2023年高考数学母题题源解密（新高考卷）：椭圆、双曲线与抛物线（解析版）

专题10椭圆、双曲线与抛物线

【母题来源】2022年新高考I卷

【母题题文】已知椭圆ig+多=0〃，i的上顶点为h,两个焦点为i/,L,离心率为T，过i/且垂直

于帘2的直线与i交于LI两点，；同=6,则△hlT的周长是.

【答案】13

【解析】

【分析】

本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用、椭圆的定义以及椭圆中的弦长问题，考查了运算求解能力,

属于中档题.

【解答】

解：由椭圆离心率为:，可得S=2T,则6=母_p=3干,

则i：帚+浮=/,”0,⑦节，i/f-T.o;.\2<y.o),

易得Mhf,:W=—存+73干,Un：W=f+T?>

可解得hi,与IT的交点*，当，

故直线IT垂直平分比，即ih=丁£,Th=II2,

二+生/…一些

又严1=13-2+杆•一32干2=0={।'13

、"32T'

w=—(­+!)'r'i=-—

•••|ii|=71+上一・T|=6=6+>/-夕匕=27=干=彳，

所以△hlT的周长hl+hT+Ti=H,+n2+H/+TI/=4S=8T=13.

【母题题文】已知：为坐标原点，点h〃,〃在抛物线i12=2gW8>0上，过点卜0,-〃的直线交i于］,N两点,

则()

A.i的准线为W=-1B.直线hi与i相切

c.\u\-\w\>ILhlD.|1||­网>同2

【答案】III

【解析】

【分析】

本题考查了直线与抛物线的位置关系，属较难题.

【解答】

解：点h(J,l)在抛物线T:-2=2yWfy>0)上，即/=2y=>I:,*=W,所以准线为W=--,所以h

错；

直线hi:W=2--7代入・2=W得：-2—2-+1=0=>(--1)2=0=•=0,所以hl与i相切，故B

正确.

由题知直线|N的斜率一定存在，则可设直线1N:W=U,-11If/.W；；,NVrWz)，则｛“=丫一/=

W="

•2-U+/=0,⑥=十一八。二！；一？或U>2,

此时「+>=U*：M=­)+•尹”+4-2/2=U-2

,r2=1W/W2=•污=1

IUHLN尸+w/xj+W);=WW/+阿2+=WW/W?/+儆儆/+~2)+W/W?=

72+2,=呵>2=|5产，故C正确；

,故D正确.

【母题来源】2022年新高考II卷

【母题题文】已知直线q与椭圆3+9=/在第一象限交于h,r两点，q与•轴W轴分别相交于k，K两点，且晌=

|KI|,|kK|=2<3,则直线q的方程为.

【答案】•+-2©=0

【解析】

【分析】

本题考查了椭圆的中点弦问题，属于偏难题.

【解答】

解：取hl的中点为T,因为晌=|4，所以|1^T|=|KT|,设hgZi),TgN》

可得当?X专’=一:,即％.小三一5设直线正凶=3+讨，u<0,W>o,

令.=0,w=w,令W=o,,所以“一5与，所以Ux4=一爹=一彳，u=-5,

U-U2

W2+2W2=12,W=2,所以直线hi；w=-?+2,即•+近W-2g=0.

【母题题文】已知L为坐标原点，过抛物线1^2=2%®>0)的焦点i的直线与i交于h,1两点，点h在第一象

限，点kG，0),若同=同,则()

A,直线hi的斜率为2忐B.IUI=IUI

C.|hi|>4|U|D.ZUk+NUk<180。

【答案】hl!

【解析】

【分析】

本题考查了抛物线的定义和性质，属于中档题.

【解答】

解：选项力.•设ik中点为K,则.=.=扫=',所以

hK24)

叱=2n=2%为=勾2幽>勿，所以Wh=^y,故卬=己=2而.

