第3章 数据的集中趋势和离散程度（十四大题型）（解析版）

（苏科版）九年级上册数学《第3章数据的集中趋势和离散程度》知识点一知识点一算术平均数与加权平均数◆1、算术平均数算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则x=1n（x1+x2+…+xn记作：“x”，读作：“x拔”．◆2、加权平均数◆(1)加权平均数：①若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x叫做这n个数的加权平均数．②在求n个数的平均数时，如果x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次(这里f1+f2+…+fk=n)，那么这n个数的加权平均数为x=x1f1+x2f2+⋯+xnfnn，其中f1，f2，f3，…，f◆(2)权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．◆(3)数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．◆（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．◆（5）算术平均数与加权平均数的区别与联系：区别：①算术平均数中各数据都是同等重要，没有相互间差异；②加权平均数中各数据都有各自不同的权重地位.联系：算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．知识点二知识点二中位数和众数◆1、中位数◆（1）中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．◆（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．◆（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．◆2、众数◆众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数．【注意】：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中．（2）一组数据的众数可能不止一个.如1，1，2，3，3，5中众数是1和3．（3）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数，如1，1，1，2，2，5中众数是1而不是3．知识点三知识点三方差◆1、方程◆（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．◆（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：s2=1n[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-◆（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．◆2、用样本估计总体当所要考察的对象较多，或者对考察的对象带有破坏性时，统计中常常通过抽取样本，用样本估计总体的方法来获得对总体的认识.◆（1）统计的基本思想：用样本的特征（平均数和方差）估计总体的特征．◆（2）统计的决策依据：利用数据做决策时，要全面、多角度地去分析已有数据，从数据的变化中发现它们的规律和变化趋势，减少人为因素的影响．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．题型一题型一求算术平均数【例题1】某中学举行校园歌手大赛，6位评委给某选手的评分如下表：评委123456得分9.89.59.89.99.69.7计分方法是：去掉一个最高分，去掉一个最低分，以剩余分数的平均分作为该选手的最后得分，则该选手的最后得分为（保留两位小数）（）A．9.72分 B．9.73分 C．9.77分 D．9.79分【分析】根据题意去掉一个最高分9.9，去掉一个最低分9.5，然后根据算术平均数的计算公式，将剩下的分数的平均数计算出来即可．【解答】解：根据题意小明的最后得分=9.8+9.8+9.6+9.74故选：B．【点评】本题考查平均数的计算，解题的关键是掌握算术平均数的计算公式．解题技巧提炼(1)当数据信息以表格或图象的形式呈现时，要结合已知条件读懂表格或图象，并能从中获取有用的信息，求一组数据的平均数，通常用定义法，即用这组数据的和除以这组数据的总个数.(2)在求较大数据的平均数时，首先要仔细观察数据特点，如果所给数据都在某个数据附近波动时，可采用新数据法求解.【变式1-1】（2023•锦江区校级模拟）2023年以来，成都创建“文明典范城市”工作中，某校开展“文明伴成长”画展，其中彩铅、水墨、水彩、速写四个类别的幅数分别为：18，12，18，20，则这组数据的平均数为（）A．15 B．16 C．17 D．18【分析】根据算术平均数的定义求解即可．【解答】解：这组数据的平均数为18+12+18+204=故选：C．【点评】本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的定义．【变式1-2】在计算100个数的平均数时，将其中的一个数100错看成了1000，则此时计算出来的平均数比实际结果多（）A．9 B．10 C．19 D．2【分析】设出前99个数的和，用算术平均数看错前和看错后的平均数，求差化简即可得出答案．【解答】解：设前99个的和为m，由题意得，m+1000100-故选：A．【点评】考查算术平均数的意义和计算方法，列出代数式进行适当的化简是常用的方法．【变式1-3】（2023•湖州）某住宅小区6月1日～6月5日每天用水量情况如图所示，那么这5天平均每天的用水量是（）A．25立方米 B．30立方米 C．32立方米 D．35立方米【分析】先确定每天的用水量，根据用水量的和除以用水天数，求出结果即可．【解答】解：由折线图可知，该小区五天的用水量分别是：30、40、20、30、30．所以5天的平均用水量为：30+40+20+30+305=故选：B．【点评】本题考查了折线图和算术平均数，掌握算术平均数的计算方法是解决本题的关键．【变式1-4】（）A．a B．3a C．3a﹣5 D．3a﹣20【分析】依据算术平均数的公式得出x1+x2+x3+x4＝4a；结合上步结果可知3x1﹣5，3x2﹣8，3x3﹣6，3x4﹣1的和是12a﹣20，再除以数据个数4即可得到这组样本的平均数．【解答】解：∵x1，x2，x3，x4的平均数为a，∴14（x1+x2+x3+x4）＝a∴x1+x2+x3+x4＝4a，∴3x1﹣5+3x2﹣8+3x3﹣6+3x4﹣1＝3（x1+x2+x3+x4）﹣20＝12a﹣20，∴样本3x1﹣5，3x2﹣8，3x3﹣6，3x4﹣1的平均数为=14（12a﹣20）＝3a﹣故选：C．【点评】本题考查平均数的计算，解题的关键是掌握算术平均数的计算公式．【变式1-5】（2023•漳浦县模拟）某班有48人，在一次数学测验中，全班平均分为81分，已知不及格人数为6人，他们的平均分为46分，则及格学生的平均分是（）A．78分 B．86分 C．80分 D．82分【分析】利用平均数的定义先求出全班学生的总分和不及格人数的总分，进而求出及格人数的总分，再除以及格的人数即可．【解答】解：全班学生的总分为：81×48＝3888（分），不及格人数的总分为：46×6＝276（分），及格人数的总分为：3888﹣276＝3612（分），则及格学生的平均分为361248-6=故选：B．【点评】此题考查了平均数，正确理解平均数的概念是解题的关键．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标．解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数．题型二题型二求加权平均数【例题2】（2023春•平舆县期末）某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、4元、3元、2元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（）A．