计划好三个区域的占地面积后，小红主动承担起实地划分的任务．划分完毕后，爸爸发现粗心的小红将A区的面积划分给了B区，而原B区的面积错划分给了A区，C区面积未出错，造成现B区的面积占A、B两区面积和的比例达到了．为了协调三个区域的面积占比，爸爸只好将C区面积的分成两部分划分给现在的A区和B区．爸爸划分完后，三个区域的面积比变为，那么爸爸从C区划分给B区的面积与良田总面积的比为_____．【答案】/【分析】设爸爸计划三个区域的面积分别为，然后根据小红以及爸爸的划分方法列出方程得出、，设将C区面积的分成两部分划分给现在的A区为m，则B区为．由三个区域的面积比变为可列方程得出，进而得出答案．【详解】解：设爸爸计划三个区域的面积分别为．则由小红将A区的面积划分给了B区，而原B区的面积错划分给了A区，造成现B区的面积占A、B两区面积和的比例达到了，可列方程：，解得：，则此时，A区：，B区：，C区：z，由爸爸只好将C区面积的分成两部分划分给现在的A区和B区．爸爸划分完后，A、B、C三个区域的面积比变为，可列方程：，解得：，设将C区面积的分成两部分划分给现在的A区为m，则B区为．由三个区域的面积比变为可列方程：解得：，∴爸爸从C区划分给B区的面积为：，则爸爸从C区划分给B区的面积与良田总面积的比为：，故答案为：．【点睛】本题考查了多元方程的实际应用，读懂题意，理清数量关系列出方程是解本题的关键．13．某文具店九月初进行开学大酬宾活动，将A、B、C三种学习文具以甲、乙两种方式进行搭配销售，两种方式均需要用到成本价为4元的精美包装袋，甲方式每袋含A文具2支，B文具2支，C文具3支；乙方式每袋含A文具3支，B文具2支，C文具2支；已知每支C比每支A成本价低2元，甲种方式(含包装袋)每袋成本为30元，现甲，乙两种方式分别在成本价基础上提高20%，40%进行销售，两种方式销售完毕后利润率达到30%，则甲，乙两种方式的销售量之比为____．【答案】16：15【分析】根据甲、乙两种方式各种文具的个数配比以及已知条件“每支C比每支A成本价低2元；甲种方式每袋成本为30元，可以得到乙种方式的成本为32元”，再设两种方式销售量分别是未知数，列方程求解即可．【详解】解：∵两种方式均需要用到成本价为4元的精美包装袋，甲方式每袋含A文具2支，B文具2支，C文具3支；乙方式每袋含A文具3支，B文具2支，C文具2支；已知每支C比每支A成本价低2元，∴乙种方式每袋成本价比甲种方式每袋成本高2元，∵甲种方式(含包装袋)每袋成本为30元，∴乙种方式(含包装袋)每袋成本为32元，设甲、乙两种方式的销量分别为x袋、y袋．根据题意得，30×0.2x+32×0.4y＝(30x+32y)×0.3，化简整理得，16y＝15