//?1/2…5yy

选项8：而+而=；=获+而=,=四=/=6+3=6=?所以

*=21.%除所以以|"+帮嗤』哼得.

选项C；|hl|=+y=y；y>2y=4|y|.

选项D:由选项A,i知h^y,^y；,，所以

Ch.U=f；y--yy)4>-7?>=^--y2=-^y2<0,所以NhU为钝角;

又认可=（7，%）.（T，一为=_部2<0,所以Nhki为钝角,

所以NLhk+NUk<180°.

倒题阑回

【命题意图】

考察椭圆、抛物线的定义，标准方程，几何性质和综合应用。考察运算能力，逻辑推导素养，数形结思想,

化归和转化的数学思想.考察分析与解决问题的能力.

【命题方向】

椭圆、抛物线，双曲线的方程、定义和性质，是高考的必考内容之一，多以小题形式出现，试题可以是常

规题，中等难题，或者压轴小题难度，也是考试学生丢分点之一.

【得分要点】

圆锥曲线三大定义

一、三大曲线第一定义

椭圆第一定义：|P用+|尸鸟|=2a

双曲线第一定义：||「耳|-|尸乙||=2a

抛物线定义：|尸尸|=d

解题思路

试题中，如果是椭圆和双曲线，则到一个焦点距离，可转化为到另一个焦点距离.

二椭圆双曲线曲线第二定义：

1.平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e,即也=e

d

2.焦半径公式：

椭圆焦半径：仍尸|=巴士a

双曲线焦半径:.户在左支：|尸尸|=-用士a*右支:归目=气士。

抛物线焦半径：|尸可=x0+］（或为+学

3.焦半径范围

椭圆焦半径范围：a-c<|PF|<a+c

双曲线焦半径范围：.|Pb|Nc-a,或产产户c+a

抛物线焦半径范围：|尸尸归!