2.8元 B．2.85元 C．3.15元 D．3.55元【分析】根据加权平均数的计算方法进行计算即可．【解答】解：5×10%+4×15%+3×55%+2×20%＝3.15（元），故选：C．【点评】考查加权平均数的意义和计算方法，掌握加权平均数的意义和计算方法是解决问题的关键．解题技巧提炼根据加权平均数的定义来求平均数，即若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x=x1【变式2-1】（2023•海门市校级开学）小丽的笔试成绩为98.5分，面试成绩为97分，若笔试成绩、面试成绩按6：4计算平均成绩，则小丽的平均成绩是分．【分析】根据加权平均数的公式计算可得．【解答】解：小丽的平均成绩是98.5×6+97×46+4=故答案为：97.9．【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是熟练掌握加权平均数的定义和计算公式．【变式2-2】（2023春•北京期末）某企业参加“科技创新企业百强”评选，创新能力、创新价值、创新影响三项得分分别为8分，9分，7分，若将三项得分依次按5：3：2的比例计算总成绩，则该企业的总成绩为（）A．8分 B．8.1分 C．8.2分 D．8.3分【分析】根据加权平均数的计算方法求出该企业的总成绩即可．【解答】解：该企业的总成绩为：8×55+3+2+9×3故选：B．【点评】本题考查加权平均数，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．【变式2-3】（2021秋•泰山区期中）某校男子足球队队员的年龄分布如下表，则该校男子足球队队员的平均年龄是（）年龄/岁12131415人数23107A．12 B．13 C．14 D．15【分析】根据加权平均数的计算公式进行计算即可．【解答】解：根据题意得：（12×2+13×3+14×10+15×7）÷（2+3+10+7）＝14（岁）．则该校男子足球队队员的平均年龄是14岁．故选：C．【点评】此题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求12，13，14，15这四个数的平均数，对平均数的理解不正确．【变式2-4】（2023•鹤城区校级开学）小明参加演讲比赛的得分情况如表：服装普通话主题得分908088评总分时，按服装占15%，普通话占35%，主题占50%，她的总得分是（）A．86 B．85.5 C．86.5 D．88【分析】根据加权平均数的计算公式进行计算即可．【解答】解：她的总得分是：90×15%+80×35%+88×50%＝85.5．故选：B．【点评】本题考查的是加权平均数，熟记加权平均数的计算公式是解决本题的关键．【变式2-5】（2021春•房山区期末）已知数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为k1；数据x6，x7，x8，x9，x10的平均数为k2；k1与k2的平均数是k；数据x1，x2，x3，…，x8，x9，x10的平均数为m，那么k与m的关系是（）A．k＞m B．k＝m C．k＜m D．不能确定【分析】先分别求出数据x1，x2，x3，x4，x5和x6，x7，x8，x9，x10的和，再根据k1与k2的平均数是k，求出k1+k2＝2k，再根据平均数的计算公式求出x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10的和，最后根据数据x1，x2，x3，…，x8，x9，x10的平均数为m，即可得出k与m的关系．【解答】解：∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为k1，∴x1+x2+x3+x4+x5＝5k1，∵数据x6，x7，x8，x9，x10的平均数为k2，∴x6+x7+x8+x9+x10＝5k2，∵k1与k2的平均数是k，∴k1+k2＝2k，∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10＝5k1+5k2＝5（k1+k2）＝10k，∵数据x1，x2，x3，…，x8，x9，x10的平均数为m，∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10＝10m，∴k＝m．故选：B．【点评】此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，关键是根据加权平均数求出总数．题型三题型三利用加权平均数进行决策比较【例题3】（2023•宁波一模）为深入学习贯彻习近平法治思想，推动青少年宪法学习宣传教育走深走实，教育部组织开展第七届全国学生“学宪法讲宪法”系列活动．某校积极响应教育部的号召，开展了宪法知识在线学习、知识竞赛与演讲比赛三项活动，表是参加冠亚军决赛的两名选手的各项测试成绩（单位：分）．选手项目在线学习知识竞赛演讲比赛甲849690乙899985（1）若将在线学习、知识竞赛与演讲比赛三项成绩的平均分作为最后成绩，谁将会获得冠军？（2）若将在线学习、知识竞赛与演讲比赛的成绩按2：3：5的比例计算最后成绩，谁将会获得冠军？【分析】（1）分别计算甲、乙的算术平均数，然后比较即可；（2）分别计算甲、乙的加权平均数，然后比较即可．【解答】解：（1）由题意知，甲的平均分为：84+96+903乙的平均分为：89+99+853∵91＞90，∴乙会获得冠军；（2）由题意知，甲的最后成绩为：84×2乙的最后成绩为：89×2∵90.6＞90，∴甲会获得冠军．【点评】本题考查了算术平均数与加权平均数．解题的关键在于熟练掌握平均数的计算方法．解题技巧提炼首先通过计算加权平均数，然后比较平均数的大小，最后进行决策.【变式3-1】（2023•永嘉县校级二模）某校“数学之星”评比由小论文、说题比赛、其它荣誉、现场考核四部分组成．每班只推荐一位同学．九（2）班小崇、小德两位同学得分情况如下．姓名小论文说题比赛其它荣誉现场考核小崇809030100小德100903090（1）若各部分在总分中的占比分别为1：1：1：2，分别计算两位同学的得分；（2）若其中现场考核在总分中占比为50%，有人认为推荐“小德”同学参加校级“数学之星”评比，你认为合理吗？如不合理，请说出你的推荐人选，并说明理由．【分析】（1）根据表格中的数据和题意，可以计算出两位同学的得分；（2）先作出判断，然后说明理由即可．【解答】解：（1）由题意可得，小崇得分为：80×1+90×1+30×1+100×21+1+1+2=小德得分为：100×1+90×1+30×1+90×21+1+1+2=答：小崇得分为80分，小德得分为80分；（2）推荐“小德”同学参加校级“数学之星”评比不合理，谁去都不确定，理由：因为小论文，说课比赛和其它荣誉所占的百分比没有说明，故小崇和小德的具体得分不确定，要根据实际所占的百分比进行选择，小德可能去，小崇也可能去．【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的平均数．【变式3-2】（2022春•盐池县期末）某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取．他们的各项成绩（单项满分100分）如表所示：（1）如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？（2）如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照20%，20%，60%的比例计入综合成绩，应该录取谁？候选人文化水平艺术水平组织能力甲80分87分82分乙80分96分76分【分析】（1）根据算术平均数的定义列式计算可得；（2）根据加权平均数的定义列式计算可得．【解答】解：（1）甲的平均成绩为80+87+823=乙的平均成绩为80+96+763=因为乙的平均成绩高于甲的平均成绩，所以乙被录用；（2）根据题意，甲的平均成绩为80×20%+87×20%+82×60%＝82.6（分），乙的平均成绩为80×20%+96×20%+76×60%＝80.8（分），因为甲的平均成绩高于乙的平均成绩，所以甲被录用．