材料力学(一) 第五章 弯曲内力

第五章弯曲内力第五章弯曲内力材料力学1§5-1-1

工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁：火车的轮轴：第五章弯曲内力2楼房的横梁：阳台的挑梁：第五章弯曲内力3二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。四、平面弯曲的概念：第五章弯曲内力4受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过弯曲中心）。变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。纵向对称面MF1F2q第五章弯曲内力5§5-1-2弯曲梁的简化一、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。二、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。三、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。四、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。XAYAMA第五章弯曲内力62、固定铰支座——有二个约束反力。3、可动铰支座——有一个约束反力。YA第五章弯曲内力7五、梁的三种基本形式：M—集中力偶q(x)—分布力1、悬臂梁：2、简支梁：⑶外伸梁：—集中力Pq—均布力LLLL（L称为梁的跨长）第五章弯曲内力8六、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。第五章弯曲内力9§5—2弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F，a，l。

求：距A端x处截面上内力。FAYFAXFBYFABFalAB解：①求外力FAX=0以后可省略不求第五章弯曲内力10ABFFAYFAXFBYmmx②求内力FsMMFs∴

弯曲构件内力剪力弯矩1.弯矩：M

构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩（弯矩）。AFAYCFBYFC第五章弯曲内力112.剪力：Fs

构件受弯时，横截面上存在平行于截面的内力（剪力）。二、内力的正负规定:①剪力Fs:在保留段内任取一点，如果剪力的方向对其点之矩为

顺时针的，则此剪力规定为正值，反之为负值。②弯矩M：使梁微段变成上凹下凸形状的为正弯矩；反之为负值。Fs(+)Fs(+)Fs(–)Fs(–)M(+)M(+)M(–)M(–)第五章弯曲内力12三、注意的问题1、在截开面上设正的内力方向。2、在截开前不能将外力平移或简化。四、简易法求内力：Fs=∑Fi（一侧），M=∑mi。（一侧）。左上右下剪力为正，左顺右逆弯矩为正。第五章弯曲内力13[例]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。qLFs1AM1图（b）x1（2）截面法求内力。

1--1截面处截取的分离体

如图（b）示。解（1）确定支座反力（可省略）图（a）qqLab1122第五章弯曲内力142--2截面处截取的分离体如图（c）图（a）qLab1122qLFs2BM2x2图（c）第五章弯曲内力15[例]：求图所示梁1--1、2--2截面处的内力。aaaABCDFa11221.3a0.5aF解：（1）确定支座反力FCYFBY（2）简易法求内力1--1截面取左侧考虑：2--2截面取右侧考虑：第五章弯曲内力161200N/m800NAB1.5m1.5m3m2m1.5m1122[例]：求图所示梁1--1、

2--2截面处的内力。解：（1）确定支座反力FAYFBY（2）简易法求内力1--1截面取左侧考虑：第五章弯曲内力171200N/m800NAB1.5m1.5m3m2m1.5m1122FAYFBY2--2截面取右侧考虑：第五章弯曲内力18五、剪力方程、弯矩方程：把剪力、弯矩表达为截面位置x的函数式。

Fs=Fs(x）————剪力方程

M=M(x)————弯矩方程

注意：不能用一个函数表达的要分段，分段点为集中力作用点、集中力偶作用点、分布力的起点、终点。LqABx第五章弯曲内力19六、剪力图和弯矩图：剪力、弯矩沿梁轴线变化的图形。七、剪力图、弯矩图绘制的步骤：同轴力图。1、建立直角坐标系，2、取比例尺，3、按坐标的正负规定画出剪力图和弯矩图。xFsxM第五章弯曲内力20八、利用剪力方程弯矩方程画出剪力图和弯矩图步骤：1、利用静力方程确定支座反力。2、根据荷载分段列出剪力方程、弯矩方程。3、根据剪力方程、弯矩方程判断剪力图、弯矩图的形状描点绘出剪力图、弯矩图。4、确定最大的剪力值、弯矩值。第五章弯曲内力21Fs(x)xM(x)xF–FL解：①求支反力②写出内力方程③根据方程画内力图FAYMA[例]求下列图示梁的内力方程并画出内力图。FABLX第五章弯曲内力22解：1、支反力（省略）LqABx2、写出内力方程3、根据方程画内力图Fs(x)xM(x)x–qL第五章弯曲内力23CFalABbFAYFBYX1X2解：1、支反力2、写出内力方程AC段：BC段：3、根据方程画内力图M(x)xFs(x)x第五章弯曲内力24Fs(x)xCFalABb讨论——C截面剪力图的突变值。集中力作用点处剪力图有突变，突变值的大小等于集中力的大小。（集中力F实际是作用在△X微段上）。集中力偶作用点处弯矩图有突变，突变值的大小等于集中力偶的大小。△X第五章弯曲内力25mABCL/2L/2FAYFBY解：1、支反力2、写出内力方程3、根据方程画内力图M(x)xFs(x)xm/Lm/2m/2x1x2第五章弯曲内力26解：1、支反力2、写出内力方程1kN/m2kNABCD1m1m2mx1x3x2FAYFBY第五章弯曲内力273、根据方程画内力图1kN/m2kNABCDFAYFBYM(x)xFs(x)x2kN2kN2kN、m2kN、m第五章弯曲内力28解：①求支反力②内力方程③根据方程画内力图Fs(x)xq0LFAYFBYM(x)xxqx第五章弯曲内力29§5—3剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用一、剪力、弯矩与分布荷载间的关系1、支反力：LqFAYFBY2、内力方程3、讨论：x第五章弯曲内力30对dx