4.解题技巧：

焦半径角度公式.其中，e为焦半径与焦点轴所成的角p为焦点到对应准线的距离

椭圆焦半径夹角公式：|也』=eP—

1-ecos^1l+ecos8

P

双曲线焦半径左焦点夹角公式：.|尸理卜—,\PFr\=如一,

1-ecos^''l+ecos6，

抛物线焦半径夹角公式：I尸制=」一

111-C0S。

三、第三定义

1.第三定义，又叫中点弦定理

22

xy1

~~~=1/)2

(1)AB是椭圆少卜的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则七

x2y2

----=1]力2

(2)AB是双曲线。一b的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，贝1]自”.心—1.

a

(3)AB是抛物线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则丫。山"=0

2.扩展推论

---1---=1

(1)AB是椭圆/b-的关于原点对称的两点，P椭圆上异于A、B的任一点，若斜率存在，则

,,__Q

kpA'kpB_2

a

(2)AB是双曲线・-与=1的关于原点对称的两点，P双曲线上异于A、B的任一点，若斜率存在，则

cib

,,£

kpA.kpB—2

a

四、焦点三角形

1.焦点三角形

(1)焦点三角形面积

椭圆：SAP柩2=b、an幺产

u2

双曲线：S"g=

11Z_r*.rr^

tan—————

2

P2

AB为过抛物线y2=2px焦点的弦，8为直线倾斜角，则“。加二一二

2sing

2.顶角

(1).椭圆顶角在短轴顶点处最大.

(2)双曲线顶角无最大最小

3.与余弦定理结合

x2V2

⑴设椭圆二+彳=1（a>0,b>0）的两个焦点为Fi、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PFF2

ab"

sinQc

中，记/月尸鸟=。，4PF、Fz=B，4F\FZP=Y，则有[------丁=-=e.

sin/+sin万a

x2”2

（2）设双曲线4=1（a>0,b>0）的两个焦点为F】、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在

a'b-

cinnc

△PFE中，记NGPF,=。，4PF\F2=（3、4F\RP=Y，则有一-----：—=—=e.

|sin/-sin/3\a

一、单选题

1.（2022•河北衡水•高三阶段练习）已知椭圆C:£+£=l（4>b>0）的左、右焦点分别为耳，F2,椭圆上

ab

点P（x,y）到焦点名的最大距离为3,最小距离为1,则椭圆的离心率为（）

A.yB.—C.1D.2

223

【答案】A

【分析】

由椭圆上的点到焦点的距离最大值为a+J最小值为"-J可求出dj即可计算出离心率

【详解】

ci+c=3c1

设椭圆的半焦距为C,由题意可得，，解得a=2,c=\,所以椭圆C的离心率e=£=

a-c=\a2

故选：A.

2.（2023•全国•高三专题练习）双曲线E与椭圆C:二+匕=1焦点相同且离心率是椭圆C离心率的6倍,

62

则双曲线E的标准方程为（）

A.一_亡=[B./-2^=1C.—-^-=1D.--/=1

3/223

【答案】C

【分析】

求出双曲线焦点坐标和离心率，求出双曲线的a、6、c即可求其标准方程.

【详解】

双曲线E与椭圆。：二+己=1焦点相同，则焦点坐标为（±2。），

62

椭圆的离心率为点玲.••・双曲线的离心率为必衰=&.

设双1111线实半轴长为。，虚半轴长为6,焦距为2c,则『2,

—=V2=>a=5/2,b=yf2,

a

所求双曲线方程为：—-^=1.

22

故选：C.

3.（2023•全国•高三专题练习（理））设F为抛物线C:/=4x的焦点，点/在C上，点8（3,0）,若/卜忸川,

则陷=（）

A.2B.272C.3D.3g

【答案】B

【分析】

根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A坐标，即可得到答案.

【详解】

由题意得,尸（1,0）,则尸|=|防|=2,

