基于地基特性的连续梁地震响应分析

基于地基特性的连续梁地震响应分析

0研究桥梁地震力的合理取值近年来，桥梁承载能力的评价一直是土木工程行业研究的重点之一。20世纪修建的大量桥梁在各种因素的作用下,桥梁的使用性能,特别是桥梁的动力性能随着结构刚度的下降、地质的变迁发生了较大的变化,而对现有桥梁抗震能力进行评估的研究则很少见。在桥梁设计时,现有规范用反应谱法对桥墩的地震力做了较为详细的规定,但对位于弹性地基上的连续梁却没有详细的规定,而将梁和墩分开计算或认为墩底固结,这将会产生较大的误差。文献对计入弹性基础效应的钢筋混凝土桥梁结构进行塑性倒塌分析;文献对弹性地基上连续梁横桥向进行了动力分析;文献研究了影响连续梁纵向地震碰撞的因素;文献则对多跨简支梁桥的顺桥向地震力进行了分析,得到了一些重要的结论。这些研究成果对于研究桥梁地震力的合理取值并指导生产实践,具有重要的参考价值。本文根据弹性地基上连续梁的变形特点,采用半解析法,将桥墩的一阶振型分解为桥墩的弹性变形与基础转动和平动产生的刚体位移之和,将梁和墩整体考虑,由拉格朗日方程建立全桥的地震振动方程,应用振型分解法求解微分方程组,并通过反应谱理论求得地震力。1联上部结构总质量及参数在地震作用下,单个桥墩变形如图1所示。对一联均采用弹性支座沿顺桥向振动的连续梁,可采用如图2的简化模式。图中:Mbi为第i跨梁体的质量(i=1,…,n+1);MB为一联上部结构总质量(ΜB=n+1∑i=1Μbi)(MB=∑i=1n+1Mbi);Msi为盖梁的质量(i=1,…,n);Mfi为承台的质量(i=1,…,n);mpi为桥墩单位长度的质量(i=1,…,n);E为桥墩的弹性模量;Ipi为桥墩的抗弯惯矩(i=1,…,n),对非等截面墩,可采用换算刚度;hi为桥墩的高度(从地面一般冲刷线算起,i=1,…,n);ki为弹性支座的水平剪切刚度(i=0,1,…,n);xi(zi,t)为桥墩相对地面的广义位移;u(t)为上部结构相对地面的水平位移;δg(t)为地面位移。1.1基本假设(1)忽略阻尼影响。(2)桥台为无限刚性体。(3)梁在顺桥向为一刚体,且只发生平动,没有转动位移。(4)不计行波效应。1.2民桥低阶振动的基本方程,即有以下几个条件系统动能T为Τ=n∑i=112∫hi0mpi(˙xi+˙δg)2dzi+n∑i=1Μsi(˙xi+˙δg)2|zi=hi+n∑i=112Μfi(˙xi+˙δg)2|zi=0+12ΜB(˙u+˙δg)2(1)T=∑i=1n12∫hi0mpi(x˙i+δ˙g)2dzi+∑i=1nMsi(x˙i+δ˙g)2∣∣∣zi=hi+∑i=1n12Mfi(x˙i+δ˙g)2∣∣∣zi=0+12MB(u˙+δ˙g)2(1)系统势能V为V=n∑i=112∫hi0EΙpi(x″i)2dzi+n∑i=112ki(xi-u)2|zi=hi+12k0u2+12knu2+n∑i=112[xix′i]⋅[ΚQQiΚQΜiΚQΜiΚΜΜi][xixi′]|zi=0-12⋅n∑i=1∫hi0(Μsi+Μbi+Μbi+12)gx′2idzi(2)式中:[ΚQQiΚQΜiΚQΜiΚΜΜi]=[δQQiδQΜiδQΜiδΜΜi]为弹性地基的刚度矩阵;KQQi、KQMi、KMMi均为刚度系数;δQQi、δQMi、δMMi均为桥基处的地基系数;xi、δg、u分别为xi(zi,t)、δg(t)、u(t)的简写;˙xi、˙δg、˙u分别为对应函数对时间的导数;x′i为对应函数对zi的导数;zi为位移变量;其余依次类推;g为重力加速度。一般来讲,全桥低阶振动主要是桥墩的一阶弯曲振动,于是设xi(zi,t)=φi(zi)qi(t),u(t)=p(t),φi(zi)为第i个桥墩的振型函数。其中,qi(t)、p(t)分别为桥墩和上部结构的广义自由度。