【点评】本题主要考查平均数，解题的关键是熟练掌握算术平均数和加权平均数的计算公式．【变式3-3】（2022秋•紫金县期末）某校在一次广播操比赛中，初二（1）班、初二（2）班、初二（3）班的各项得分如下：服装统一动作整齐动作准确初二（1）班808487初二（2）班977880初二（3）班907885（1）填空：根据表中提供的信息，在服装统一方面，三个班得分的平均数是；在动作整齐方面三个班得分的众数是；在动作准确方面最有优势的是班．（2）如果服装统一、动作整齐、动作准确三个方面的重要性之比为2：3：5，那么这三个班的排名顺序怎样？为什么？（3）在（2）的条件下，你对三个班级中排名最靠后的班级有何建议？【分析】（1）用算术平均数的计算方法求得三个班的服装统一的平均数，找到动作整齐的众数即可；（2）利用加权平均数分别计算三个班的得分后即可排序；（3）根据成绩提出提高成绩的合理意见即可；【解答】解：（1）服装统一方面的平均分为：80+97+903=动作整齐方面的众数为78分；动作准确方面最有优势的是初二（1）班；（2）∵初二（1）班的平均分为：80×2+84×3+87×52+3+5=初二（2）班的平均分为：97×2+78×3+80×52+3+5=初二（3）班的平均分为：90×2+78×3+85×52+3+5=∴排名最好的是初二一班，最差的是初二（2）班；（3）加强动作整齐方面的训练，才是提高成绩的基础．【点评】本题考查了平均数和加权平均数的计算．要注意，当所给数据有单位时，所求得的平均数与原数据的单位相同，不要漏单位．【变式3-4】（2022春•辛集市期末）某公司欲招聘一名销售人员，按1：3的比例入围的甲、乙、丙（笔试成绩没有相同的，按从高到低排列，）三位入围者的成绩（百分制，成绩都是整数）如下表：入围者笔试成绩面试成绩甲9086乙xx丙8492（1）若公司认为笔试成绩与面试成绩同等重要，结果乙被录取，求x的值；（2）若公司认为笔试成绩与面试成绩按4：6的权重，结果乙排第二，丙被录取，求x的值；（3）若公司认为笔试成绩与面试成绩按a：（10﹣a）（a为1～9的整数）的权重，为确保甲被录取，求a的最小值．【分析】（1）根据算术平均数的计算方法分别计算甲、乙、丙的平均成绩，使乙的平均成绩最大，进而确定x的值；（2）利用加权平均数的计算方法分别计算甲、乙、丙的平均成绩，使乙排第二，丙被录取，求出整数x即可；（3）利用加权平均数的计算方法分别计算甲、乙、丙的平均成绩，确保甲被录取，即甲的平均成绩最大，列不等式求其最小整数解即可．【解答】解：（1）甲的平均成绩为90+862=乙的平均成绩为x+x2=丙的平均成绩为84+922=∵88＜x＜90，x为整数，∴x＝89；（2）甲的平均成绩为90×4+86×64+6=乙的平均成绩为4x+6x4+6=丙的平均成绩为84×4+92×64+6=∵87.6＜x＜88.8，x为整数，∴x＝88；（3）甲的平均成绩为90a+86(10-a)a+10-a=0.4a乙的平均成绩为x分，丙的平均成绩为84a+92(10-a)a+10-a=92﹣0.8要确保甲被录取，则0.4a+86＞解得a＞7.5，所以整数a的最小值为8，答：a的最小值为8．【点评】本题考查加权平均数，理解加权平均数的意义和计算方法是正确解答的前提．题型四题型四利用组中值求加权平均数【例题4】（2022春•思明区校级期中）已知某外卖平台设置送餐距离超过5千米无法配送，由于给送餐员的费用与送餐距离有关，为更合理设置送餐费用，该平台随机抽取80名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计结果如表：送餐距离x（千米）0＜x≤11＜x≤22＜x≤33＜x≤44＜x≤5数量122024168估计利用该平台点外卖用户的平均送餐距离为（）A．3千米 B．2.85千米 C．2.35千米 D．1.85千米【分析】利用加权平均数的公式计算即可．【解答】解：估计利用该平台点外卖用户的平均送餐距离为180×（12×0.5+20×1.5+24×2.5+16×3.5+8×4.5）＝故选：C．【点评】本题考查了加权平均数，掌握加权平均数公式是解答本题的关键．解题技巧提炼根据频数分布表或频数分布直方图计算加权平均数的方法：先计算各组数据的组中值，用各组数据的组中值代表各组的实际数据，再把各组中的频数看成是相应组中值的权来进行计算.【变式4-1】对一组数据整理如下表，估计这组数据的平均数为．分组频数频数0≤x＜10810≤x＜201220≤x＜3020【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．【解答】解：估计这组数据的平均数为5×8+15×12+25×208+12+20=故答案为：18．【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．【变式4-2】为了解植物园内某种花卉的生长情况，在一片约有3000株此类花卉的园地内，随机抽测了200株该花卉的高度作为样本，统计结果整理后列表如下（每组包含最低值，不包含最高值），则该园地内此类花卉的平均高度约为cm．高度（cm）40～5050～6060～7070～8080～9090～100频数（株）304020205040【分析】每组数据取组中值，依据加权平均数的定义列式计算可得．【解答】解：该园地内此类花卉的平均高度约为45×30+55×40+65×20+75×20+85×50+95×40200=72（故答案为：72．【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．【变式4-3】某市中小学举行了一场课本剧表演比赛，组委会规定：任何一个参赛选手的成绩x满足：60≤x＜100，赛后统计整理了150个选手的成绩，成绩如表：分数段频数60≤x＜703070≤x＜80m80≤x＜906090≤x＜10020根据表提供的信息得到m＝，利用组中值估计这些选手的平均成绩大约是．（结果精确到0.1）【分析】根据整理了150个选手的成绩以及频数分布表可用150减去第一、三、四组的频数之和所得的差即为m的值；利用组中值求出总数即可得出平均数．【解答】解：m＝150﹣30﹣60﹣20＝40．x=65×30+75×40+85×60+95×20故答案为：40，79.7；【点评】本题考了频数（率）分布表，加权平均数的求法．关键是掌握加权平均数的求法．【变式4-4】某校为了了解该校学生在家做家务的情况，随机调查了50名学生，得到他们在一周内做家务所用时间的情况如下表所示时间/（小时）0≤t＜11≤t＜22≤t＜33≤t＜44≤t＜5人数8142062则可以估计该校学生平均每人在一周内做家务所用时间是小时．（同一组中的数据用这组数据的组中值作代表．）【分析】利用组中值求平均数，再利用样本估计总体的思想解决问题即可【解答】解：50名学生平均每人在一周内做家务所用时间=8×0.5+14×1.5+20×2.5+6×3.5+2×4.550故答案为2.1小时．【点评】本题考查加权平均数，样本估计总体的思想等知识，解题的关键是学会利用组中值求平均数，属于中考常考题型．【变式4-5】一个班有50名学生，一次考试成绩（单位：分）的分布情况如下表所示：成绩组中值频数（人数）49.5～59.5459.5～69.5869.5～79.51479.5～89.51889.5～99.56（1）填写表中“组中值”一栏的空白；（2）求该班本次考试的平均成绩．【分析】（1）根据组中值=12×（2）先计算各组的组中值×各组的权重的总和，再除以总人数即可．【解答】解（1）1212121212故答案为：54.5；64.5；74.5；84.5；94.5．（2）总成绩为：54.5×4+64.5×8+74.5×14+84.5×18+94.5×6＝3865（分），3865÷（4+14+8+18+6）＝77.3（分）．答：本次考试的平均成绩是77.3分．【点评】本题考查加权平均数的计算方法，能正确求出组中值是解题关键．题型五题型五利用样本平均数估计总体平均数【例题5】李大伯有一片果林，共80棵果树，某日，李大伯开始采摘今年第一批成熟的果子，他随机选取2棵果树共摘得果子，质量分别为（单位：kg）：0.28，0.26，0.24，0.23，0.25，0.24，0.26，0.26，0.25，0.23，以此计算，李大伯收获的这批果子的单个质量和总质量分别约为（）A．