材料力学cl-05弯曲内力

第四章弯曲内力§4-1平面弯曲的概念一.弯曲变形

1.载荷作用情况：

杆件上作用有垂直于杆件轴线的外力，或作用面垂直于横截面的力偶。

2.变形情况：

原为直线的轴线变形后就会成为曲线，横截面相对原来位置转过一个角度。这种形式的变形就称为弯曲。工程中以弯曲变形为主的杆件称为梁12/17/20231凡是以弯曲为主要变形的杆件，通常称为梁。12/17/20232PaAB阳台梁栏杆PABq12/17/2023312/17/20234上海长江大桥第53号至54号桥墩间，架起“百米长梁”。这一箱梁长105米、宽16米、高5米，重2300吨，为世界第一。“百米长梁”超越东海大桥“梁式大桥”70米的跨度，实现了桥梁史上的一大突破。上海长江大桥跨江段长10公里，全桥长16.5公里，双向6车道，设计时速100公里。整个隧桥工程在2009年完工。

上海长江大桥架起"世界第一梁"12/17/20235二.平面弯曲（对称弯曲）一般情况下，工程中受弯杆件的特点：

1.横截面都至少有一个通过几何形心的对称轴，因而整个杆件都有一个包含轴线的纵向对称面。

2.作用于杆件的外力都在这个纵向对称平面内。

3.轴线在弯曲变形后变成纵向对称面内的一条平面曲线。这种情况的变形我们就称为平面弯曲变形，可见梁发生平面弯曲时，受力为平面平行力系。纵向对称面：梁的轴线与横截面的对称轴所构成的平面12/17/20236平面弯曲：当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线。FqFAFB纵向对称面轴线弯曲后梁的轴线（挠曲线）12/17/20237§4-2梁的计算简图Pq(x)三.支座的分类一.杆件的简化

用梁的轴线来代替实际的梁。

折杆或曲杆用中心线代替。二.载荷的分类

1.

集中载荷2.

分布载荷

3.

集中力偶1.固定铰支座2.可动铰支座3.固定端支座

根据支座对梁在载荷平面内的约束情况，一般可以简化为三种基本形式：12/17/20238四、静定梁的基本形式1.简支梁2.外伸梁3.悬臂梁中间铰4.组合梁12/17/20239

超静定梁——支座反力不能由静力平衡方程完全确定的梁。12/17/202310§4-3梁的内力及其求法12/17/202311求内力—截面法弯曲构件内力剪力弯矩1.弯矩M

：它是与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩。2.剪力FS

：它是与横截面相切的分布内力系的合力。MFRAFRBABPmmxFRAFSCPFRBFSCM12/17/202312FSdxmmFS+dxmmFSFS-剪力FS的符号规定：左上右下为正，反之为负弯矩M的符号规定：左顺右逆(上压下拉、上凹下凸)为正，反之为负mm+（受拉）MMmm（受压）MM－12/17/202313例题

一简支梁受力如图所示。试求C截面（跨中截面）上的内力。解：1、根据平衡条件求支座反力qAB4aaaC求指定截面上的剪力和弯矩12/17/2023142、求C截面（跨中截面）上的内力qAaC得到：（剪力的实际方向与假设方向相反，为负剪力）得到：（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）12/17/202315如以右侧梁作为研究对象，则：为了计算方便，通常取外力比较简单的一段梁作为研究对象。qBaC12/17/202316qAB4aaaC取左段梁为研究对象:取右段梁为研究对象:截面左侧（或右侧）梁上的所有外力向截面形心简化所得到的主矢。12/17/202317截面左侧（或右侧）梁上的所有外力（力和力偶）向截面形心简化所得到的主矩。qAB4aaaC取左段梁为研究对象:取右段梁为研究对象:12/17/202318例：求图示梁1-1、2-2、3-3、4-4截面上的剪力和弯矩。12/17/202319解：由得由得（FS4的实际方向与假设方向相反，为负剪力）12/17/202320小结(基本规律)

（1）求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致（方向、转向相反）。一般取外力比较简单的一段进行分析。（2）在解题时，一般在需要内力的截面上把内力（FS

、M）假设为正号。最后计算结果是正，则表示假设的内力方向（转向）是正确的，解得的FS、M即为正的剪力和弯矩。若计算结果为负，则表示该截面上的剪力和弯矩均是负的，其方向（转向）应与所假设的相反（但不必再把脱离体图上假设的内力方向改过来）。12/17/202321（3）梁内任一截面上的剪力FS的大小，等于这截面左边（或右边）所有与截面平行的各外力的代数和。

若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的外力会使该截面上产生正号的剪力，而所有向下的外力会使该截面上产生负号的剪力。（4）梁内任一截面上的弯矩的大小，等于这截面左边（或右边）所有外力（包括力偶）对于这个截面形心的力矩的代数和。

