专题13 一次函数的应用（解析版）

专题13一次函数的应用【知识梳理】知识点01数学建模的一般思路数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.知识点02正确认识实际问题的应用在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.【点石成金】要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.知识点03选择最简方案问题分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.【题型探究】题型一待定系数法求解析式1．（2023·全国·统考中考真题）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．

(1)甲组比乙组多挖掘了__________天．(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组己停工的天数．【答案】(1)30；(2)；(3)10天【分析】（1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，据此计算即可；（2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量x的取值范围；（3）先计算甲乙两组每天各挖掘多少千米，再计算乙组挖掘的总长度，设乙组己停工的天数为a，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等列方程计算即可．【详解】（1）解：由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，∴甲组挖掘了60天，乙组挖掘了30天，（天）∴甲组比乙组多挖掘了30天，故答案为：30；（2）解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为，将和两个点代入，可得，解得，∴（3）解：甲组每天挖（千米）甲乙合作每天挖（千米）∴乙组每天挖（千米），乙组挖掘的总长度为（千米）设乙组己停工的天数为a，则，解得，答：乙组己停工的天数为10天．【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键．题型二方案选择问题2．（2023·浙江·统考中考真题）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：

(1)直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；(2)求方案二y关于x的函数表达式；(3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案．【答案】(1)30件；(2)；(3)若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二；若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种；若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一【分析】（1）由图象的交点坐标即可得到解答；（2）由图象可得点，设方案二的函数表达式为，利用待定系数法即可得到方案二y关于x的函数表达式；（3）利用图象的位置关系，结合交点的横坐标即可得到结论．【详解】（1）解：由图象可知交点坐标为，即员工生产30件产品时，两种方案付给的报酬一样多；（2）由图象可得点，设方案二的函数表达式为，把代入上式，得解得∴方案二的函数表达式为．（3）若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二；若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种；若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一．【点睛】此题考查了从函数图像获取信息、一次函数的应用等知识，从函数图象获取正确信息和掌握待定系数法是解题的关键．题型三行程问题3．（2023·山东聊城·统考中考真题）甲乙两地相距a千米，小亮8:00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（

）

A．8:28 B．8:30 C．8:32 D．8:35【答案】A【分析】利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，将两个解析式联立，通过解方程求出交点的横坐标即可．【详解】解：令小亮出发时对应的t值为0，小莹出发时对应的t值为10，则小亮到达乙地时对应的t值为70，小莹到达甲地时对应的t值为40，设小亮对应函数图象的解析式为，将代入解析式得，解得，小亮对应函数图象的解析式为，设小莹对应函数图象的解析式为，将，代入解析式，得，解得，小莹对应函数图象的解析式为，令，得，解得，小亮与小莹相遇的时刻为8:28．故选：A．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，熟练运用数形结合思想．4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

(1)A，B两地之间的距离是______千米，______；(2)求线段所在直线的函数解析式；(3)货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）【答案】(1)60，1；(2)；(3)小时或小时或小时【分析】（1）根据货车从A地到B地花了小时结合路程速度时间即可求出A、B两地的距离；根据货车装货花了15分钟即可求出a的值；（2）利用待定系数法求解即可；（3）分两车从A前往B途中相遇前后和货车从B往A途中相遇前后，四种情况建立方程求解即可．【详解】（1）解：千米，∴A，B两地之间的距离是60千米，∵货车到达B地填装货物耗时15分钟，∴，故答案为：60，1（2）解：设线段所在直线的解析式为将，代入，得解得，∴线段所在直线的函数解析式为（3）解：设货车出发x小时两车相距15千米，由题意得，巡逻车的速度为千米/小时当两车都在前往B地的途中且未相遇时两车相距15千米，则，解得（所去）；当两车都在前往B地的途中且相遇后两车相距15千米，则，解得；∵，∴货车装货过程中两车不可能相距15千米，当货车从B地前往A地途中且两车未相遇时相距15千米，则，解得；当货车从B地前往A地途中且两车相遇后相距15千米，则，解得；综上所述，当货车出发小时或小时或小时时，两车相距15千米．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键．题型四一次函数性质的应用5．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．