0.25kg，200kg B．2.5kg，100kg C．0.25kg，100kg D．2.5kg，200kg【分析】先求出2棵果树共摘得果子的平均质量，即可认为是这批果子的单个质量，两棵果树所摘果子总质量平均数约等于每棵树的产量，然后乘以80，即可求出这批果子的总质量．【解答】解：由题意得：（0.28+0.26+0.24+0.23+0.25+0.24+0.26+0.26+0.25+0.23）÷10＝0.25（kg），∴这批果子的单个质量为0.25kg；（0.28+0.26+0.24+0.23+0.25+0.24+0.26+0.26+0.25+0.23）÷2×80＝100（kg），∴这批果子的总质量约为100kg，故选：C．【点评】本题考查的是通过样本去估计总体的基本思想．解题技巧提炼用样本估计总体时，样本的容量越大，样本对总体的估计越准确，用样本的平均数可以估计总体的平均数.【变式5-1】某班为调查每个学生用于课外作业的平均时间，从该班学生中随机抽取了10名学生进行调查，得到他们用于课外作业的时间（单位：min）如下：75，80，85，65，95，80，85，85，80，90．由此估计该班的学生用于课外作业的平均时间是（）A．80 B．81 C．82 D．83【分析】根据平均数的定义解答即可．【解答】解：（75+80+85+65+95+80+85+85+80+90）÷10＝82，故选：C．【点评】本题考查数据的分析．解题的关键是理解平均数的意义．【变式5-2】某校开展“节约每一滴水”活动，为了了解开展活动一个月以来节约用水的情况，从八年级的400名同学中选取20名同学统计了各自家庭一个月节约水情况．见表：节水量/m30.20.250.30.40.5家庭数/个24671请你估计这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是（）A．130m3 B．135m3 C．6.5m3 D．260m3【分析】先计算这20名同学各自家庭一个月的节水量的平均数，即样本平均数，然后乘以总数400即可解答．【解答】解：20名同学各自家庭一个月平均节约用水是：（0.2×2+0.25×4+0.3×6+0.4×7+0.5×1）÷20＝0.325（m3），因此这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是：400×0.325＝130（m3），故选：A．【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可，关键是求出样本的平均数．【变式5-3】有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取了3000个数据，统计如下：数据x70＜x＜7980＜x＜8990＜x＜99个数8001300900平均数78.18591.9请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数约为（）A．92.16 B．85.23 C．84.73 D．77.97【分析】先计算这3000个数的平均数，即样本的平均数，再利用样本的平均数去估计总体平均数，即可解答．【解答】解：这3000个数的平均数为：78.1×800+85×1300+91.9×9003000=于是用样本的平均数去估计总体平均数，这这4万个数据的平均数约为85.23，故选：B．【点评】本题考查了用样本估计总体，解决本题的关键是求出样本的平均数．【变式5-4】彭山的枇杷大又甜，在今年5月18日“彭山枇杷节”期间，从山上5棵枇杷树上采摘到了200千克枇杷，请估计彭山近600棵枇杷树今年一共收获了枇杷千克．【分析】先求出一棵枇杷树上采摘多少千克枇杷，再乘以彭山总的枇杷树的棵数，即可得出答案．【解答】解：根据题意得：200÷5×600＝24000（千克），答：今年一共收获了枇杷24000千克；故答案为：24000．【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，总体平均数约等于样本平均数．【变式5-5】（2022秋•南通期末）为了解南迁到某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉30只，戴上识别卡并放回．经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此可以估计该湿地A种候鸟约有只．【分析】在样本中“200只A种候鸟中有10只佩有识别卡”，即可求得有识别卡的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答．【解答】解：设该湿地约有x只A种候鸟，则200：10＝x：30，解得x＝600．故答案为：600．【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．【变式5-6】（2023•亭湖区校级三模）某学校为响应“双减”政策，向学生提供晚餐服务，已知该校共有500名学生，为了做好学生们的取餐、用餐工作，学校首先调查了全体学生的晚餐意向，调查结果如图1所示．为避免就餐拥堵，随机邀请了100名有意向在食堂就餐的学生进行了用餐模拟演练，用餐时间（含用餐与回收餐具）如图2所示．（1）食堂每天需要准备多少份晚餐？​（2）请你根据图2，估计该校学生就餐时间不超过17分钟的人数；（3）根据抽取100名学生用餐时间统计表，请你估计该校学生在食堂就餐的平均用餐时间．【分析】（1）学校总人数乘以在学校食堂就餐人数所占百分比即可；（2）总人数乘以样本中就餐时间不超过17分钟的人数所占比例即可；（3）根据加权平均数的定义列式计算即可．【解答】解：（1）500×62%＝310（份），答：食堂每天需要准备310份晚餐；（2）500×20+40100答：估计该校学生就餐时间不超过17分钟的有300人；（3）14×20+16×40+18×14+20×22+22×4100=17（答：估计该校学生在食堂就餐的平均用餐时间为17min．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．题型六题型六求中位数【例题6】2023•深圳模拟）某高速（限速120km/h）某路段的车速监测仪监测到连续6辆车的车速分别为：118，106，105，120，118，112（单位：km/h），则这组数据的中位数为（）A．115 B．116 C．118 D．120【分析】中位数，是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，当这组数据的个数是偶数时，取中间两个数的和的一半，当这组数据的个数是奇数时，取中间的数，由此即可求解．【解答】解：数据重新排序为105，106，112，118，118，120，∴中位数为112+1182故选：A．【点评】本题主要考查中位数，理解并掌握中位数的计算方法是解题的关键．解题技巧提炼将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【变式6-1】（2023•南山区一模）疫情以后，为了保证大家的健康，学校对所有进入校园的师生进行体温检测，其中7名学生的体温（单位：℃）如下：36.5，36.3，36.8，36.5，36.3，36.7，36.3．这组数据的中位数是（）A．36.3 B．36.5 C．36.7 D．36.8【分析】根据中位数的意义求解即可．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【解答】解：将这组数据重新排列为36.3，36.3，36.3，36.5，36.5，36.7，36.8，排在最中间的数是36.5，故中位数为36.5，故选：B．【点评】本题主要考查了中位数，解题的关键是掌握中位数的定义．【变式6-2】（2023•锦江区校级模拟）九（5）班学生为本班一位患重病同学捐款，捐款情况如下表：捐款金额（元）5102050人数（人）1114916则学生捐款金额的中位数是（）A．