多元统计分析方法课件

第二讲主要预备知识线性代数中的有关概念、定理数理统计中的有关概念、定理

第一节线性代数中的有关概念、定理

矩阵的概念方程组求解二次型特征值与特征向量

一、矩阵的概念矩阵的定义以及计算矩阵的定义：n*m阶矩阵、n阶方阵、列向量、行向量、对角阵、对角线元素、非对角线元素、单位矩阵、转置矩阵、对称矩阵、三角阵、上三角阵、下三角阵矩阵运算：矩阵的加法、常数与矩阵的积、矩阵的乘法、矩阵的运算规律矩阵的行列式：行列式的定义行列式的性质逆矩阵定义、矩阵可逆的充要条件、逆矩阵的性质*矩阵的迹、矩阵的秩：定义、性质正交矩阵与正交变换正交矩阵定义、性质；正交变换分块矩阵分块矩阵定义、利用分块矩阵求逆二、方程组求解非奇次线性方程组有解的充要条件系数矩阵与其增广系数矩阵同秩解法１：消元法解法２：求解求逆并行变换法解法３：求解求逆紧凑变换法高斯-约当消去法原理：是把增广系数矩阵中的系数矩阵变换成单位矩阵，直接求解方程组的解。步骤：第一步：先在增广系数矩阵中找出主元――绝对值最大的元素，并用主元除它所在行的所有元素（包括常数项），使主元化为１；第二步：消去主元所在列的其余各元素，完成第一步消元。第三步：在剩下的其它各行中再挑选主元，继续进行与第一步、第二步同样的消去过程。余此类推。求解求逆并行变换法求解求逆紧凑变换法举例三、二次型

二次型的矩阵表达式正定二次型以及正定矩阵正定矩阵和非负定矩阵的性质二次型的矩阵表达式四、特征值与特征向量

特征值、特征向量的定义

特征值的性质

实对称矩阵特征值的求解方法－雅可比法特征值、特征向量的定义特征值的性质实对称矩阵特征值的求解方法－－雅可比法第二节数理统计中的有关概念、定理

总体与样本总体样本、样本均值、样本方差

参数估计

假设检验

几种常用分布的关系总体与样本总体所有调查研究的事物或现象的全体叫总体。反映总体数量特征的是总体统计指标，如总体均值，总体方差等。总体可划分为有限总体和无限总体。样本在总体中抽取出来的一部分个体的集合称为样本。反映样本数量特征的指标称为样本指标，如样本均值、样本方差等，样本指标的用途在于推断总体指标。参数估计假设检验：检验某种假设是否成立

几种常用分布的关系第六讲因子分析

因子分析的原理与模型

因子分析的计算步骤及应用实例第一节因子分析的原理与模型什么叫因子分析因子分析的模型因子分析的统计意义因子载荷矩阵的估计方法因子旋转因子得分什么叫因子分析

定义解释因子分析是主成分分析的推广和发展，它是把具有复杂关系的多个变量（或样品）综合为少数几个因子，并给出原始变量与综合因子之间的相关关系的多元统计分析方法种类R型因子分析（对变量进行因子分析）Q型因子分析（对样品进行因子分析）应用意义应用范围应用类型因子分析的模型基本思想数学模型主成分分析与因子分析的区别主成分分析是一种数学变换（正交变换）不能称为一种数学模型；而因子分析需要构造数学模型。主成分的个数与原始数据个数相等，是把原始变量变换成为相互独立的新的变量；而因子个数一般要求小于原始数据个数，目的在于得到一个结构简单的因子模型。表示的形式不同。因子分析的统计意义假定因子模型中，各个变量、公共因子、特殊因子都已经进行了标准化处理因子载荷矩阵的统计意义变量共同度的统计意义公因子方差贡献的统计意义因子载荷矩阵的估计方法方法一：主成分方法方法二：根据定义进行因子旋转含义：因子旋转是根据因子载荷矩阵的不唯一性，用一个正交矩阵右乘因子载荷矩阵，实行旋转（由线性代数，一次正交变换，对应坐标系的一次旋转），使旋转后的因子载荷矩阵结构简化，以便对公共因子进行合理的解释。所谓结构简化就是使得每个变量仅在一个公共因子上有较大的载荷，而在其他的公共因子上的载荷比较小。常用的方法有：正交旋转、斜交旋转等。最常用的是方差最大正交旋转。