12/17/202322

若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的力使该截面上产生正号的弯矩，而所有向下的力会使该截面上产生负号的弯矩;在此段梁上所有顺时针转向的外力偶会使该截面上产生正号的弯矩，而所有逆时针转向的外力偶会使该截面上产生负号的弯矩。

(5)集中力作用的截面上剪力有“跳跃”（突变），其跳跃的值就是这个集中力的大小；集中力偶作用的截面上弯矩有

“跳跃”，其跳跃的值就是这个集中力偶的大小．12/17/20232312/17/202324一.剪力和弯矩方程FS

=FS（x）——

剪力方程M=M（x）——弯矩方程

二.剪力图、弯矩图以x轴表示横截面位置，以纵坐标表示相应截面上的

剪力

Fs

、弯矩

M，称为剪力图、弯矩图。表示Fs、M沿梁轴线变化情况。§4-4剪力方程和弯矩方程

剪力图和弯矩图在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面的位置而变化。因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即：12/17/202325AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNEDF因此，必须分段列出梁的剪力方程和弯矩方程，各段的分界点为各段梁的控制截面。作内力图时，必须标明控制截面上的内力值。所谓控制截面,即外力规律发生变化的截面—集中力、集中力偶作用点、分布载荷的起点和终点处的横截面。控制截面的概念12/17/202326例：简支梁受均布荷载12/17/20232712/17/202328讨论：集中力P作用点C处：剪力发生突变，突变量为

PAC段:CB段:12/17/202329FSMMABabC讨论:集中力偶

M作用点

C处：AC段：CB段：12/17/202330注意：1、剪力、弯矩方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作用处，应为开区间，因在该处剪力图有突变；而在集中力偶作用处，M(x)应为开区间，因在该处弯矩图有突变。2、若所得方程为x的二次或二次以上方程时，则在作图时除计算控制截面的值外，应注意曲线的凹凸向及其极值。12/17/202331例题外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图。ABqF=qaCa2a解：xy1、取参考坐标系Cxy。根据平衡条件求支座反力12/17/2023322、列出梁的剪力方程和弯矩方程yABqF=qaCa2axCA段:xAB段:x12/17/202333yABqF=qaCa2ax3、作梁的剪力图和弯矩图-qa(-)(-)(+)(-)E(+)M图12/17/20233412/17/202335例.复合静定梁，试作剪力图和弯矩图。

特点:中间铰不能传递弯矩，只能传递力的作用。求解时先由中间铰处拆开，化为两个单跨梁。AD、DC和CB三段剪力方程和弯矩方程如下：1.支座反力a/2ACBqa/2aDxxxBAqccFCyFAyRC由AC跨的平衡条件求得。AD:DC:12/17/202336CB：2.剪力图和弯矩图OFS3qa/3qa/8MO9qa2/128qa2/16qa2/83a/8a/2ACBqa/2aDxxxcBqcAFCyFAy

AD段的弯矩图为一条二次抛物线，作图时须求出弯矩的极值和所在截面的位置，才能大致绘出其图形。12/17/202337§4-5载荷集度、剪力和弯矩间的关系一、载荷集度、剪力和弯矩的微分关系规定向上的q(x)为正。12/17/20233812/17/202339上式的物理意义：梁上任一横截面上的剪力对x的一阶导数，等于该截面处作用在梁上的分布载荷集度。上式的几何意义：任一横截面上的分布荷载集度，就是剪力图上相关点处的斜率。上式的物理意义：梁上任一横截面上的弯矩对x的一阶导数，等于该截面上的剪力。上式的几何意义：任一横截面处的剪力，就是弯矩图上相关点处的斜率。12/17/202340由此式知：剪力图曲线上一点处的斜率等于梁上相应点处的载荷集度q。ABqF=qaCa2a(-)-qa(-)(-)(+)E(+)M-图12/17/202341由此式知：弯矩图曲线上一点的斜率等于梁上相应截面处的剪力FS。ABqF=qaCa2a(-)-qa(-)(-)(+)E(+)M-图12/17/202342上式的物理意义：梁上任一横截面上的弯矩对x的二阶导数，等于同一截面处作用在梁上的分布载荷集度数学上：二阶导数可用来判定曲线的凹向，因此：上式的几何意义：可以根据对x的二阶导数的正、负来定出图的凹向。12/17/202343载荷集度、剪力和弯矩的微分关系:12/17/202344二.载荷集度、剪力和弯矩的积分关系：

当梁的某一段内载荷作用规律没有变化时12/17/2023454m4m4m3mABCDEMq例：外伸梁，作剪力图，弯矩图已知：解：1.求支反力2.作剪力图Fs7313AC