15元 B．14元 C．10元 D．20元【分析】根据中位数的定义进行求解即可．【解答】解：∵将九（5）班学生的捐款金额从小到大进行排序，排在第25位的是10元和第26位的是20元，∴学生捐款金额的中位数是15元．故选：A．【点评】本题主要考查了求一组数据的中位数，掌握中位数的定义，注意偶数个数的中位数为中间两个数的平均数是关键．【变式6-3】（2023•惠来县模拟）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如图所示，则这些运动员成绩的中位数为（）A．160 B．165 C．170 D．175【分析】根据中位数的定义直接解答即可．【解答】解：把这些数从小到大排列，中位数是第8个数，则这些运动员成绩的中位数为165cm．故选：B．【点评】本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义．【变式6-4】某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，192，194．现用一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（）A．平均数变小，中位数变小 B．平均数变小，中位数变大 C．平均数变大，中位数变小 D．平均数变大，中位数变大【分析】分别计算出原数据和新数据的平均数和中位数即可得．【解答】解：原数据的平均数为16×（180+184+188+190+192+194）＝188，中位数为188+190新数据的平均数为16×（180+184+188+190+186+194）＝187，中位数为186+188所以平均数变小，中位数变小，故选：A．【点评】本题主要考查中位数和平均数，解题的关键是掌握中位数的定义．【变式6-5】某电脑公司销售部对20位销售员本月的销售量统计如下表：销售量（台）12142030人数4583则这20位销售人员本月销售量的平均数和中位数分别是（）A．19，20 B．19，25 C．18.4，20 D．18.4，25【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．【解答】解：平均数为12×4+14×5+20×8+30×320=中位数为20+202=故选：C．【点评】此题主要考查了一组数据平均数的求法，以及中位数的求法，又结合了实际问题，此题比较典型．题型七题型七求众数【例题7】（2023•周口二模）某校八年级（3）班50名学生自发组织献爱心捐款活动．班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了如图所示的统计图（不完整）．根据图中提供的信息，捐款金额的众数是（）A．20元 B．30元 C．50元 D．100元【分析】先求出捐款30元的人数，再根据众数的定义即可得出答案．【解答】解：捐款30元的人数为50﹣6﹣13﹣8﹣3＝20，∵30出现的次数最多，出现了20次，∴捐款金额的众数是30元．故选：B．【点评】此题考查了众数，熟练掌握众数的定义即众数是一组数据中出现次数最多的数是解题的关键．解题技巧提炼确定一组数据的众数，首先要找出这组数据中各数据出现的次数，其中出现次数最多的数据就是这组数据的众数．【变式7-1】（2023•潮阳区一模）某高速（限速120km/h）某路段的车速监测仪监测到连续6辆车的车速分别为：118，107，109，120，118，116（单位：km/h），则这组数据的众数为（）A．107 B．109 C．116 D．118【分析】根据众数的意义找出这组数据中出现次数最多的数就是这组数据的众数，据此即可解决问题．【解答】解：∵这组数据中出现次数最多的数是118，∴这组数据的众数是118．故选：D．【点评】本题主要考查众数，熟练掌握求众数的方法是解决问题的关键．【变式7-2】（2023•驻马店模拟）某校践行“五育并举”，期末时李梅的五育得分如表所示，则该组数据的众数为（）项目德智体美劳得分108798A．8 B．7.8 C．9 D．8.4【分析】根据众数的定义可得答案．【解答】解：由表中数据知，8出现2次，次数最多，所以该组数据的众数为8，故选：A．【点评】本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．【变式7-3】（2023•河南三模）某校为了解同学们某季度参与“青年大学习”的时长，从中随机抽取5位同学，统计他们的学习时长（单位：分钟）分别为：75，80，85，90，▲（被污损）．若该组数据的平均数为82，则这组数据的众数为（）A．75 B．80 C．85 D．90【分析】先根据算术平均数的定义求出被污损的数据，然后根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数解答．【解答】解：∵该组数据的平均数为82，设被污损的数据为x，∴（75+80+85+90+x）÷5＝82，解得x＝80，∴这组数据为：75，80，85，90，80，∵80出现的次数最多，∴这组数据的众数为80．故选：B．【点评】本题考查了算术平均数以及众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．【变式7-4】（2023春•朝阳区校级期中）学校为了解“阳光体育”活动开展情况，随机调查了50名学生一周参加体育锻炼的时间，数据如表格所示，这些学生一周参加体育锻炼时间的众数是．人数（人）9141611时间（小时）78910【分析】找出调查的50名学生一周参加体育锻炼的时间出现次数最多的数即可．【解答】解：从表格中的数据可知，调查的50名学生一周参加体育锻炼的时间出现次数最多的是9小时，共出现16次，因此众数是9，故答案为：9．【点评】本题考查众数，理解“一组数据出现次数最多的数是这组数据的众数”是正确解答的前提．【变式7-5】（2022秋•滨海县期中）如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况（满分5分），则所打分数的众数为（）A．5分 B．4分 C．3分 D．2分【分析】根据众数的定义求解即可．【解答】解：由扇形统计图知，得5分的人数占总人数的60%，人数最多，所以所打分数的众数为5分，故选：A．【点评】本题主要考查众数，正确记忆求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据是解题关键．题型八题型八中位数和众数【例题8】（2023•盘锦）为了解全市中学生的视力情况，随机抽取某校50名学生的视力情况作为其中一个样本，整理样本数据如图．则这50名学生视力情况的中位数和众数分别是（）A．4.8，4.8 B．13，13 C．4.7，13 D．13，4.8【分析】根据众数和中位数的定义解答即可．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．【解答】解：把这50名学生视力情况从小到大排列，排在中间的两个数分别是4.8、4.8，故中位数为4.8+4.82=在这50名学生视力情况中，4.8出现的次数最多，故众数为4.8．故选：A．【点评】本题考查的是条形统计图、众数以及中位数，掌握众数和中位数的定义是解决问题的关键．解题技巧提炼中位数和众数的综合运用，要根据各自的定义来求解即可.【变式8-1】（2022•安徽一模）某中学为了提高学生的跳远成绩进行了强化锻炼，锻炼一个月后，学校对九年级一班的45名学生进行测试，成绩如表：跳远成绩（cm）160170180190200220人数3969153这些学生跳远成绩的中位数和众数分别是（）A．15，9 B．9，9 C．190，200 D．185，200【分析】根据中位数和众数的定义，第23个数就是中位数，出现次数最多的数为众数．【解答】解：这组数据的中位数是第23个数据，而第23个数据是190cm，所以这组数据的中位数是190cm，这组数据中200cm出现次数最多，所以这组数据的众数为200cm，故选：C．【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．