方差最大正交旋转方差最大正交旋转：是使因子载荷矩阵中，各因子载荷值的总方差达到最大作为因子载荷矩阵结构简化的准则。其中。总方差最大，而不是某个因子方差极大。即如果第个变量在第个公共因子上的载荷经过“方差极大”旋转后，其值增大或减少，意味着这个变量在另一些公共因子上的载荷要缩小或增大。所以“方差极大”旋转是使载荷值按照列向0，1两极分化，同时也包含着按行向两极分化。因子得分第二节

因子分析的计算步骤及应用实例计算步骤第一步：数据标准化第二步：计算相关系数矩阵第三步：计算相关系数矩阵的特征值以及特征向量第四步：确定综合因子数以及因子结构和因子模型综合因子数的确定：依据定义依据贡献比例第五步：计算因子得分应用实例第七讲

聚类分析聚类分析概述距离与相似系数系统聚类分析方法系统聚类分析应用举例第一节聚类分析概述多元统计分析中的分类方法聚类分析的涵义聚类分析方法多元统计分析中的分类方法一类：研究对象存在事先分类情况下，判断某个未知样品的归类一类：研究对象不存在事先分类情况下，进行数据结构的分类聚类分析的涵义是一种将样品或变量，按照它们在性质上的亲疏程度进行分类的多元统计分析方法。描述亲疏程度的途径：计算多维空间上点的距离；计算相似系数或相关系数

聚类分析方法按照聚类方法的不同系统聚类分析法动态聚类分析法模糊聚类分析法图论聚类分析法聚类预报法按照分类对象划分系统聚类分析法是在样品距离的基础上定义类与类的距离，首先将个样品自成一类，然后每次将具有最小距离的两个类合并，合并后再重新计算类与类之间的距离，再并类，这个过程一直持续到所有的样品都归为一类为止。这种聚类方法称为系统聚类法。根据并类过程所做的样品并类过程图称为聚类谱系图。动态聚类分析法模糊聚类分析法利用模糊集理论来处理分类问题的聚类方法图论聚类分析法利用图论中最小支撑树的概念来处理分类问题的聚类方法聚类预报法利用聚类分析来处理预报问题的方法。可以弥补回归分析和判别分析的不足。聚类分析方法

Q型聚类分析法

R型聚类分析法Q型聚类分析法特征：对样品进行的分类处理。作用：①能够综合利用多个变量对样品进行分类；②分类结果直观，聚类谱系图清晰;③聚类结果细致、全面、合理。R型聚类分析法第二节距离与相似系数变量类型数据变换处理距离