段进行平衡分析，有：dxxq(x)q(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs(x)Fs(x)M(x)dxAy剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。第五章弯曲内力31q(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs(x)Fs(x)M(x)dxAy弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。第五章弯曲内力32二、微分关系的应用2、分布力q(x)=常数时——剪力图为一条斜直线；弯矩图为一条二次曲线。1、分布力q(x)=0时——剪力图为一条水平线；

弯矩图为一条斜直线。Fs图：M图：（1）当分布力的方向向上时——剪力图为斜向上的斜直线；弯矩图为上凹的二次曲线。Fs图：M图：M(x)第五章弯曲内力334、集中力偶处——剪力图无变化；弯矩图有突变，突变值的大小等于集中力偶的大小。5、弯矩极值处——剪力为零的截面、集中力作用的截面、

集中力偶作用的截面。3、集中力处——剪力图有突变，突变值等于集中力的大小；弯矩图有折角。（2）当分布力的方向向下时——剪力图为斜向下的斜直线；弯矩图为下凹的二次曲线。Fs图：M图：M(x)第五章弯曲内力34外力无分布荷载段均布载荷段集中力集中力偶q=0q>0q<0Fs图特征M图特征CFCm水平直线xFsFs>0FsFs<0x斜直线增函数xFsxFs降函数xFsCFs1Fs2Fs1–Fs2=F自左向右突变xFsC无变化斜直线Mx增函数xM降函数曲线xM盆状坟状xM自左向右折角

自左向右突变xM折向与F同向三、剪力、弯矩与分布力之间关系的应用图M与m同

xM1M2第五章弯曲内力35[例]

用简易作图法画下列各图示梁的内力图。控制点:端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。四、简易法作内力图法（利用微分规律）:利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。基本步骤：1、确定支座反力；

2、利用微分规律判断梁各段内力图的形状；

3、确定控制点内力的数值大小及正负；

4、描点画内力图。第五章弯曲内力36左端点：剪力图有突变，突变值等于集中力的大小。右端点：弯矩图有突变，突变值等于集中力的大小。qa2qa–xMaaqaqA解：1、确定支反力（可省略）左侧段：剪力图为一条水平线；弯矩图为一条斜直线右侧段：剪力图为斜向上的斜直线；弯矩图为上凹的二次曲线。2、画内力图FymFsxFs第五章弯曲内力37Fs(x)x2kN2kN解：1、支反力2、画内力图AC段：剪力图为一条水平线；弯矩图为一条斜直线BD段：剪力图为斜向下的斜直线；弯矩图为下凹的二次曲线。CD段：剪力图为零；弯矩图为一条水平线。A、C、B截面剪力图有突变；突变值的大小为其集中力的值。1kN/mABCD2kN2m1m1mFAYFBYM(x)x2kN、m2kN、m第五章弯曲内力381m4m10kN/m20kN40kN、mCBA解：1、支反力FAYFBY2、画内力图CA段：剪力图为一条水平线；弯矩图为一条斜直线AB段：剪力图为斜向下的斜直线；弯矩图为下凹的二次曲线。C、A、B截面剪力图有突变；大小为其集中力的值。A截面弯矩图有突变；大小为其集中力偶的值。Q=0处M有极值201525Fs(x)x（kN）M(x)xkNm202.5m31.2520第五章弯曲内力39解：求支反力左端点A：B点左：B点右：C点左：M的驻点：C点右：右端点D：Fsxqa/2–qa/2–qa/2+qa2qaABCDxM3qa2/8qqa2/2qa2/2qa2/2FAYFDYaaa第五章弯曲内力40§5—4按叠加原理作弯矩图二、叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。一、前提条件：小变形、梁的跨长改变忽略不计；所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。三、步骤：1、梁上的几个荷载分解为单独的荷载作用；

2、分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；

3、将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。第五章弯曲内力41[例]按叠加原理作弯矩图(AB=L，力F作用在梁AB的中点处）。qFABFq=+AABBxM2+xM=xM1第五章弯曲内力42四、对称性与反对称性的应用：

