Hilbert空间-矢量空间-线性算符课件

第一章

Hilbert空间§1.1矢量空间24

子空间1 定义;

2 正交性和模;

3 基矢;§1.2线性算符1 定义;

2 厄米、幺正、投影算符;3 本征值和本征矢量;

4 厄米算符完备组§1.3表象理论1 矢量和算符的矩阵表示;

2 表象变换;

3 连续本征值情况;

4 坐标表象;

5 动量表象§1.4矢量空间的直和与直积1 直和空间;

2 直积空间§1.13矢量空间§1.1.1定义矢量空间：一组称为矢量的元素{ψ,φ,χ,…}的集合，当其满足下述加法和数乘运算时，称为矢量空间；希尔伯特空间：具有加法、数乘及内积三种运算的矢量空间，称为Hilbert空间。1、加法4(1)

对集合中任一对矢量ψ和φ,存在集合中另一矢量χ,称为ψ与φ

的和矢量,使得下面的等式成立：ψ

+φ

=

φ

+ψ(ψ

+

φ)

+

χ

=

φ

+

(ψ

+

χ

)(交换律)(结合律)集合中存在零矢量O,使得对于任意矢量ψ

:ψ

+

O

=ψ对于集合中每一矢量ψ，有一逆矢量φ

存在,满足φ

+ψ

=

O可记：φ

=−ψ2、数乘5集合内每一矢量可以与数(实数或复数)相乘，得出集合内另一矢量。对于任意的数μ

和ν，数乘须满足下述条件:第一分配律第二分配律结合律(μ

+

ν)

ψ

=

μψ

+

νψμ(ψ

+

φ)

=

μψ

+

μφμνψ

=

μ

νψ

1ψ

=

ψ3、内积6在空间中可以定义某种规则，使按一定次序任取的两个矢量ψ和φ

，总有一个数c与之相对应，并记为:

(ψ,

φ)

=

c在实数域上的矢量空间，所得内积是实数；在复数域上的矢量空间，所得内积是复数；内积于因子次序有关，并须满足下述条件：

ψ,

φ

φ,

ψ

∗

ψ,φ

χ

ψ,φ

ψ,χ

ψ,

μφ

μ

ψ,φ

ψ,ψ

对任意ψ成立;若

ψ,ψ

=

,则必有ψ

=O.矢量的模定义为

ψ

ψ

ψ

1/27具有加法,数乘和内积三种运算的空间称为内积空间;完全的内积空间称为Hilbert

空间.8这里,所谓的‘完全’意味着空间中任何收敛的序列

ψ

,ψ

,ψ

,

的极限也必须在该空间中,而收敛是指:∃N,使得当m,n>N时,(ψm−ψn,ψm−ψn)<ε,对∀ε.一些有关矢量空间的简单性质：9

1

在矢量空间中,零矢量是唯一的；

2

每一个矢量的逆元是唯一的；

3

ψ

=

O

4

ψ

=

−ψ

5

μΟ

=

Ο

6

如果μψ=Ο，那么μ=

，或者ψ=Ο

7

(μψ,

φ)

=

μ∗(ψ,

φ)

8

(ψ

+

φ,

χ)

=

(ψ,

χ)

+

(φ

,

χ)

9

(ψ,

Ο)

=

0几个矢量空间的例子10例1、取数学对象(或元素)为所有正负有理数和零,规定(i)加法即为算术中的加法;(ii)数乘中的数μ也限于有理数,数乘即是算术中的乘法;(iii)内积为两个因子的算术乘积.这是一个在有理数域上的矢量空间.因为有理数相加和相乘所得仍然为有理数,这个空间是封闭的,即所得结果仍在此空间之中.该序列中每一项都在所论空间之中,但是当n

的极限是e=2.7182818…,为无理数，不在该空间中.例如序列：11值得注意的是在这个空间中,有的序列的极限超出这一空间之外.例2、三维位形空间中的矢量全体12规定加法服从平行四边形法则；数乘中的数为实数，以μ

数乘的结果是方向不变，长度乘以μ；标积是两矢量的点乘积。这是一个实数域上的内积空间。例3、取数学对象为一组有序的复数,譬如三个数,可以将其写为一个列矩阵:(i)加法,(ii)数乘和(iii)标积的定义分别为:这是一个复数域上标积空间.13例4、数学对象为在a

≤x

≤b区间定义的实变量x

的‘行为较好’的复函数f(x)的全体,而且都是平方可积的.所谓‘行为较好’是指满足一定数学要求,如单值性、连续性及导数存在等.规定加法和数乘都是代数中的相应运算;规定两个函数f(x)和g(x)的内积为:这样的函数全体构成一个内积空间,平方可积之意是:该空间称为函数空间,不同的函数是空间中的矢量.14§1.1.2