(1)求m的值和直线的函数表达式．(2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）把点A的坐标代入直线解析式可求解m，然后设直线的函数解析式为，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式；（2）由（1）及题意易得，，则有，然后根据一次函数的性质可进行求解．【详解】（1）解：把点代入，得．设直线的函数表达式为，把点，代入得，解得，∴直线的函数表达式为．（2）解：∵点在线段上，点在直线上，∴，，∴．∵，∴的值随的增大而减小，∴当时，的最大值为．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．【随堂演练】1．如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数．下表是测得的指距与身高的一组数据：指距d（cm）20212223身高h（cm）160169178187根据上表解决下面这个实际问题：姚明的身高是226厘米，他的指距为（）A．26.8厘米 B．26.9厘米 C．27.5厘米 D．27.3厘米【答案】D【分析】本题需先根据题意求出一次函数的解析式，再把代入即可求出答案．【详解】解：设这个一次函数的解析式是：，，解得：，一次函数的解析式是：，当时，，．故选：．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，在解题时要能根据题意求出一次函数的解析式是本题的关键．2．如图，一次函数与的图象交点的横坐标为3，则下列结论：①；②；③当时，中，正确结论的个数是（）A．0 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】【分析】①由一次函数y1=kx+b的图象过第一、二、四象限，即可得出k＜0，由此即可得出①正确；②由一次函数y2=x+a的图象过第一、三、四象限，即可得出a＜0，由此得出②错误；③根据两一次函数图象的上下位置关系即可得出当x＜3时，y1＞y2，即③正确．综上即可得出结论．【详解】①∵一次函数y1=kx+b的图象过第一、二、四象限，∴k＜0，①正确；②∵一次函数y2=x+a的图象过第一、三、四象限，∴a＜0，②错误；③观察函数图象，发现：当x＜3时，一次函数y1=kx+b的图象在一次函数y2=x+a的图象的上方，∴当x＜3时，y1＞y2，③正确．综上可知：正确的结论为①③．故选：C．【点睛】考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是逐条分析三个选项是否正确．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉一次函数图象与一次函数系数的关系是关键．3．如图所示，购买一种苹果，所付款金额（单元：元）与购买量（单位：千克）之间的函数图像由线段和射线组成，则一次购买千克这种苹果，比分五次购买，每次购买千克这种苹果可节省（）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】B【解析】【分析】可由函数图像计算出2千克以内每千克的价钱，超出2千克后每千克的价钱，再分别计算出一次购买千克和分五次购买各自所付款金额.【详解】解：由图像可得2千克以内每千克的价钱为：（元），超出2千克后每千克的价钱为：（元），一次购买千克所付款金额为：（元），分五次购买所付款金额为：（元），可节省（元）.【点睛】本题考查了函数的图像，正确从函数图像获取信息是解题的关键.4．“元旦”期间，老李一家自驾游去了离家320千米的某地，下面是他们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象，当他们离目的地还有20千米时，汽车一共行驶的时间是（）A．1.25小时 B．4小时 C．4.25小时 D．4.75小时【答案】D【分析】根据待定系数法，可得一次函数解析式，根据函数值，可得相应自变量的值．【详解】解：设AB段的函数解析式是y=kx+b，