段斜直线CD

段斜直线12/17/202346Fs7313BD：水平直线BE：水平直线23.作弯矩图M2020.516x4m4m4m3mABCDEMqAC

段抛物线CD

段抛物线12/17/202347M2020.51666x4m4m4m3mABCDEMqFs73132DB

段斜直线BE段斜直线12/17/202348内力FS

、M

的变化规律,归纳如下：载荷F水平直线+-oror上斜直线上凸抛物线下凸抛物线下斜直线F(剪力图无突变)F处有尖角斜直线12/17/2023491．当梁上某段q=0时，该段剪力为常数，故剪力图为水平直线。相应的弯矩为x的一次函数，弯矩图为斜直线。当FS＞0时，弯矩图为上升斜直线；FS＜0时，弯矩图为下降斜直线。2．当梁上某段q=常数时，该段剪力为x的一次函数，剪力图为斜直线。相应的弯矩为x的二次函数，弯矩图为二次抛物线。若q＞0，则FS图为上升斜直线，M图为凹口向上的曲线（凹弧）；若q＜0，则FS图为下降斜直线，M图为凹口向下的曲线（凸弧）。

3．在集中力作用处（包括支承处），剪力图将发生突变，其突变值等于该处集中力之大小。当集中力向上时，剪力图向上突变（沿x正向），反之，向下突变；而弯矩图将因该处两侧斜率不等出现拐点。

在集中力偶作用处，弯矩图将发生突变，突变值等于集中力偶矩的大小。当集中力偶为顺时针方向作用时，弯矩图向上突变（沿x正向），反之则向下突变，但剪力图在该处无变化。

12/17/20235012/17/202351作剪力图，从左往右，★向上的外力向上画★向下的外力向下画★分布载荷斜着画★没有外力水平画★集中力偶不管它12/17/20235212/17/20235312/17/20235412/17/20235512/17/20235612/17/20235712/17/20235812/17/20235912/17/20236012/17/20236112/17/20236212/17/202363

画内力图小结作剪力图，从左往右，★向上的外力向上画★向下的外力向下画★分布载荷斜着画

★

没有外力水平画★

集中力偶不管它作弯矩图，从左往右，★

梁左端没有集中力偶，弯矩为零；

有集中力偶时，顺时针向上画，逆时针向下画。★剪力为正，向上斜着画；剪力为负，向下斜着画。★分布载荷向下，曲线向上凸；

分布载荷向上，曲线向下凸。★控制点数据，逐点加两点间剪力图面积。12/17/202364一.刚架的内力图

刚架的组成—横梁、立柱与刚节点立柱刚节点横梁§4-6平面刚架（折杆）内力图

平面刚架是由在同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连结而组成的结构.F1alF2ABCB当杆件变形时，两杆连接处保持刚性，即角度（一般为直角）保持不变。12/17/202365节点处的平衡关系：

当节点处没有集中外力作用时,由节点平衡可知：

FNFSFSFNFNFSFNFSMMMM在平面载荷作用下，组成刚架的杆件横截面上一般存在轴力、剪力和弯矩三个内力分量。12/17/202366刚架内力图的画法1.无需建立坐标系；2.控制面数据根据平衡微分方程计算；3.弯矩图画在受压边，（结构力学规定画在受拉边）

轴力，剪力画在里侧和外侧均可，但需标出正负号；4.注意刚节点处的平衡关系。5.当刚节点处无集中力偶作用时，

刚节点两侧的弯矩

大小相等，弯矩图画在同侧。12/17/202367例：作图示刚架的轴力图、剪力图、弯矩图。ABC12/17/202368BAC12/17/202369例：作图示刚架的轴力图、剪力图、弯矩图。BACD12/17/202370CL7TU18BADC12/17/202371例：作图示刚架的弯矩图。BAC12/17/202372例：作图示刚架的弯矩图。BAC12/17/202373例：作图示刚架的弯矩图。BAC12/17/202374例:绘刚架内力图解：一）求支反力：q=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRB12/17/202375二）分析内力：1）BC杆：（0x13）8kNRAYq=1kN/mABCDE4m1m2m3mRAXRB1kNFN12）DC杆：（0x23）分段列出EC段（0x22）x21kNRBx1B12/17/202376q=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRBDE段：（3x22）X2x33）AD段：（0x34）12/17/202377三、作内力图1）轴力图q=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRBABDEC3kN1kN5kN12/17/202378q=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRBABDEC2）剪力图:用简易法：取控制点1kN

BC杆：取一点（水平线）DC杆：取两点（水平线）5kN3kNDA杆：取两点（斜直线）1kN3kN12/17/202379q=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRB3）弯矩图：用简易法：取控制点BC杆：取两点（斜直线）DC杆：取两点（斜直线）DA杆：取三点（抛物线）ABDEC0kN3kNm3kNm7kNm4kNm4.5kNm3m4kNmABDEC1kN

5kN3kN1kN3kN12/17/202380ABDEC1kN

5kN3kN1kN3kNA