【变式8-2】在一次中学生田径运动会上，参加跳远的15名运动员的成绩如下表所示：成绩（m）4.504.604.654.704.754.80人数232341则这些运动员成绩的中位数、众数分别是（）A．4.664.70 B．4.654.75 C．4.704.75 D．4.704.70【分析】根据中位数、众数的定义即可解决问题．【解答】解：这些运动员成绩的中位数、众数分别是4.70，4.75．故选：C．【点评】本题考查中位数、众数的定义，解题的关键是记住中位数、众数的定义，属于中考基础题．【变式8-3】某中学的学生对本校学生的每周零花钱使用情况进行抽样调查，得到了一组学生平均一周用出的零花钱的数据．如图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形的高度之比为3：4：5：8：6，又知此次调查中平均一周用出零花钱是25元和30元的学生一共42人．那么，这组数据的众数是、中位数是．【分析】根据比例问题结合统计图设每份的人数是x人，则捐款10元的有3x人，捐款15元的有4x人，捐款20元的有5x人，捐款25元的有8x人，捐款30元的有6x人，根据两种数额捐款人数为42人建立方程求出其解就可以求出各组的人数和总人数，从而得出众数和中位数．【解答】解：设每份的人数是x人，则捐款25元的有8x人，捐款30元的有6x人，由题意，得8x+6x＝42，解得：x＝3，∴捐款10元的有9人，捐款15元的有12人，捐款20元的有15人，捐款25元的有24人，捐款30元的有18人，∴一共调查的人数有：9+12+15+24+18＝78人．在这组数据中，25出现的次数最多24次，∴这组数据的众数是25，这组数据一共有78个数，处在最中间的两个数的平均数是25，∴这组数据的中位数是25．∴这组数据的众数、中位数各是：25，25．故答案为：25，25．【点评】本题考查了运用比例问题的数量关系建立方程解实际问题的运用，条形统计图的运用，中位数，众数的运用，解答时建立方程求出数据总数是关键．【变式8-4】（2023春•西湖区校级月考）五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元的同学后来又追加了10元，追加后的5个数据与之前的5个数据相比，下列判断正确的是（）A．只有平均数相同 B．只有中位数相同 C．只有众数相同 D．中位数和众数都相同【分析】根据中位数和众数的概念做出判断即可．【解答】解：根据题意知，追加前5个数据的中位数是5，众数是5，追加后5个数据的中位数是5，众数为5，∵数据追加后平均数会变大，∴正确的只有中位数和众数，故选：D．【点评】本题主要考查平均数、中位数和众数的知识，熟练掌握平均数、中位数和众数的基本概念是解题的关键．【变式8-5】一组数据1，x，5，7的中位数与众数相等，则该组的平均数是（）A．3.5 B．4.5 C．5.5 D．6【分析】众数可能是1或5或7，因此分别对众数是1或者众数是5或者众数是7三种情况进行讨论，再根据平均数公式计算即可求解．【解答】解：①当众数是1时，这组数据为：1，1，5，7，中位数是（1+5）÷2＝3，∵中位数与众数不相等，∴不符合题意；②当众数是5时，这组数据为：1，5，5，7，中位数是5，∵中位数与众数相等，∴该组的平均数是（1+5+5+7）÷4＝4.5；③当众数是7时，这组数据为：1，5，7，7，中位数是（5+7）÷2＝6，∵中位数与众数不相等，∴不符合题意；则该组的平均数是4.5．故选：B．【点评】本题结合众数与中位数考查了确定一组数据的平均数的能力．正确运用分类讨论的思想是解答本题的关键．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．题型九题型九中位数、众数与统计图表的综合【例题9】空气质量状况已引起全社会的广泛关注，某市统计了2013年每月空气质量达到良好以上的天数，整理后制成如下折线统计图和扇形统计图．根据以上信息解答下列问题：（1）该市2013年每月空气质量达到良好以上天数的中位数是天，众数是天；（2）求扇形统计图中扇形A的圆心角的度数；（3）根据以上统计图提供的信息，请你简要分析该市的空气质量状况（字数不超过30字）．【分析】（1）利用折线统计图得出各数据，进而求出中位数和众数；（2）利用（1）中数据得出空气为优的所占比例，进而得出扇形A的圆心角的度数；（3）结合空气质量进而得出答案．【解答】解：（1）由题意可得，数据为：8，9，12，13，13，13，15，16，17，19，21，21，最中间的是：13，15，故该市2013年每月空气质量达到良好以上天数的中位数是14天，众数是13天故答案为：14，13；（2）由题意可得：360°×212答：扇形A的圆心角的度数是60°．（3）该市空气质量为优的月份太少，应对该市环境进一步治理，合理即可．【点评】此题主要考查了折线统计图以及中位数和众数的概念，利用折线统计图分析数据是解题关键．解题技巧提炼中考题和教材原题型都考查了几种特征数与统计图的知识，从不同的角度来分析，理由合理即可.【变式9-1】（2023•白云区二模）电信诈骗，严重危害着人民群众的财产安全，为提高大家的防范意识，某校举行了主题为“防电信诈骗，保财产安全”的知识测试．七、八年级各有600名学生，现从这两个年级各随机抽取50名学生参加测试，为了解本次测试成绩的分布情况，将两个年级的测试成绩x按A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：60≤x＜70四个评价等级进行整理，得到了不完整的统计图表．七年级成绩统计表：评价等级成绩x/分频数频率A90≤x≤100200.4B80≤x＜90b0.22C70≤x＜80150.3D60≤x＜7040.08八年级测试成绩评价等级为B的全部分数（单位分）如下：80，81，82，82，84，86，86，87，88，88，89，89，89．（1）表格中，b＝；（2）八年级测试成绩的中位数是；（3）若测试成绩不低于80分，则认为该学生对防电信诈骗意识较强，请估计该校七、八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共有多少人？【分析】（1）用总数乘B等级的频率可得b的值；（2）根据中位数的定义解答即可；（3）用样本估计总体即可．【解答】解：（1）b＝50×0.22＝11，故答案为：11；（2）把八年级50名学生的测试成绩从大到小排列，排在中间的两个数分别是88，87，故中位数为88+872=故答案为：87.5；（3）600×（0.4+0.22）+600×（44%+26%）＝372+420＝792（人），答：估计该校七、八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共约有792人．【点评】本题考查了频数分布分布表、扇形统计图、用样本估计总体等知识，掌握数形结合的思想解答是关键．【变式9-2】（2023•义乌市校级开学）全县有500名学生同时参加了数学和科学知识竞赛，从中随机抽取25名学生的成绩进行统计整理，分为四个等级（成绩用x表示）：A（x≥90）、B（80≤x≤90）、C（70＜x＜80）、D（x＜70）．根据以上信息，回答下列问题：（1）被抽取的25名学生数学成绩的中位数在等级（填写“A”、“B”、“C”或“D”）．估计全县参赛的500人中科学成绩不低于90分的有人．（2）已知被抽取25名学生数学成绩的中位数为85分．如果小张同学的数学成绩为84分，科学成绩81分，你认为他哪一科的排名更靠前一些？请说明理由．【分析】（1）根据中位数的定义和用样本估计总体即可求出答案；（2）根据中位数判断即可．【解答】解：（1）被抽取的25名学生数学成绩的中位数是从小到大的第13个，所以在B等级，估计全县参赛的500人中科学成绩不低于90分的有500×44%＝220（人）．故答案为：B，220；（2）科学的排名更靠前一些，理由：∵被抽取25名学生数学成绩的中位数为85分，小张同学的数学成绩为84分，∴数学成绩低于一半的同学，∵科学成绩小于80分的占了16%+36%＝52%，∴科学成绩81分高于一半的同学，∴科学的排名更靠前一些．【点评】本题考查用样本估计总体、中位数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．