y=kx+b的图象过A（3，160），B（5，320），解得，∴AB段函数的解析式是y=80x-80，

离目的地还有20千米时，即y=320-20=300km，

当y=300时，80x-80=300

解得：x=4.75h，

故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的应用，利用了待定系数法求解析式，利用函数值求自变量的值．5．在全民健身越野赛中，甲乙两选手的行程y（千米）随时间（时）变化的图象（全程）如图所示．有下列说法：①前半小时甲选手的速度为8千米/时；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④甲选手的速度一直比乙慢．其中正确的说法有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由图象可得，前半小时甲选手的速度为：8÷0.5＝16（千米/小时），故①错误；第1小时两人都跑了10千米，故②正确；甲比乙晚到达终点，故③错误；甲选手前0.5小时的速度比乙选手快，0.5小时以后的速度小于乙选手的速度，故④错误；故选：A．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．6．一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），若如图中的折线表示y与x之间的函数关系，则下列结论错误的是（）A．甲、乙两地相距1000千米B．点B的实际意义是两车出发后3小时相遇C．普通列车从乙地到达甲地时间是9小时D．动车的速度是250千米/小时【答案】C【分析】根据函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由图象可得，甲、乙两地相距1000千米，故选项A正确；点B的实际意义是两车出发后3小时相遇，故选项B正确；普通列车从乙地到达甲地时间是12小时，故选项C错误；普通列出的速度为1000÷12＝（千米/小时），动车的速度为：1000÷3﹣＝250（千米/小时），故选项D正确；故选：C．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．7．1号探测气球从海拔5m处出发，与此同时2号探测气球从海拔15m处出发，两个气球所在位置的海拔y（单位：m）关于上升时间x（单位：min）的函数关系如图所示，当上升________min时，两球之间的距离是5m．【答案】10或30【分析】根据两点间的距离为5，利用两函数值构造绝对值方程，分类解方程即可【详解】解：∵两球之间的距离是5m，∴，合并得，∴当时，解得，当时，解得，当上升10或30min时，两球之间的距离是5m．故答案为10或30．【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握两球之间的距离利用两函数值之差的绝对值，分类解方程是解题关键．8．某医药研究所开发了一种新药，在检验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药时后血液中含药量最高，达微克/毫升，接着逐步衰减，服药时后血液中含药盘达微克/毫升，每毫升血液中含药盘（微克）随着时间（时）的变化如图所示．（1）当成人按规定剂量服用时，求出时，与之间的函数关系式；（2）如果每毫升血液中含药量为微克或微克以上时，治疗疾病是有效的，那么有效时间有多长?【答案】（1）；（2）6小时【分析】（1）直接根据图象上的点的坐标利用待定系数法求解即可求得答案，当时与成一次函数关系；（2）根据图象可知每毫升血液中含药量为4微克是在两个函数图象上都有，所以把，代入，求得开始到有效所用的时间，由图象可知衰减过程中时的时间，求其差即可求得答案．【详解】解：（1）当时，设，把，代入上式，得：，解得：，时，；（2）当时，设，把代入上式，得，时，，把代入，可得，把代入；解得：，，这个有效时间是6小时．【点睛】本题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力和读图能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解，并会根据图示得出所需要的信息．9．如图，直线与轴交于点，直线经过点、，点的坐标为，且两直线相交于点．（1）求点的坐标；（2）求的面积．

【答案】（1）点的坐标是；（2）【分析】（1）先利用待定系数法求出直线的解析式，再联立，即可求解；（2）先求出点B的坐标，再利用三角形的面积公式，即可求解．【详解】解：（1）设直线的解析式为，∵直线过，，∴，解得：，∴直线的解析式为：，联立方程组得，解得，∴点的坐标是；（2）∵直线与轴交于点，∴令，得，解得：，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查一次函数的图像和性质，掌握一次函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．10．（2023·吉林长春·统考中考真题）甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．(1)当时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；(2)求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．【答案】(1)；(2)【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）求得甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为，联立，即可求解．【详解】（1）解：设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为，将，代入得，，解得：，∴；（2）设甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为将点代入得，解得：，∴；联立解得：∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为米【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．11．在购买某场足球赛门票时，设购买门票为（张），总费用为（元）．现有两种购买方案：方案一：若单位赞助广告费5000元，则该单位所购门票的价格为每张50元；（总费用=广告赞助费+门票费）方案二：购买门票方式如下图所示：解答下列问题：（1）方案一中，y与x的函数关系式为______；方案二中，当时，y与x的函数关系式为______，当时，y与x的函数关系式为______；（2）如果购买本场足球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由．【答案】（1），，．（2）当时，方案一、二均可；当时，选择方案二总费用最省；当时，选择方案一总费用最省【分析】（1）根据题意可直接写出方案一的函数解析式，根据待定系数法求出方案二的函数解析式即可；（2）根据题意，列出关于x的一元一次方程和一元一次不等式，分情况讨论即可．【详解】解：（1）方案一中，y与x的函数关系式为方案二中，当时，设y与x的函数关系式为将（100,8000）代入得，∴当时，y与x的函数关系式为．当时，设y与x的函数关系式为将（100，8000）、（150，11500）代入得∴当时，y与x的函数关系式为．（2）由，得∴当时，方案一、二均可；由，得∴当时，选择方案二总费用最省；由，得．∴当时，选择方案一总费用最省．【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次不等式的实际应用，熟练掌握待定系数法，学会分类讨论思想，是解题的关键．12．（2023·浙江宁波·统考中考真题）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．