即点A到准线x=-1的距离为2,所以点A的横坐标为-1+2=1,

不妨设点A在x轴上方，代人得，力（1,2）,

所以|力8|=^（3-1）2+（0-2）2=272.

故选：B

4.（2022•湖北武汉•高三开学考试）已知椭圆「:=1（。>6>0）的两个焦点为耳,鸟，过鸟的直线

与「交于48两点若4周=3内用,\AB\=2\AF\,则「的离心率为（）

U1B.立C.亟D.近

5555

【答案】C

【分析】

由已知条件以及椭圆的定义版|/用,|/却,“娟,忸耳|用Q表示出，再在三角形中利用余弦定理建立方程，即可

求解.

【详解】

设出同=m，则四|=3m,\AB\=2\AF]\=4m.

由椭圆的定义可知忸用+忸&=2a=5w.所以机=，,所以玛卜用=》.

在中,cos/=+=UJ_，5，I5J=，

2ABxAF\28ox4a4

55、

所以在△"'/B中=|/『+M用2_2|"WK|COS4.

即4c2=j+（9J-2（[jx1整理可得：=g=|、

所以e=画

5

故选：C

5.（2022•新疆・三模（理））已知双曲线C：q-{=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为耳，工，过点耳且斜率

为-3救的直线与双曲线在第二象限交于点4M为力6的中点，且赤「赤2=0,则双曲线C的渐近线方

程是（）

A.y=+yfixB.y-+^-x

125

C.y=±《xD.y=+—x

【答案】A

【分

依题意可得tan乙用用=-3",即可求出cos4耳用，再由即可得到|/用=|片段=勿，由余弦

定理求出|/用，即可得到2a=c，再根据‘2=〃2+火即可得到。、6的关系，即可得解；

【详解】

解：由左叫=-3不，即tan乙46❷=-34，又tanN/片名=更吟普，且sin?4片乙+cos?4耳为=1.

COS]*2

解得8$//月用=-：或《>$4耳玛=）（舍去），

OO

由从用1M巴且M为的中点，知H用=|耳周=2c,

...|伤「=4/+4/_222.0=9<?,

.•[/用=3c,「.24=14图—|/£|=c，又。2=/+〃，

b=JJa，.二渐近线方程为y-±j3x.

故选：A

6.（2022•山西・怀仁市第一中学校模拟预测（文））已知抛物线C：V=皿。>0）的焦点为尸，点A为伍,-6）,

若射线E4与抛物线C相交于点8,与准线相交于点。，且产叫:忸。|=1:有，贝心的值为（）

A.245B.26C.6D.75

【答案】B

【分析】

B.B1

先由抛物线定义得=进而求得tan/4&）=2,再结合4F坐标及斜率公式即可求解.

【详解】

如图，作8用垂直于准线，垂足为瓦,因为居｛=耨=七，则cos/480=t，sin/B即=1,

tanN8]BD=2,

6

又叫,0),A(o,-Q),则脸=2=g,解得。=2道.

4

故选：B.

7储。23•全国•高三专题练习)已知椭圆芸+9】的左、右焦点分别为R£第一象限内的点“在椭

设*=般

圆上，且满足孙1"8,点N在线段片、用上,将尸内沿“N翻折,使得平面MN”与

平面M叫垂直，要使翻折后E局的长度最小，则入=()

39

A.-B.2D.

24

【答案】A

【分析】

利用椭圆的定义、勾股定理可求得|出|、|人/|,翻折前，过点耳作后力，血，垂足为点A,过点心作

F2BLMN,垂足为点8,设NM明=6,其中0<6<三，翻折后，利用勾股定理求出旧楼关于，的表达

式，利用正弦型函数的有界性可求得闺的最小值及8的值，再利用角平分线的性质可求得久的值.

【详解】

在椭圆芸+[=1中，«=|,b=6,c=-警:.\FtF2\=2c=y/i3,

■1^1+1^1=20=5

Ml=3

因为MF、1MF,且点M为第一象限内的点，则|峥『+|"「=|耳寸=13,可得

2\MF\=21

RI>M2

翻折前，过点耳作耳/JLMN,垂足为点A,过点B作居BlMN,垂足为点B,

设乙NMF[=8、其中0<6v],

则忸周=2sin*忸M=2COS8.|^|=3sinf--^j=3cos5.

=3cos(5-e)=3sin(9,

所以，\AB\=-\BM^=|3sin6»-2cos9\,

因为平面MNF[1平面MNF、，平面MNF、Cl平面MNF?=MN,8居u平面MNF2,

BEi.MN,8GL平面MN",