对称结构在对称载荷作用下——

Fs图反对称，M图对称；

对称结构在反对称载荷作用下——

Fs图对称，M图反对称。第五章弯曲内力43[例7]作下列图示梁的内力图。FLFFLLLLLLL0.5F0.5F0.5F0.5FF0FsxFs1xFs2x–0.5F0.5F0.5F–+–F第五章弯曲内力44F0.5FFLL0.5FFLLL0.5F0.5FFLLLF0M2x0.5FL0.5FLM1x0.5FLMxFL第五章弯曲内力45[例]绘制下列图示梁的弯矩图。2FaaF=2FF+M1x=2FaxM2+2FaxMFa第五章弯曲内力46qq=++xM23qa2/2xM1=qa2/2aaqqxMqa2第五章弯曲内力47FL/2L/2FL/2xMFL/2xM2+FL/2=FL/4xM1=+FFL/2第五章弯曲内力4850kNaa20kNm20kNm=+50kN20kNm20kNmxM2+50kNm=20kNmxM1Mx20kNm30kNm20kNm第五章弯曲内力49§5—5平面刚架和曲杆的内力图一、平面刚架平面刚架：轴线由同一平面折线组成的刚架。

特点：刚架各杆的内力有：Fs、M、FN。1、刚架：由刚性节点联成的框架2、节点：两杆之间的交点。3、刚性节点：两杆之间联接处的夹角不变的节点（联接处不能有转动）。用填角表示，以与铰支节点区别。4、框架：由许多杆组成的，其轴线是由几段折线组成的结构。第五章弯曲内力50二、平面刚架内力图规定：

弯矩图：画在各杆的受压一侧，不注明正、负号。

剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。三、平面曲杆：轴线为一条平面曲线的杆件。

四、平面曲杆内力图规定：

弯矩图：使轴线曲率增加的弯矩规定为正值；反之为负值。要求画在曲杆轴线的法线方向，且在曲杆受压的一侧。剪力图及轴力图：与平面刚架相同。第五章弯曲内力51[例]试作图示刚架的内力图。F1F2alABC–FN

图F2+Fs图F1+F1aM图F1a+F2lF1F1a第五章弯曲内力52[例]已知：如图所示，F及R

。试绘制Fs、M、FN

图。OFRqmmx解：建立极坐标，O为极点，OB

极轴，q表示截面m–m的位置。ABF1FF2第五章弯曲内力53ABOM图OO+Fs图FN图2FRFF–+qmmxOFRABF第五章弯曲内力54[例]改内力图之错。a2aaqqa2ABFsxxM––+qa/4qa/43qa/47qa/4qa2/45qa2/43qa2/249qa2/32FAyFBy第五章弯曲内力55[例]已知Fs图，求外荷载及M图（梁上无集中力偶）。Fs(kN)x1m1m2m2315kN1kNq=2kN/m+–+q=2kN/mM(kN·m)x111.25第五章弯曲内力56弯曲内力小结一、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。二、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过弯曲中心）。变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。三、弯曲内力的确定1、内力的正负规定:第五章弯曲内力57（1）、截面法——截开；代替；平衡。①剪力Fs:在保留段内任取一点，如果剪力的方向对其点之矩为

顺时针的，则此剪力规定为正值，反之为负值。②弯矩M：使梁微段变成上凹下凸形状的为正弯矩；反之为负值。2、内力的计算：注意的问题a、在截开面上设正的内力方向。b、在截开前不能将外力平移或简化。（2）、简易法求内力：Fs=∑Fi（一侧），M=∑mi。（一侧）。左上右下剪力为正，左顺右逆弯矩为正。重点第五章弯曲内力58四、剪力方程、弯矩方程：

Fs=Fs(x）———剪力方程

M=M(x)———弯矩方程

注意：不能用一个函数表达的要分段，分段点为集中力作用点、集中力偶作用点、分布力的起点、终点。五、剪力、弯矩与分布荷载间的微分关系六、微分关系的应用1、分布力q(x)=0时——剪力图为一条水平线；

弯矩图为一条斜直线。2、分布力q(x)=常数时——剪力图为一条斜直线；

弯矩图为一条二次曲线。难点重点第五章弯曲内力59（1）当分布力的方向向上时——剪力图为斜向上的斜直线；弯矩图为上凹的二次曲线。3、集中力处——剪力图有突变，突变值等于集中力的大小；弯矩图有折角。（2）当分布力的方向向下时——剪力图为斜向下的斜直线；弯矩图为下凹的二次曲线。Fs图：M图：M(x)Fs图：M图：M(x)第五章弯曲内力60七、剪力图和弯矩图：1、利用方程画剪力图和弯矩图——步骤：（1）、利用静力方程确定支座反力。（2）、根据荷载分段列出剪力方程、弯矩方程。（3）、根据剪力方程、弯矩方程判断剪力图、弯矩图的