(1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值，(2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式，将，代入解析式求出的值即可；（2）先求出军车的速度，然后分别求出军车到达仓库，和从仓库出发到达基地的时间，用总时间减去两段时间即可得解．【详解】（1）解：设大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为，由图象可知，直线过点，∴，解得：，∴；当时：，解得：，∴；（2）由图象可知，军车的速度为：，∴军车到达仓库所用时间为：，从仓库到达基地所用时间为：，∴部队官兵在仓库领取物资所用的时间为．【点睛】本题考查一次函数的实际应用．从函数图象上有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键．【高分突破】1．如图直线l1：y=ax+b，与直线l2：y=mx+n交于点A（1，3），那么不等式ax+b＜mx+n的解集是（）A．x＞3

B．x＜3

C．x＞1

D．x＜1【答案】D【解析】【分析】根据函数图象交点左侧直线y=ax+b图象在直线：y=mx+n图象的下面，即可得出不等式ax+b＜mx+n的解集．【详解】解：∵直线l1：y=ax+b，与直线l2：y=mx+n交于点A（1，3），

∴不等式ax+b＜mx+n的解集是：x＜1．

故选：D．【点睛】本题考查一次函数与不等式，利用数形结合得出不等式的解集是解题的关键．2．如图是邻居张大爷去公园锻炼及原路返回时离家的距离y（千米）与时间t（分钟）之间的函数图象，根据图象信息，下列说法不正确的是（）A．张大爷去时所用的时间多于回家的时间．B．张大爷在公园锻炼了40分钟C．张大爷去是走上坡路，回家时走下坡路D．张大爷去时的速度比回家时的速度慢【答案】B【分析】根据图象可以得到张大爷去时所用的时间和回家所用的时间，在公园锻炼了多少分钟，也可以求出去时的速度和回家的速度，根据可以图象判断去时是否走上坡路，回家时是否走下坡路．【详解】解：根据图像可知：