【变式9-3】（2023•呈贡区校级三模）数学运算是数学核心素养的重要部分，为了了解九年级学生的数学运算能力，某校对全体九年级同学进行了数学运算水平测试，并随机抽取50名学生的测试成绩（满分100分）进行整理和分析．（成绩共分成四组：D：60＜x≤70，C：70＜x≤80，B：80＜x≤90，A：90＜x≤100）①成绩频数分布表：成绩等级D等C等B等A等分数（单位：分）60＜x≤7070＜x≤8080＜x≤9090＜x≤100学生数9a1216②成绩在80＜x≤90这一组的是（单位：分）：81，82，85，85，85，86，87，89，90，90，90，90．根据以上信息，回答下列问题：（1）上述表中a＝，成绩达到A等级的人数占测试人数的百分比是，本次测试成绩的中位数是，其中在80＜x≤90这一组成绩的众数是．（2）如年级400名学生中测试成绩为优秀的人数．【分析】（1）用总数50分别减去其它三个等级的频数可得a的值，根据中位数的定义可得本次测试成绩的中位数，用A等级的人数除以总数可得A等级所占百分比，根据众数的定义解答即可；（2）用总人数乘以对应的优秀率求解即可．【解答】解：（1）上述表中a＝50﹣9﹣12﹣16＝13，成绩达到A等级的人数占测试人数的百分比是1650×100%=本次测试成绩的中位数是85+852=在80＜x≤90这一组成绩中，90出现的次数最多，故众数为90．故答案为：13；32%；85；90；（2）400×32%＝128（名），答：估计该校九年级400名学生中测试成绩为优秀的人数大约为128名．【点评】本题考查了中位数、众数，频数分布表以及用样本估计总体，掌握中位数、众数以及“频率=频数【变式9-4】（2023•云南模拟）为弘扬红色文化，传颂红色故事，赣南革命老区某学校特在九年级开展了红色文化知识竞赛活动，并随机抽取了20名参赛选手的成绩（竞赛成绩均为正数，满分100分）进行统计分析．随机抽取的成绩如下：77，86，80，76，70，100，95，80，75，90，94，86，68，95，88，78，90，82，86，100，整理数据：分数60＜x≤7070＜x≤8080＜x≤9090＜x≤100人数2ab5根据以上信息回答下列问题：（1）填空：a＝，b＝；（2）这20名参赛人员成绩的众数为，中位数为；（3）小李的参赛成绩为87分，你认为他的成绩属于“中上”水平吗？请说明理由；（4）该学校九年级共有460名学生参加了竞赛，若成绩在90分（包含90分）以上为优秀，请你估计此次知识竞赛中优秀的人数．【分析】（1）根据给出的数据直接解答即可；（2）根据众数和中位数的定义求解即可；（3）根据中位数的意义即可得出答案；（4）用样本估计总体即可．【解答】解：（1）由题意可知，a＝6，b＝7．故答案为：6，7；（2）这20名参赛人员成绩中，96出现的次数最多，故众数为6；把这20名参赛人员成绩从小到大排列，排在中间的两个数都是86，故中位数为86+862=故答案为：86；86；（3）属于“中上”水平，理由如下：因为样本中位数是86，且87＞86，所以小李的成绩87分属于“中上”水平；（4）460×7答：估计此次知识竞赛中优秀的人数约为161名．【点评】本题考查频数分布表、中位数、平均数的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．【变式9-5】某公司销售部统计了每个销售员在某月的销售额，绘制了不完整的折线统计图和扇形统计图．设销售员的月销售额为x（单位：万元）．销售部规定：当x＜16时为“不称职”，当16≤x＜20时为“基本称职”，当20≤x＜25时为“称职”，当x≥25时为“优秀”．根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：该销售部共有销售员人，d＝；（2）所有销售员月销售额的中位数为；众数为；（3）为了调动销售员的积极性，销售部决定根据本月的销售情况制定一个月销售额奖励标准，凡月销售额达到或超过这个标准的销售员将获得奖励．如果要使得本月所有“称职”和“优秀”的销售员中不少于一半人员能获奖，月销售额奖励标准最高可定为万元（结果取整数）．【分析】（1）根据称职的人数及其所占百分比求得总人数，据此求得不称职、基本称职和优秀的百分比，再求出优秀的总人数，从而得出26万元的人数，据此即可补全图形．（2）根据中位数和众数的定义求解可得；（3）根据中位数的意义求得称职和优秀的中位数即可得出符合要求的数据．【解答】解：（1）∵被调查的总人数为（4+5+4+3+4）÷50%＝40人，∴不称职的百分比为（2+2）÷40×100%＝10%，基本称职的百分比为（2+3+3+2）÷40×100%＝25%，优秀的百分比为1﹣（10%+25%+50%）＝15%，则优秀的人数为15%×40＝6，∴得26分的人数为6﹣（2+1+1）＝2，故答案为：40，6；（2）由折线图知称职与优秀的销售员职工人数分布如下：20万4人、21万5人、22万4人、23万3人、24万4人、25万2人、26万2人、27万1人、28万1人，则称职与优秀的销售员月销售额的中位数为（22+23）÷2＝22.5、众数为21；故答案为：22.5，21；（3）月销售额奖励标准应定为23万元．∵称职和优秀的销售员月销售额的中位数为22.5万元，∴要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一半人员能获奖，月销售额奖励标准应定为23万元．故答案为：23．【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数、众数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．题型十题型十利用平均数、中位数、众数解决实际问题【例题10】（2023春•仙居县期末）某校为加强对防溺水安全知识的宣传，组织全校学生进行“防溺水安全知识”测试，测试结束后，随机抽取50名学生的成绩，整理如下：a．成绩的频数分布表：成绩x/分50≤x＜6060≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x＜100频数3416720组中值5565758595b．成绩在80≤x＜90这一组的是（单位：分）：84，86，87，87，87，89，89．根据以上信息回答下列问题：（1）求在这次测试中的平均成绩；（2）如果本校1000名学生同时参加本次测试，请估计成绩不低于80分的人数；（3）甲在这次测试中的成绩是88分，结合上面的数据信息，他认为自己的成绩应该属于中等偏上水平，你认为他的判断是否正确？请说明理由．【分析】（1）根据加权平均数的求法求解即可；（2）利用样本估计总体的思想求解即可；（3）根据中位数的意义求解即可．【解答】解：（1）这次测试中的平均成绩为55×3+65×4+75×16+85×7+95×2050=（2）1000×20+750答：成绩不低于80分的有540人；（3）正确，理由如下：∵成绩的中位数为86+872=86.5，中位数反映成绩的中等水平，88＞【点评】本题考查了加权平均数，中位数，频数分布表等知识，掌握加权平均数，中位数的定义及其意义是解决问题的关键．解题技巧提炼平均数、中位数、众数它们从不同的角度反映数据的集中趋势，在实际应用中，需要分析具体问题的情况，选择适当的特征数来描述数据.【变式10-1】（2023•阎良区一模）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下统计图．请根据图中提供的信息，解答下面的问题：（1）求图1中的m＝，本次调查数据的中位数是h，本次调查数据的众数是h；（2）该校此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是多少？（3）若该校共有2000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数．【分析】（1）用劳动时间为4小时的人数除以总人数得出m的值，根据中位数与众数的意义结合统计图即可求解；（2）根据平均数的定义结合条形统计图即可求解；（3）用2000乘以3小时及以上的人数的占比即可求解．