正交性和模15如果两个矢量ψ

和φ

的内积为零,即(ψ,φ)=0,我们说这两个矢量正交.前面已经提到,矢量ψ

的模方定义为(ψ,ψ),记(ψ,ψ)

|ψ|

.模方的正平方根|ψ|称为模，模为1的矢量称为归一化的矢量.Schwartz

不等式对于任意矢量ψ和φ，|

ψ,φ

|

|ψ|

|φ|.三角不等式

对于任意矢量ψ

和φ

，有|ψ+φ|

|ψ

|

|φ

|.16§1.1.3

基矢1、线性无关定义

矢量空间中有限个(n个)矢量的集合(ψi):只有当全部复数μi

都为零时才成立17若则这n

个矢量(ψi)是线性无关的;只要有一组不全为零的复数(μi)存在,使得上式成立,则这一组矢量为线性相关的.注：对于无穷个矢量的集合,线性无关的定义为:在无穷个矢量的集合中,若任意有限的子集合都是线性无关的,则整个集合就是线性无关的.完全集一个矢量空间中的一组完全集，是一个线性无关的矢量集合

λi

，这个空间中的每个矢量都能表为完全集中矢量的线性叠加，即每个矢量都能写成

iμiλi的形式，其中μi

是一组复数。18如何构成完全集?如果一个空间中有一个线性无关的矢量集

λ1,λ2,…,λn

，但还不是完全集，这时可以把不能表为其线性叠加的一个矢量命名为λn+1，加入该矢量集.以此类推，直至该集成为完全集为止.如果能够做到这一点，这个矢量空间称为有限维的，否则称为无限维的.定理:在有限维空间内各种不同的完全集中所包含的矢量的数目是相同的.192、基矢20一个矢量空间中可以有多组完全集.正交归一的完全集,是指完全集中每个矢量都是归一化的,而又两两相互正交.这样的完全集称为该空间的一组基矢.n维空间的一组基矢

λ1,λ2,…,λn

正交归一性质可以表示为:(λi,

λj)

=

δij,

i,

j

=

1,2,…,nSchmidt

正交化方法21一个矢量空间只要知道他的一个完全集,就可利用所谓的Schmidt

正交化方法找到一组基矢.一个关于基矢的重要定理完全性定理：如果{νj}(j

=1,

2,…,n)是矢量空间中的一组n个正交归一的矢量，则下面的四个命题是互相等价的：1).{νj}是空间的一组基，即空间是n

维的。2).对空间中一切矢量ψ成立。3).对空间中一切矢量φ和ψ成立。4).对空间中一切矢量ψ成立。22证明步骤：1

⇔2

⇒3

⇒4

⇒21

⇒2

易证；1).{νj}是空间的一组基，即空间是n

维的。2).对空间中一切矢量ψ成立。232

⇒1

根据定义即得；2

⇒3

易证；2).对空间中一切矢量ψ成立。3).对空间中一切矢量φ和ψ成立。243

⇒4

易证；3).对空间中一切矢量φ和ψ成立。4).对空间中一切矢量ψ成立。254

⇒

2

:构造矢量426即(2)式§1.1.4

子空间27定义:一个矢量空间R,若其中一个矢量集合S在原空间

的运算定义下又构成一个矢量空间,则S

称为R

的子空间.当子空间的维数与原空间相等时,子空间即为原空间.空间R

中所有与子空间S

中矢量正交的矢量全体,也构成一个子矢量空间,称之为子空间S的补空间.子空间中任一矢量同其补空间中的任一矢量都是正交的.一个子空间同其补空间有且仅有一个共同元,即零矢量.设空间R的维数是n,它的一个子空间S的维数是s,则可以证明S

的补空间的维数必是(n−s).附:右矢和左矢28Dirac

首先引进了右矢和左矢的符号.设现有一矢量空间,在其中定义了矢量的加法、数乘和内积运算,我们称此空间为单一空间.参照这个空间建立以下两个空间：右矢空间:

其构造同单一空间相同,每一个矢量都与单一空间的矢量相对应,与单一空间中ψ,φ,χ

对应的矢量,在这里都是右矢|ψ

,|φ

,|χ

.这些右矢的加法等运算与单一空间相同.左矢空间:对于右矢空间中每一个右矢|ψ

,在左矢空间中有一相应的左矢

ψ

|,与零右矢|O

对应的左矢是零左矢

O|.内积

规定一个左矢

ψ|与一个右矢|φ

的内积

ψ|φ

是一个复数,

并等于单一空间中ψ,

φ

的内积(ψ,

φ)即

ψ|φ

=

(ψ,

φ)

