大学物理授课教案-第四章-刚体转动

第四章刚体的转动§4-1刚体运动一、刚体定义：物体内任意二点距离不变的物体称为刚体。说明：⑴刚体是理想模型⑵刚体模型是为简化问题引进的。二、刚体运动刚体运动：〔1〕平动：刚体内任一直线方位不变。特点：各点运动状态一样，如：、等都相同，故可用一个点来代表刚体运动。〔2〕转动：1〕绕点转动2〕绕轴转动：刚体中所有点都绕一直线作圆周运动说明：刚体的任何运动都可看作平动与转动的合成。〔如：乒乓球飞行等〕三、定轴转动〔本章仅讨论此情况〕定义：转轴固定时称为定轴转动。转动特点：⑴刚体上各点的角位移相同〔如：皮带轮〕，各点的、相同。⑵刚体上各点的、、一般情况下不同。说明：⑴是矢量，方向可由右手螺旋法那么确定。见图4-1。⑵§4-2力矩转动定律转动惯量一、力矩1、外力在垂直于轴的平面内如图4-2：定义：⑴力矩：〔4-1〕⑵力矩：大小：〔，称为力臂〕；方向：沿〔〕方向，它垂直于、构成的平面即与轴平行。注意：是、间夹角。2、外力不在垂直于轴的平面内如图4-3：∵对转动无奉献∴对转动有奉献的仅是。产生的力矩即的力矩，故上面的结果仍适用。说明：平行轴或经过轴时。二、转动定律时，转动状态改变，即，那么与的关系如何？这就是转动定律的内容。推导：如图4-4，把刚体看成由许多质点组成的系统，这些质点在垂直于轴的平面内作圆周运动。考虑第个质点：质量：到轴的距离：受力：外力：；内力：〔设、在垂直于转轴的平面内〕在切线方向上由牛顿定律有：〔4-2〕即〔4-3〕〔4-3〕×:〔4-4〕每一个质点都有一个这样方程，所有质点对应方程求和之后，有〔4-5〕可证明。证明如下：如图4-5，刚体内力是各质点间的相互作用力，他们是一对一对的作用力和反作用力。对、两质点，相互作用力的力矩之和=？设为第个质点对第个质点作用力，为第个质点对第个质点作用力。∵与共线∴力臂相等又∵与等值反向∴与产生力矩等值反向，故与力矩合=0由此可知：刚体的所有内力矩之和两两抵消，结果为0。令〔4-6〕即：刚体角加速度与合外力矩成正比，与转动惯量成反比，这称为转动定律。说明：⑴,与方向相同⑵为瞬时关系⑶转动中与平动中地位相同，是产生的原因，是产生的原因。*比拟⑷为合外力矩=各个外力力矩的矢量和。三、转动惯量1、：转动惯量=刚体中每个质点的质量与它到转轴距离平方乘积的和。2、转动惯量的意义：转动惯性的量度。例4-1：如图4-6，在不计质量的细杆组成的正三角形的顶角上，各固定一个质量为的小球，三角形边长为。求：⑴系统对过质心且与三角形平面垂直轴C的转动惯量；⑵系统对过A点，且平行于轴C的转动惯量；⑶假设A处质点也固定在B处，⑵的结果如何？解：⑴⑵⑶讨论：⑴与质量有关〔见⑴、⑵、⑶结果〕⑵与轴的位置有关〔比拟⑴、⑵结果〕⑶与刚体质量分布有关〔比拟⑵、⑶结果〕⑷平行轴定理：对平行于质心轴的转动惯量=对质心轴转动惯量+刚体质量×该轴与质心轴之距离平方。如例4-2：如图4-7，质量为长为的匀质杆，求：⑴它对过质心且与杆垂直的轴c的转动惯量为多少？⑵它对过一端且平行于c轴的A轴转动惯量为多少？解：⑴如图4-7所取坐标，⑵如图4-8所取坐标，用平行轴定理解：说明：一些特殊形状的刚体转动惯量应会计算并记住。如：匀质杆、圆柱、圆盘、圆环、球等。例4-3：如图4-9，轻绳经过水平光滑桌面上的定滑轮c连接两物体A和B，A、B质量分别为、，滑轮视为圆盘，其质量为半径为R，AC水平并与轴垂直，绳与滑轮无相对滑动，不计轴处摩擦，求B的加速度，AC、BC间绳的张力大小。解：受力分析：：重力，桌面支持力，绳的拉力；：重力，绳的拉力；：重力，轴作用力，绳作用力、取物体运动方向为正，由牛顿定律及转动定律得：及，，解得：讨论：不计时，〔即为质点情况〕例4-4：一质量为的物体悬于一条轻绳的一端，绳绕在一轮轴的轴上，如图4-11。