【解答】解：（1）∵m%=10∴m＝25，调查的时间有：1，2，3，4，5，本次调查数据的中位数是3，众数为3．故答案为：25，3，3；（2）此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是140答：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是3小时；（3）2000×15+10+3答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数为1400人．【点评】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．【变式10-2】（2023•南岸区校级开学）为了加快推进农村电子商务发展，积极助力脱贫攻坚工作，A，B两村的村民把特产“小土豆”在某电商平台进行销售（每箱小土豆规格一致），该电商平台从A，B两村各抽取15户进行了抽样调查，并对每户每月销售的土豆箱数（用x表示）进行了数据整理、描述和分析，下面给出了部分信息：A村卖出的土豆箱数为40≤x＜50的数据有：40，49，42，42，43B村卖出的土豆箱数为40≤x＜50的数据有：40，43，48，46土豆箱数＜3030≤x＜4040≤x＜5050≤x＜60≥60A村03552B村1a45b平均数、中位数、众数如表所示村名平均数中位数众数A村48.8m59B村48.84656根据以上信息，回答下列问题：（1）表中a＝；b＝；m＝；（2）你认为A，B两村中哪个村的小土豆卖得更好？请选择一个方面说明理由；（3）在该电商平台进行销售的A，B两村村民各有225户，若该电商平台把每月的小土豆销售量x在45＜x＜60范围内的村民列为重点培养对象，估计两村共有多少户村民会被列为重点培养对象？【分析】（1）由题意以及中位数的定义即可得出答案；（2）①A村的平均数比B村大；②A村的中位数比B村大；③A村的众数比B村大；（3）求出A，B两村中抽取的15户中每月的小土豆销售量x在45＜x＜60范围内的村民分别有6户、7户，即可得出答案．【解答】解：（1）由B村的中位数为46，即中间第8个为46，∴1+5+b＝7，∴b＝1，∴a＝15﹣1﹣4﹣5﹣1＝4，A村的中位数为第8个数49，即m＝49；故答案为：4，1，49；（2）A，B两村中A村的小土豆卖得更好，理由如下：①A村的中位数比B村大；②A村的众数比B村大；（3）A，B两村抽取的15户中每月的小土豆销售量x在45＜x＜60范围内的村民有8﹣2＝6（户），210×6+715+15答：估计两村共有91户村民会被列为重点培养对象．【点评】本题也考查了平均数、中位数、众数、数据的整理、用样本估计总体等知识；熟练掌握平均数、中位数、众数的定义是解题的关键．【变式10-3】（2022秋•遵义期末）遵义市某中学德育处利用班会课对全校学生进行了一次安全知识测试活动，现从八、九两个年级各随机抽取10名学生的测试成绩（得分用x表示），现将20名学生的成绩分为四组（A：60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100）进行整理，部分信息如下：九年级的测试成绩：76，100，87，100，92，94，91，100，94，86．八年级的测试成绩在C组中的数据为：83，84，86，88．年级平均数中位数最高分众数八年级83a9876九年级b93100c根据以上信息，解答下列问题：．（1）a＝，b＝，c＝；（2）若该中学八年级与九年级共有1400名学生，请估计此次测试成绩达到90分及以上的学生有多少人？（3）通过以上数据分析，你认为八、九年级中哪个年级学生对安全知识掌握得更好？请写出一条理由．【分析】（1）根据平均数，中位数，众数的定义解决问题即可；（2）利用样本估计总体的思想解决问题；（3）从平均数，众数，中位数分析解答即可．【解答】解：（1）中位数a=83+842b=110（76+100+87+100+92+94+91+100+94+86）＝众数c＝100．故答案为：83.5，92，100；（2）1400×2+720答：估计此次测试成绩达到90分及以上的学生有630人；（3）从平均分，中位数，众数看九年级的学生安全知识掌握得更好．【点评】本题考查众数，平均数，中位数，样本估计总体等知识，解题的关键是掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式10-4】（2023春•叙州区期末）为落实“五育并举”，某市教体局开展全面了解学生体质健康工作，从某校八年级学生中随机抽取20%的学生进行体质监测．《中学生体质健康标准》规定学生体质健康等级标准：90分及以上为优秀；80分～89分为良好；60分～79分为及格；60分以下为不及格，并将统计结果制成如表：等级频数频率不及格30.06及格140.28良好a0.34优秀16b请根据图表中的信息解答下列问题：（1）填空：a＝，b＝；（2）求参加本次测试学生的平均成绩；（3）请估计该校八年级学生体质未达到“良好”及以上等级的学生人数．【分析】（1）先求出调查的总人数，再根据频数、频率与总数之间的关系，分别得出答案；（2）根据平均数的计算公式进行计算即可；（3）用抽查中的未达到“良好”及以上等级的学生人数除以20%，即可得出答案．【解答】解：（1）调查的总人数有：3÷0.06＝50（人），a＝50×0.34＝17（人），b=1650故答案为：17，0.32；（2）根据题意得：（92×16+84×17+70×14+45×3）÷（3+14+17+16）＝4015÷50＝80.3（分）．答：参加本次测试学生的平均成绩是80.3．（3）根据题意得：（3+14）÷20%＝85（人），答：估计该校八年级学生体质未达到“良好”及以上等级的学生人数是85人．【点评】本题考查了平均数，理解平均数、频数、频率与总数之间的关系是正确解答的前提，用到样本估计总体是统计中常用的方法．题型十一题型十一方差的计算【例题11】一组数据为：31，30，35，29，30，则这组数据的方差是（）A．22 B．18 C．3.6 D．4.4【分析】先由平均数的公式计算出平均数，再根据方差的公式计算即可．【解答】解：这组数据的平均数为31+30+35+29+305=所以这组数据的方差为15×[（31﹣31）2+（30﹣31）2+（35﹣31）2+（29﹣31）2+（30﹣31）2]＝故选：D．【点评】此题主要考查了方差的有关知识，正确的求出平均数，并正确代入方差公式是解决问题的关键．解题技巧提炼用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：s2=1n[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn【变式11-1】（2023•天宁区校级模拟）一组数据5、2、7、2、4，这组数据的中位数与方差分别是（）A．4、3.4 B．4、3.6 C．7、3.4 D．7、3.6【分析】根据中位数和方差的定义求解即可．【解答】解：将这组数据重新排列为2、2、4、5、7，所以这组数据的中位数是4，平均数为2+2+4+5+75=所以这组数据的方差为15×[2×（2﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（7﹣4）2]＝故选：B．【点评】本题主要考查方差、中位数，解题的关键是掌握方差、中位数的定义．【变式11-2】若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据25，26，27，28，29的方差相等，则x的值为（）A．1 B．6 C．1或6 D．5或6【分析】根据数据x1，x2，…xn与数据x1+a，x2+a，…，xn+a的方差相同这个结论即可解决问题．【解答】解：∵一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据25，26，27，28，29的方差相等，∴这组数据可能是2，3，4，5，6或1，2，3，4，5，∴x＝1或6，故选：C．【点评】本题考查方差、平均数等知识，解题的关键利用结论：数据x1，x2，…xn与数据x1+a，x2+a，…，xn+a的方差相同解决问题，属于中考常考题型．【变式1