A、张大爷去时所用的时间为15分钟，回家所用的时间为5分钟，故说法正确；

B、张大爷在公园锻炼了40-15=25分钟，故说法错误；

C、据A张大爷去时走上坡路，回家时走下坡路，故说法正确．

D、张大爷去时用了15分钟，回家时候用了5分钟，因此去时的速度比回家时的速度慢，故说法正确．

故选：B．【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．3．甲、乙两车从城出发匀速行驶至城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①，两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距40千米时，或，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】由函数图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为40，可求得t，可得出答案．【详解】解：由函数图象可知A、B两城市之间的距离为300km，故①正确；设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲＝kt，把（5，300）代入可求得k＝60，∴y甲＝60t，把y＝150代入y甲＝60t，可得：t＝2.5，设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙＝mt+n，把（1，0）和（2.5，150）代入可得：，解得，∴y乙＝100t﹣100，把y＝300代入y乙＝100t﹣100，可得：t＝4，5﹣4＝1，∴乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时，故②正确；令y甲＝y乙可得：60t＝100t﹣100，解得t＝2.5，即甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5，此时距乙车出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，故③错误；令|y甲﹣y乙|＝40，可得|60t﹣100t+100|＝40，即|100﹣40t|＝40，当100﹣40t＝40时，可解得，当100﹣40t＝﹣40时，可解得，又当时，y甲＝40，此时乙还没出发，当时，乙到达B城，y甲＝260；综上可知当t的值为或或或时，两车相距40千米，故④不完全正确；故选：B．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，理解一次函数图象表达的意义，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标是解题的关键．4．甲、乙两车分别从地出发匀速行驶到地，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离与甲车行驶的时间之间的关系如图所示，则下列结论中正确的个数为（）①两地相距；②乙车比甲车晚出发1小时，却比甲车早到1小时；③乙车出发后4小时时追上甲车；④甲，乙两车相距时，或4.5．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】观察图象可判断A、B，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断C，分四种情况讨论，求得t，可判断④，继而解题．【详解】①由图象可知，A、B两城市之间的距离为480km，故①正确；②甲行驶的时间为8小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时6小时，即比甲早到1小时，故②正确；③设甲车离开A城的距离y与t的关系式为，把代入可求得，设乙车离开A城的距离y与t的关系式为，把代入可得解得，令可得：，解得，即甲、乙两直线的交点横坐标为，此时乙出发时间为3小时，即乙车出发3小时后追上甲车，故③不正确；④当时，此时，乙还没出发，又当乙已经到达B城，甲距离B城50km时，，当，可得，即，当时，可解得，当时，可解得，综上可知当t的值为或或或，故④不正确，综上所述，正确的有①②，共2个，故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握一次函数的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，是中考常见考点，难度较易．5．一列慢车从地驶往地，一列快车从地驶往地．两车同时出发，各自抵达目的地后停止，如图所示，折线表示两车之间的距离（km）与慢车行驶时间（h）之间的关系．当快车到达地时，慢车与地的距离为____km．【答案】400【分析】根据题意和函数图象中的数据计算出慢车和快车的速度，进而求得快车到达A地所用的时间，即可求得当快车到达A地时，慢车与地的距离．【详解】解：由图象可知，慢车的速度为1200÷10=120（km∕h），快车的速度为1200÷4﹣120=180（km∕h），快车到达A地所用的时间为1200÷180=（h），此时，慢车与B的距离为1200﹣120×=400（km），故答案为：400．【点睛】本题考查一次函数的应用，理解图象上点表示的具体含义是解答的关键．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，，那么直线BC的表达式是_________．【答案】【分析】根据已知条件得到A（，0），B（0，-1），求得OA=，OB=1，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB=AF，根据全等三角形的性质得到AE=OB=1，EF=OA=，求得F的坐标，设直线BC的函数表达式为：y=kx+b，解方程组即可得到结论．【详解】解：∵一次函数y=2x-1的图象分别交x、y轴于点A、B，

∴令x=0，得y=-1，令y=0，则x=，

∴A（，0），B（0，-1），

∴OA=，OB=1，

如图，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，∵∠ABC=45°，

∴△ABF是等腰直角三角形，

∴AB=AF，

∵∠OAB+∠ABO=∠OAB+∠EAF=90°，

∴∠ABO=∠EAF，

∴△ABO≌△FAE（AAS），

∴AE=OB=1，EF=OA=，

∴F（，），

设直线BC的函数表达式为：y=kx+b，，解得：，∴直线BC的函数表达式为：，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．7．如图一次函数的图象经过点，与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点C，点C的横坐标为1．（1）求的函数表达式．（2）若点D在y轴负半轴，且满足，求点D的坐标．（3）若，请直接写出x的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）由题意可先求出点C的坐标，然后再把点A与点C的坐标代入一次函数解析式进行求解即可；（2）可先求出△BOC的面积，然后可得△COD的面积，进而根据面积计算公式可进行求解；（3）直接根据图象可进行求解．【详解】解：（1）∵一次函数与正比例函数的图象交于点C，点C的横坐标为1，∴把x=1代入正比例函数得：，∴点，∴把点、代入一次函数得：，解得：，∴AB的函数解析式为；（2）由（1）得：，AB的函数解析式为，