考点14 直线与圆的位置关系的7大题型方法归类-原卷版

考点14直线与圆的位置关系的7大题型方法归类1直线与圆的位置关系的判断方法（1）只有当直线与圆相切时，直线与圆的公共点才称为切点；(2)判断直线和圆的位置关系，可以通过公共点的个数判断，若不知道公共点的个数，就需要转化为比较圆心到直线的距离与半径的大小关系。设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点直线与相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点直线与相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线直线与相交2切线的判定定理和辅助线的作法圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。作辅助线判定圆的切线的常用方法：①有交点，连半径，证重直；②无交点，作垂直，证半径。利用圆的切线的判定定理判定切线时，把握两个要素：一是经过半径的外端点，二是垂直于这条半径.这两者缺一不可。3切线的性质定理（1）圆的切线垂直于过切点的半径.（2）切线的主要性质：A切线和圆只有一个公共点；B圆心到切线的距离等于圆的半径；C切线垂直于过切点的半径；D经过圆心垂直于切线的直线必过切点；E经过切点垂直于切线的直线必过圆心切线的性质C、D、E可归纳如下：对于如下三个结论：①过圆心，②过切点，③垂直于切线，若直线满足这三个结论中的任意两个，便可得到第三个结论。注：如果直线上一个点到圆心的距离等于圆的半径，那么这条直线与圆可能相切也可能相交。4切线长定理进行几何计算或证明的方法1.切线长经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。2切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。注：(1)圆的切线一般指的是直线，而切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长度；切线长定理可以通过判定直角三角形全等的判定定理“HL”进行证明。利用切线长定理进行几何计算或证明：先构建切线长定理的基本图形，再利用切线长相等这一性质进行等量转化，或利用切线长定理中所隐含的等腰三角形、垂直平分线等条件来进行计算或证明.5直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系的求法设直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,r为其内切圆的半径长，若利用切线长定理推导，则r=(a+b-c)/2;若利用等面积法推导，则r=aba6三角形内切圆概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心和外心的区别：外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。作法：做三角形三边垂直平分线，取交点即为外接圆圆心。性质：外接圆圆心到三角形三个顶点距离相等。内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。作法：做三角形三角的角平分线，取交点即为内接圆圆心。性质：内接圆圆心到三角形三边距离相离。直角三角形三边和内切圆半径之间的关系：7圆的综合问题考点1直线与圆的位置关系的判断方法考点2切线的判定定理和辅助线的作法考点3切线的性质定理考点4切线长定理进行几何计算或证明的方法考点5直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系考点6三角形内切圆考点7圆的综合问题考点1直线与圆的位置关系的判断方法1．（2023秋·九年级课时练习）已知的半径为是直线上的三个点，点到圆心的距离分别为，，则直线和的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定2．（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）如图，，为上一点，且，以点为圆心，半径为3的圆与的位置关系是（

）

A．相离 B．相交 C．相切 D．以上三种情况均有可能3．（2023·全国·九年级专题练习）中，，，，若以点C为圆心，以r为半径的圆与所在直线相交，则r可能为（）A．1 B．1.5 C．2 D．34．（2023秋·全国·九年级专题练习）设⊙O的直径为m，直线l与⊙O相离，点O到直线l的距离为d，则d与m的关系是（）A．m＝d B．m＜d C．2d＞m D．2d＜m5．（2022春·九年级课时练习）已知的半径为5，直线与有交点，则圆心到直线的距离可能为（

）．A．4.5 B．5.5 C．6 D．7考点2切线的判定定理和辅助线的作法6．（2023·江苏镇江·镇江市外国语学校校考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A、B、C均落在格点上．(1)的周长为______．(2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在上确定一点，使以点为圆心，以为半径的与相切．（保留作图痕迹）7．（2023秋·九年级课时练习）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，连接，作，交的延长线于点．求证：是的切线．