轴水平且垂直于轮轴面，其半径为，整个装置架在光滑的固定轴承上。当物体从静止释放后，在时间内下降了一段距离，试求整个滑轮的转动惯量〔用，，和表示〕解：受力分析由牛顿第二定律及转动定律得：及，，§4-3转动动能力矩的功转动动能定理一、转动动能如图4-13，刚体绕过O处轴〔垂直图面〕转动，角速度为，在转动中刚体各个质点都具有动能，刚体转动动能=各个质点动能之和。设各质点质量为，，，…，与轴距离为，，，…，转动动能为：〔4-6〕*比拟：二、力矩的功如图4-14，刚体绕定轴转动，设作用在刚体P点力〔可以是内力，或外力，也可以是合力或单个力〕，在作用下刚体有一角位移，力的作用点的位移为，那么在该位移中作的功为：〔4-7〕即：力矩元功=力矩×角位移〔力矩与角位移点积〕在力矩作用下，从过程中，力矩的功为〔4-8〕说明：⑴常力矩功⑵力矩功是力矩的空间积累效应⑶内力矩功之和=0〔与质点情况不同〕⑷力矩的功功率：比拟：三、刚体定轴转动的动能定理即做如下积分可得〔4-9〕即：合外力矩功等于刚体转动动能增量，称此为刚体的转动动能定理。例4-5：在例4-3中，假设B从静止开始下落时，⑴合外力矩对c做的功=？⑵c的角速度=？解：⑴由例3知，对c的合外力矩为〔常力矩〕⑵例4-6：如图4-16所示，一轻弹簧与一匀质细杆相连，弹簧倔强系数，细杆质量为。杆可绕c轴无摩擦转动。假设当时弹簧为原长，那么细杆在的位置上至少具有多大的角速度才能转到水平位置？解：取、杆、地为系统，由题意知系统机械能守恒。，。，代入得注意：机械能守恒定律条件及应用。§4-4角动量角动量定理角动量守恒定律角动量1、角动量定义：，称为刚体角动量〔或动量矩〕说明：⑴⑵2、冲量矩转动定律〔4-10〕〔4-11〕做如下积分：定义：为在内对刚体的冲量矩〔4-12〕说明：〔1〕冲量矩是矢量〔2〕冲量矩是力矩的时间积累效应*比拟：二、角动量定理由上知〔4-13〕即：合外力矩对刚体的冲量矩等于刚体角动量增量。称此为角动量〔或动量矩〕定理。三、角动量守恒定律当时，有〔4-14〕即：当合外力矩时，那么此情况下刚体角动量守恒，称此为角动量守恒定律。说明：⑴角动量守恒条件是某一过程中。⑵⑶角动量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律是自然界中的普遍规律，不仅适用于宏观物体的机械运动，而且也适用于原子、原子核和根本粒子〔如电子，中子，原子，光子，…〕等微观粒子的运动。例4-7：如图4-17，轻绳一端系着质量为的质点，另一端穿过光滑水平桌面上的小孔o用力拉着，如下图。质点原来以等速率作半径为的圆周运动，当拉动绳子向正下方移动时，质点的角速度解：研究对象：受力分析：重力、桌面支持力、绳的作用力。可见转动中，受合外力矩=0，即∴得注意：角动量守恒条件及应用〔守恒时，不一定守恒，反过来也如此〕例4-8：如图4-18，A、B两圆盘分别绕过其中心的垂直轴转动，角速度分别是、，它们半径和质量分别为、和、。求A、B对心衔接后的最后角速度。解：研究对象：A、B系统在衔接过程中，对轴无外力矩作用，故有即：讨论：假假设的转动方向与题中相反，那么假设为正，那么有：例4-9：如图4-19，长为，质量为的匀质细杆，可绕过O的光滑水平轴转动。起初杆水平静止。求：⑴t=0时，⑵杆到竖直位置时，⑶杆从水平到竖直过程中外力矩功=？⑷杆从水平到竖直过程中杆受冲量矩大小为多少？解：⑴即⑵以、地为系统，其能量方程有⑶⑷冲量矩=例4-10：长为，质量为的匀质细杆，可绕上端的光滑水平轴转动，起初杆竖直静止。一质量为的小球在杆的转动面内以速度垂直射向杆的A点，求以下情况下杆开始运动的角速度及最大摆角。⑴子弹留在杆内⑵子弹以射出。解：⑴子弹留在杆内分两个过程：弹射入杆过程。、、为系统，角动量守恒，即①〔强调：此过程动量不守恒及原因〕上