相似系数距离以及相似系数的选择原则变量类型名义特性：变量值是用一些类来表示的，类与类之间没有等级关系，如性别，职业等；顺序特性：变量值是用有序等级来表示的。如优秀、良好、中、及格、不及格等；数值特性：变量值是用连续的量来度量的。如长度、重量、压力等。对于不同类型的变量在定义距离相似测度时有很大的差异。这里主要研究的是具有数值特性的变量的聚类分析方法。数据变换处理原因：实际应用所使用的样本资料中，由于不同的变量具有不同的计量单位（或量纲），并且具有不同的数量级，为了使具有不同计量单位和数量级的数据能够放在一起进行比较分析，通常都要对数据进行变换处理。涵义：所谓数据变换，就是将原始数据矩阵中的各个变量值，按照某种特定的运算把它变换成为一个新值，而且数值的变换不依赖于原始数据中其他变量的新值。方法：中心化变换规格化变换（极差正规化）标准化变换对数变换其他方法中心化变换方法规格化变换（极差正规化）标准化变换对数变换其他方法极差标准化。把每个变量的样本极差皆化为1。立方根变换。把非线性数据结构变为线性结构。平方根变换。把非线性数据结构变为线性结构。距离距离的条件常用距离１、明氏距离２、欧氏距离３、绝对值距离４、切比雪夫距离５、兰氏距离以上距离一个共同的特点是，均没有考虑相关性。６、马氏距离７、其他距离距离的条件明氏距离（明科夫斯基）欧氏距离绝对值距离切比雪夫距离兰氏距离马氏距离其他距离斜交空间距离链距离相似系数相似系数的定义常用相似系数夹角余弦相关系数指数相似系数非参数方法相似系数的定义夹角余弦相关系数指数相似系数非参数方法距离以及相似系数的选择原则对于同一数据资料，进行聚类分析时，选择的不同的距离公式或者不同的相似系数，聚类结果是不一样的。因为不同的距离公式或者不同的相似系数所反映的样品或指标的亲疏程度的意义是不同，因此，在运用中应该根据不同的实际情况，选择不同距离或相似系数。实际意义原则数据性质原则实际意义原则即所选择的距离或者相似系数应该具有明确的实际意义。比如经济指标之间的相关应该是具有现实的经济联系的。数据性质原则根据原始数据的各自特点，选择不同的数据变换，再根据不同的数据变换选择不同的距离或者相似系数。１、若数据进行了标准化，则相关系数与夹角余弦是一致。２、若聚类分析前已经对变量的相关性作了处理，则通常采用欧氏距离，而不必选用斜交空间距离。３、所选距离应与所选聚类分析方法一致（１）若聚类方法为离差平方和法时，距离只能选用欧氏距离；（２）工作量大小原则。斜交空间距离的计算量一般很大。总之，在一般情况下，有以下的经验可以借鉴。相关系数的稳定性要强于相似系数，而分辨力却弱于相似系数；使用距离和使用相似系数进行聚类的结果对比，相似系数的计算数值由大到小单调地减少，所以聚类谱系图能够比较明显地反映分群的情况，而使用距离的数据有时呈现非单调性增加，聚类谱系图反映的分群情况就不够明显。第三节系统聚类分析方法系统聚类分析的涵义及步骤系统聚类方法系统聚类分析方法的统一公式剩余信息的剔除谱系分类的确定系统聚类分析方法的性质系统聚类分析的涵义及步骤涵义：是在样品距离的基础上，定义类与类之间的距离，首先将几个样品自成一类，然后每次将具有最小距离的两类合并，合并后重新计算类与类之间的距离，这个过程一直继续到所有样品归为一类为止。把这个过程作成一个聚类谱系图。这种方法即系统聚类。系统聚类分析的涵义及步骤基本思想：是把样品看成m维（m个指标）空间的点，而把每个变量看成m维空间的坐标轴。基本方法：是将ｎ个样品自成一类，先计算１/２ｎ（ｎ－１）个相似性测度或距离，并且把具有最小测度的两个样品合并成两个元素的类，然后按照某种聚类方法计算这个类和其余ｎ－２个样品之间的距离，这样一直持续下去，并类过程中，每一步所做的并类（样品与样品，样品与类、类与类）都要使测度在系统中保持最小，每次减少一类，直到所有样品都归为一类为止。系统聚类分析的涵义及步骤具体步骤：数据变换处理；计算各样品之间的距离，并将距离最近的两个样品并成一类；选择并计算类与类之间的距离，并将距离最近的两类合并，如果类的个数大于１，则继续并类直到所有样品归为一类；绘制系统聚类谱系图，按不同的分类标准或不同的分类原则得出不同的分类结果。系统聚类方法进行聚类分析时，由于对类与类之间的距离的定义和理解不同，并类的过程中又会产生不同的聚类方法。常用的系统聚类方法有8种。最短距离法最长距离法中间距离法重心法类平均法可变类平均法可变法离差平方和法常用聚类分析方法最短距离法涵义步骤最长距离法中间距离法重心法类平均法可变类平均法可变法离差平方和法离差平方和法系统聚类分析方法的统一公式出发点：上述聚类方法的并类原则和步骤是完全一样的，所不同的是类与类之间的距离公式有不同的定义，从而得到不同的递推公式。1969年维希特提出了统一的公式，这为编制统一的计算机程序提供了极大的方便性。剩余信息的剔除进行Ｑ型聚类分析时，必须选择恰当的反映样本的变量，选择对聚类效果较为显著的变量，剔除对聚类分析效果影响较小的变量。２、原则：对所研究问题密切相关的变量具有较强分辨能力的变量３、方法人为地挑选变量先用Ｒ型聚类分析挑选主要变量，然后再进行Ｑ型聚类分析。先进行主成分分析挑选主要变量，然后再进行Ｑ型聚类分析。用判别分析检验变量的分辨能力。谱系分类的确定如何运用恰当地“类”的概念，把所进行的聚类分析进行解释，把样品或变量进行分类。系统聚类分析方法的性质空间守恒空间扩张空间收缩并类距离的单调性第三讲多元正态分布及其参数估计、假设检验