8．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，的半径为3．求证：是的切线．

9．（2023秋·九年级课时练习）如图，以等边三角形的边为直径画，交于点于点．求证：是的切线．

10．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的外接圆，是的直径，．(1)求证：是的切线；(2)若，垂足为交于点；求证：是等腰三角形．考点3切线的性质定理11．（2023春·河北唐山·九年级统考开学考试）如图，点O为线段的中点，点C为线段上一点（不与O，A重合），以点O为圆心，为半径作圆O交线段于点D、，，，连接．

(1)求证：；(2)当与圆O相切时，求的长度．12．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，内接于，是的直径，过点作的切线，连接，过点O作，垂足为，交于点．

(1)求证：；(2)若点到的距离为，，求直径的长．13．（2023秋·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）如图，为的直径，为上一点．有下列三个条件：①直线是的切线；②于点；③平分，请在上述三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论构成一个真命题，并给出证明．

14．（2023秋·广东广州·九年级广东广雅中学校考期末）如图，，是的切线，A，B为切点，是⊙O的直径，，求的度数．15．（2022秋·广东广州·九年级中山大学附属中学校考期中）如图，是的外接圆，是的直径，点D在上，，连接，延长交过点C的切线于点E．(1)求证：；(2)求证：．考点4切线长定理进行几何计算或证明的方法16．（2018春·九年级单元测试）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求：AF、BD、CE的长．17．（2022秋·重庆长寿·九年级统考期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．（1）求证：BC=CD；

（2）求证：∠ADE=∠ABD；18．（2023·河南周口·校联考三模）如图，点是以为直径的外一点，点是上一点，是的切线，，连接并延长交的延长线于点．

(1)求证：点是的中点；(2)若，的半径为，求的长．19．（2023·浙江湖州·统考模拟预测）已知：为的直径，，弦，直线与相交于点C，弦在上运动且保持长度不变，的切线交于点F．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，当点E运动至与点B重合时，试判断与是否相等，并说明理由．20．（2022春·九年级课时练习）如图，四边形ABCD内接于，AB是的直径，过点D作的切线交BC的延长线于点E，交BA的延长线于点F，且，过点A作的切线交EF于点G，连接AC．(1)求证：AD平分；(2)若AD=5，AB=9，求线段DE的长．考点5直角三角形周长、面积与三角形内切圆的关系21．（2022秋·内蒙古鄂尔多斯·九年级统考期末）如图，在中，，⊙是的内切圆，半径为，切点为、、，连接，，．(1)若，，则

；(2)若的周长为，面积为，则，，之间有什么数量关系，并说明理由．22．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，中，的长分别为．求的内切圆半径r．23．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，已知，在以为弦的弓形劣弧上取一点（不包括，两点），以为圆心作圆和相切，分别过，作的切线，两条切线相交于点．求证：为定值．24．（2023秋·天津津南·九年级统考期末）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、．

(1)若，，求的度数；(2)若，，，求的长．25．（2023·山西大同·校联考模拟预测）如图，已知内接于，且是的直径，

(1)实践与操作：请用尺规作图法作出的内心I；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）(2)推理与计算：连接并延长，与交于另一点D．若，，求的长．考点6三角形内切圆26．（2023·江苏·九年级假期作业）如图内接于，，是的直径，点是延长线上一点，且，．

(1)求证：是的切线；(2)求的直径；(3)当点B在下方运动时，直接写出内心的运动路线长是．27．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．(1)求证：；(2)求证：；(3)连接、，求证：点D是的外心．28．（2022秋·山东日照·九年级日照市新营中学校考期中）如图，一块等腰三角形钢板的底边长为，腰长为．(1)求能从这块钢板上截得的最大圆的半径：(2)用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？(3)求这块等腰三角形钢板的内心与外心之间距离．29．（2022春·四川广安·九年级专题练习）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC；（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）若DF＝2，AF＝5，求BD长．30．（2021·九年级课时练习）已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长．考点7圆的综合问题31．（2022·天津·统考中考真题）已知为的直径，，C为上一点，连接．(1)如图①，若C为的中点，求的大小和的长；(2)如图②，若为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长．32．（2022·安徽·统考中考真题）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD．(1)如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长；(2)如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE，求证：CE⊥AB．33．（2021·辽宁锦州·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，A