..■々(3平面加而；，:.BF11BFt,乂因为Z耳1MN,

.•.附f=|即「+网2=|掰/+幽+忸用2

=9cos2(9+(3sin^-2cos^)'+4sin29=13-12sin8cos6=13-6sin28,

-：0<3<^,则0<26<〃，故当28=]时，即当8=5时，阳闾取得最小值近,

则在翻折前，在鸟中，“N为的角平分线,

Hrp,也皿一四一幽二3

即4=3

'S—|N凰|M段2

故选：A.

/v2

8.（2023•江苏・南京市中华中学高三阶段练习）如图所示，耳，尸2是双曲线。^-4=1（«>0,6>0）的

ab

左、右焦点，过6的直线与C的左、右两支分别交于aB两点.若|/用:忸/矶:|《巴卜3:4：5,则双曲线的离

心率为（）

A.2

B.屈

C.如

D.百

【答案】C

【分析】

不妨令|相|=3,忸用=4,恒国=5,根据双曲线的定义可求得a=l,//8鸟=90。，再利用勾股定理可求

得4c2=52,从而可求得双曲线的离心率.

【详解】

•：\AB\：\BF2[\AF2\=3-.4-.5,不妨令|阴=3,忸周=4,|/闻=5,

22

'：\AB^+\BF2|=M^I,：.^ABF2=90°,

乂由双曲线的定义得：B用-|8闾=2a,»引-|/1用=2a,

用+3-4=5-|/4|,：.\AF\=?>.

:.\BF}\-\BF2\=3+3-4=2a,\a=\.

在RuBFtF2中，\F}F2『=|班『+I眶/=G+4?=52,

又|片工|2=4°2,；.4c2=52,.•.c=7TI

.,.双曲线的离心率e，=J官.

故选;C

9.(2022•全国•高三专题练习)已知点尸为抛物线/=4x的焦点，工(-1,0),点M为抛物线上一动点，当图

最小时，点〃恰好在以4F为焦点的双曲线C上，则双曲线C的渐近线斜率的平方是()

A.B.2+2-72C.3+2万D.班一1

24

【答案】B

【分析】

\MF\

由题可知41/与抛物线相切时，扃取得最小值，求出点M的坐标，利用双曲线定义求出2a,结合c=l,

可求得£,再利用《一⑶-1求得结果.

aayaJ

【详解】

由抛物线的对称性，不妨设"为抛物线第一象限内点，如图所示：

故点M作解垂上［「抛物线的准线于点8,由抛物线的定义知|叱|=|河8|,易知MB//X轴，可得

NMAF=NBMA

cosNW尸

\AM\=\AM\cosZgM4=

当NM/尸取得最大值时，耨取得最小值，此时与抛物线y?=4x相切,

设直线/M方程为：y=A：(x+l),

联立仁；:)，整理得行+(2人力+公=。.

其中△=一16/+16=0,解得:k=±l,

由M为抛物线第一象限内点，则A=l,

则r+(2-4卜+1=0,解得：x=\,

此时『=4,即y=2或y=-2

所以点M的坐标且"(1,2)

由题意知，双曲线的左焦点为/(-1,0),右焦点为尸(1,0)

设双曲线的实轴长为20则2〃=||,|-”|=幼-2,

a=>/21>

又c=1,贝IJ2=~f=--=V2+1,

ay/2-1

故渐近线斜率的平方为(应+101=2+2也

故选：B

10.(2020・全国•高三专题练习(文))已知点4是抛物线丫：=4］的对称轴与准线的交点，点3为抛物线

的焦点，尸在抛物线上且满足I照耳=阈蹿］,当”?取最大值时，点尸恰好在以为焦点的双曲线上，则

双曲线的离心率为

A.苴二B.与1C.72-1D.75-1

△/

【答案】C

【详解】

P2I/p।1\2AA

试题分析：设尸(X/)/NO,则加2=市=.(；+4=1+1+2,当且仅当y=i时取等

号，此时P(±2,1),2c=2,2〃=产力一户8=2近一2,0=空=返+1,选C.

2a

11.(2022・全国•高三专题练习(理))小工是双曲线C：W-£=l(a>0,6>0)的左、右焦点，直线1为双

ab

曲线c的一条渐近线，G关于直线1的对称点为“，且点尸；在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，

则双曲线c的离心率为

A.72B.亚C.2D./

【答案】B

【分析】

根据左焦点4与渐近线方程，求得耳关于直线I的对称点为尺的坐标，写出以F2为圆心、以半虚轴长b为

半径的圆的方程，再将耳的坐标代入圆的方程，化简即可得离心率.