=

c并且规定,内积的运算满足以下四个条件：若则必有29几个基本关系式30

设

φ

τ

=0,对任意左矢

φ

成立,则

τ

=

O

;

设

φ

τ

=0,

对任意右矢

τ

成立,则

φ

=

O

;

若

ψ

τ

=

φ

τ

,对任意右矢

τ

成立,则

ψ

=

φ

.定理1、若三个右矢|ψ〉,|φ〉,|χ〉满足|ψ〉+|φ〉=|χ〉,则在左矢空间中与三者相应的〈ψ|,〈φ|,〈χ|

也必满足〈ψ|

+〈φ|

=〈χ|

.31证明:

取任意左矢

λ

与上述右矢表达式作内积,然后两边取复共轭,

得

ψ

λ

+

φ

λ

=

χ

λ

,

故而(

ψ

+

φ

χ

)

λ

=0,因为

λ

是任意右矢.故得证.定理2、若二右矢|ψ〉,|φ〉满足|ψ〉=a|φ〉,则〈ψ|

=a*〈φ|.32证明:取任意左矢

χ

与上述右矢表达式两边作内积：

χ

ψ

=a

χ

φ

，取此式两边的复共轭

ψ

χ

=a*

φ

χ

，即(

ψ

a*

φ

)

χ

=0由于

χ

是任意右矢，故括号内为零矢量，得证.若在单一空间中有一组基矢{λι},则在右矢空间和左矢空间中各有一套相应的基矢,它们分别是基右矢{

λι

}和基左矢{

λι

}.有:i)

ψ

ψ

λι

λι

;ii)

ψ

ψ

;iii)

φ

ψ

φ

λι

λι

ψ

.基矢的正交归一关系为:

λi

λj

δij.模

ψ

记为:33§1.2线性算符§1.2.1

一些定义算符:矢量空间中的一种对应关系.线性算符:伴算符H

:算符作用于左矢:34算符的迹对于任意基矢{

uj

},算符H的迹定义为可以证明,算符的迹不依赖于基矢的选取,且满足35§1.2.2厄米算符幺正算符 投影算符36若一算符H

=H+，则称之为自伴算符.由

ϕ

H+

ψ

*

=

ψ

H

ϕ

这意味着

ϕ

H

ψ

*

=

ψ

H

ϕ

或

ϕ

H

ψ

=

ψ

H

ϕ

*满足上式的算符称为厄米算符.幺正算符是满足如下条件的算符:即关于幺正算符U的两个定理i

i37定理1

在矢:量空间中,若{|ν

〉}是一组基矢,则{U|ν

〉}也是一组基矢.定理2

若{|μi〉}和{|νi〉}是同一空间的两组基矢,则两者必能由一个幺正算符联系起来,即存在一个幺正算符U,使得|μi〉=U|νi〉.幺正变换38一、矢量的幺正变换把一个矢量空间的全部矢量都用一个幺正算符作用,这一操作称为矢量的幺正变换.鉴于幺正变换(i)不改变矢量的模;(ii)不改变两矢量的内积,从而不改变正交关系;故而,在物理上有时称矢量的幺正变换为矢量(在多维空间)的转动.二、算符的幺正变换39演化算符:一个幺正算符的例子根据Schrodinger

方程如果t=t0

时刻的初始态矢|ψ(t0)〉给定,则|ψ(t)〉可表示为:其中,U(t,t0)=I.40如果H=H+,则由上式知:实际上,如果再有H不显含时间t,则41投影算符42简单地说,如果一个厄米算符p满足p2

=p,则p是一投影算符.它的作用是将矢量‘投影’到某一子空间上,如:p=|ϕi〉〈ϕi|.§1.2.3

本征值和本征矢量43定义：对于算符A，若有非零矢量|ψ〉满足下式A|ψ〉

=a|ψ〉则|ψ〉称为算符A的本征矢量，a为相应的本征值。关于厄米算符的几个有用的定理44定理1

算符H为厄米算符的充分必要条件是对其定义域中所有的矢量|ψ〉满足〈ψ|

H|ψ〉=实数证明:必要性

若

H†

=H

则对任意

ψ

有

ψ

H

ψ

=

ψ

H†

ψ

*=

ψ

H

ψ

*，故知

ψ

H

ψ

为实数；充分性

若对任意

ψ

，

ψ

H

ψ

为实数，则

ψ

H

ψ

=

ψ

H

ψ

*

=

ψ

H†

ψ

，因此

ψ

H–H†

ψ

=0对任意

ψ

成立，由此得H†

=

H定理2在复空间中，厄米算符的本征值都是实数