多元分布概述

多元正态分布第一节多元分布概述多元变量--随机向量多元分布函数多元分布密度多元变量的边缘密度、独立性与条件分布多元变量的数字特征多元变量--随机向量

多元分布是一元分布的推广，一元分布用于描述一元变量的特征，多元分布则用于描述多元变量的特征。

多元分布函数

多元分布密度

多元变量的边缘密度、独立性与条件分布多元变量的数字特征

第二节多元正态分布多元正态分布密度函数多元正态分布的数字特征多元正态分布的性质多元正态分布的参数估计多元正态总体均值向量和协方差阵的假设检验

多元正态分布密度函数多元正态分布的数字特征

多元正态分布的性质

多元正态分布的参数估计

多元正态总体均值向量和协方差阵的假设检验均值向量和协方差阵的假设检验时常用的统计分布均值向量的假设检验协方差阵已知时的均值向量的假设检验协方差阵未知时的均值向量的假设检验协方差阵相等时，两个正态总体均值向量的检验协方差阵不相等时，两个正态总体均值向量的检验协方差阵检验多个协差阵相等的检验均值向量和协方差阵的假设检验时常用的统计分布均值向量的假设检验协方差阵相等时，两个正态总体均值向量的检验

协方差阵不相等时，两个正态总体均值向量的检验协方差阵检验多个协差阵相等的检验第四讲

多元回归分析多元线性回归分析逐步回归分析定性指标的相关分析多对多的回归分析第一节多元线性回归分析

回归分析概论回归分析的功能及涵义回归分析的研究思路和步骤回归分析的内容体系多元线性回归模型模型中参数β的估计回归方程以及回归系数的显著性检验回归模型的变量子集合的选择（回归变量的选择）回归分析概论回归分析的功能及涵义回归分析是研究一个变量（即应变量）（或多个变量）对于一个或多个其他变量（即解释变量）的依存关系，并用数学模型加以模拟，目的在于根据已知的或在多次重复抽样中固定的解释变量之值，估计、预测因变量的总体平均值。一般地，把在研究回归模型时所采用的估计、计算方法，检验、分析理论统称为回归分析。回归分析方法又称因素分析方法、经济计量模型方法。属于多元统计分析方法之一。回归分析的研究思路和步骤根据研究问题的性质、要求建立回归模型。根据样本观测值对回归模型参数进行估计，求得回归方程。对回归方程、参数估计值进行显著性检验。并从影响因变量的自变量中判断哪些显著，哪些不显著。利用回归方程进行预测。回归分析的内容体系按照回归分析研究的变量多少以及设定的模型的不同，回归分析方法的内容体系大体包括：回归分析一元回归分析一元线性回归分析一元非线性回归分析多元回归分析多元线性回归分析多元逐步回归分析多元岭回归分析多对多回归分析多元非线性回归分析

多元线性回归模型模型中参数β的估计中心化回归系数的估计

标准化回归系数的估计

回归方程以及回归系数的显著性检验回归模型的变量子集合的选择（回归变量的选择）

第二节逐步回归分析逐步回归分析的原理引入或剔除变量的依据逐步回归方程的矩阵变换计算法具体实例以及计算步骤计算机软件应用举例逐步回归分析的原理

“最优”回归方程的选择所谓“最优”的含义：回归方程中包含所有对y影响比较显著的变量，而不包括对y影响不显著的变量的回归方程。必要性：用于预测、控制建立“最优”回归方程的方法从所有可能回归方程（2n－１）中选择最优方程的方法。“逐步剔除法”（原理、局限性）从包含全部因子的回归方程中，逐次剔除不显著因子。计算量大。“逐步引入法”（原理、局限性）从一个因子开始，逐个引入回归方程，因子引入后概不剔除。计算量大，且由于某个因子的引入使变得不显著的其他因子仍然留在方程中。“逐步回归分析法”综合上述（２）（３）两种方法特点，产生的方法。逐步回归分析方法的基本原理逐步回归分析法是一种自动地从大量可供选择的变量中，选择对建立回归方程重要的变量的方法，它是在多元线性回归分析基础上派生的一种算法。原理是在逐个因子选入回归方程的过程中，如果发现先前被引入的因子在其后由于某些因子的引入而失去其重要性时，可以回归方程中随时予以剔除，直到最后被选入的因子对因变量都有显著影响为止。根据原理，需要解决的问题及出路有：一是引入或剔除变量的依据是什么？一是引入或剔除变量后相应的回归系数如何求解？解决前一个问题的依据在于偏回归平方和，具体体现在Ｆ检验上；解决后者的关键在于如何从正规方程中解出回归系数，为此，先将正规方程转化为标准化方程，然后利用“求解求逆紧凑变化法”解标准正规方程，求标准化回归系数，在导出所求回归系数。引入或剔除变量的依据依据是偏回归平方和逐步回归分析