则式(1)、式(2)变为Τ=n∑i=112∫hi0mpi[φi(zi)˙qi+˙δg]2dzi+n∑i=112Μsi⋅[φi(hi)˙qi+˙δg]2+n∑i=112Μfi[φi(0)˙qi+˙δg]2+12ΜB(˙p+˙δg)2(3)V=n∑i=112∫hi0EΙpi[φ″i(zi)]2q2idzi+12k0p2+n∑i=112ki[φi(hi)qi-p]2+12knp2+n∑i=112⋅[φi(0)φ′i(0)][ΚQQiΚQΜiΚQΜiΚΜΜi][φi(0)φ′i(0)]q2i-n∑i=112∫hi0(Μsi+Μbi+1+Μbi2)gφ′2i(zi)q2idzi(4)不计阻尼,由拉格朗日方程ddt(∂Τ∂˙qi)+∂V∂qi-∂Τ∂qi=0可得Μei¨qi+Κeiqi-kipφi(hi)=-Γei¨δg(i=1,2,⋯,n)ΜB¨p+n∑i=0kip-n-1∑i=1kiqiφi(hi)=-ΜB¨δg}(5)式中:Mei=∫hi0mpiφ2i(zi)dzi+Msiφ2i(hi)+Mfiφ2i(0);Κei=∫hi0EΙpi[φ″i(zi)]2dzi+kiφ2i(hi)+ΚQQiφ2i(0)+2ΚQΜiφi(0)φ′i(0)+ΚΜΜi[φ′i(0)]2-∫hi0(Μsi+Μbi+1+Μbi2)gφ′2i(zi)dzi;qi、p分别为qi(t)、p(t)的简写;˙qi、¨qi、˙p、¨p为对应函数对时间的导数;φ′i(hi)、φ″i(hi)为函数的导数。Γei=∫hi0mpiφi(zi)dzi+Msiφi(hi)+Mfiφi(0)(6)式(5)就是连续梁桥顺桥向的地震振动方程,写成矩阵形式Μ¨δ+kδ=-Γ¨δg(7)其中:Μ=[Μe1Μe2⋱Μei⋱Μen-1ΜB](8)Κ=[Κe1-k1φ1(h1)⋮⋮Κen-1-kn-1φn-1(hn-1)-k1φ1(h1)-kn-1φn-1(hn-1)n∑i=0ki](9)δ=[q1q2…qn-1p]T(10)Γ=[Γe1Γe2…Γen-1MB]T(11)相应的齐次微分方程为Μ¨δ+Κδ=0(12)求解式(12)可得n个广义特征向量φi和n个特征值λi(i=1,2,…,n)。令λi=ω2i(i=1,…,n),可得频率ωi,依次按从小到大顺序排列ω1,ω2,…,ωn,即为第一阶频率(或基频),第二阶频率,…,第n阶频率,其对应的特征向量就是振型列向量φi。将式(12)左乘φTi,并利用振型正交性可得第i阶振型参与系数γi为γi=φΤiΓφΤiΜφi(13)由弹性反应谱理论可得结构体系各构件的地震力Fij为Fij=ciczkHβiγiφijGj(14)式中:i为振型编号;j为构件编号;ci、cz、kH、βi、Gj分别为重要性系数、综合系数、水平地震系数、动力放大系数和构件重力。1.3基本振型函数位于弹性地基基础上的桥墩,当单位集中力作用在墩顶时,桥墩的变形可以分为3部分:由于桥墩弹性变形发生的位移;由于基础转动引起的位移;由于基础平动引起的位移。它们引起的墩顶水平位移分别为y1i、y2i、y3i(称为综合动力系数),有y1i=h3i3EΙpi(15)y2i=h2iδMMi+hiδQMi(16)y3i=δQQi+hiδQMi(17)则桥墩的基本振型函数为φi(zi)=1αi[3y1ih3i(hi2z2i-z3i6)+y2izihi+y3i](18)式中:αi=y1i+y2i+y3i。将式(18)代入式(6),可得顺桥向连续梁振动方程中各等效参数为Μei=1α2impihi(33140y21i+y22i3+y23i+1120y1iy2i+34y1iy3i+y2iy3i)+Μsi+1α2iΜfiy23i(19)Κei=1αi+ki-1α2ihi(Μsi+ΜB3)g⋅(65y21i+y22i+2y1iy2i)(20)Γei=1αimpihi(3y1i8+y2i2+y3i)+Μsi+1αiΜfiy3ii=1,…,n(21)如果测得结构的综合动力系数y1i、y2i和y3i,并结合现有的结构参数,则式(19)～式(21)就可以解出。2模型试验结果某室内三跨等截面连续梁模型桥,采用等高双柱式桥墩、刚性桥台基础、橡胶支座,MB=123.27kg,Msi=18.25kg,Mfi=46.67kg,mpi=2.867kg/m,EIpi=3.1×104(N·m2),hi=0.9m,ki=1.4×105N/m,实测y11=0.7259×10-5m/N,y21=0.5289×10-5m/N,y31=0.1144×10-5m/N,y12=0.7734×10-5m/N,y22=0.547×10-5m/N,y32=0.1186×10-5m/N。模型试验见图3。按本文方法计算的频率值和频率试验值对比见表3。由表1可知,试验误差在8%以内,说明试验结果是可信的。3系数的近似计算(1)根据动力学原理,利用拉格朗日方程推导了包含地基参数的连续