【详解】

因为直线1为双曲线c的一条渐近线，则直线/：y=2x

因为斗鸟是双曲线c的左、右焦点

所以”（-C,0）,玛（c.0）

因为耳关于直线1的对称点为或，设E为（X,y）

则匕=

x+ca2al

ARmb?一『2ab

解得x=------,y=--------

cc

所以月为（以《，-也）

CC

因为S是以名为圆心，以半虚轴长b为半径的圆，则圆的方程为（X-C）2+V=〃

将以月的（勺二-半）代入圆的方程得（竺+（-警］=〃

化简整理得5/=°2,所以e=

所以选B

【点睛】

本题考查了双曲线渐近线方程、离心率的应用，点关于直线对称点的求法，对于几何关系的理解非常关键,

属于难题.

12.（2021•河北•正定中学高三开学考试）过点P作抛物线C:x2=2y的切线（，给切点分别为"，N,若

△PMV的重心坐标为（1』），且尸在抛物线。:炉=,如上，则。的焦点坐标为（）

了°

【答案】A

【分析】

,利用导数写出切线4,，2的方程,联立求出交点P坐标尤=土芋

由已知设切点坐标为M

y=竽，代入重心坐标公式利用已知条件可求出P的坐标为，再代入抛物线。:/=s方程,求出租,

进而求。的焦点坐标.

【详解】

设切点坐标为，N\X,

22

由f=2y,得y=所以_/=X,

故直线4的方程为=不（x_再），即y=X|X—手

同理直线4的方程为尸X2X~^

联立心。的方程可得*=土产，y=竽

.\X+X+Xl+工2X1.X2.X\X2

设，Am勺重心坐标为（"。），则与1M273寻式”

M+X,=2M=2/、

即*1（所以'2°,则尸的坐标为1,7,

XX

玉+%+\2=6Xi%2=-2

将P点坐标代入抛物线。:V=蛆，得到（-厅=MX1,解得初=1,

故。的焦点坐标为河

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了直线与抛物线的相切问题，三角形重心的坐标公式以及抛物线的性质，考查了推理能力与

计算能力，属于难题.

二、填空题

13.（2022・河北•沧县中学模拟预测）已知抛物线C:/=i6x的焦点为尸，点N（T,0）,点尸是抛物线。上

EJsinZ.PAF,,i出、

的动点,则』F的最小值为

【答案】

【分析】

Sn/PAF

结合图象及正弦定理和抛物线的性质可得二sinNPN。，进而可知当直线AP与抛物线C相切时

smZ二.；AF二P

NP/。最小，sinN&Q也最小，设直线4P方程，与抛物线方程联立，即可求得结果.

【详解】

解:

如图，点/（-4,0）在抛物线C的准线x=-4匕

设点P在准线上的射影为。，由正弦定理和抛物线的性质可知：

附

sin'尸=系="=闻=4必PAO

sinN4FP四口曰|°'

1R

当直线4P与抛物线C相切时N40最小，sinNP/0也最小.

设P/的方程为^=%（》+4）,与/=i6x联立得/x?+（8%2-16b+16公=0,

由A=（8F-16）--64F=0,解得左=±1,

当《=±1时，sinZPAQ=—.

,,sinZ.PAF曰i/七“J2

故一-二二的最小值为—.

sinZ.AFP2

故答案为：

2

14.（2022・四川•泸县五中模拟预测（文））椭圆C二+《=1的上、下顶点分别为4C,如图，点8在

18b

椭圆上，平面四边形48。满足Z8/ir）=N8C£）=90P,且L8c=25、0c，则该椭圆的短轴长为.

【分析】

先由N历1Q=NBCQ=9(F判断出4B,C,O四点共圆，再由题设求出圆心，表示出圆的方程，将B点代入椭

圆及圆，即可求出b,即可求得短轴长.

【详解】

由题意得40,6),C(0,f),设3(再,必),以占,%),由/8/。=/88=90。可得43〈,。在以8。为直径的圆

上，

又原点。为圆上弦ZC的中点，所以圆心在/C的垂直平分线上，即在x轴上，则乂+%=°，乂5加=过血

X=_

可得\2X2,

故圆心坐标为信0),所以圆的方程为卜.)+/=3：+.，将(°，°)代入可得〃=?；+必2,

又江+4=1,解得〃=9,贝1=3,故短轴长为26=6.

故答案为：6.

15.(2020•浙江•镇海中学三模)已知平面向量九"，2满足同叩卜口=1,7"=旅=与第>0,)2=0,

若平面向量l=x£+M(x,y>0且xy=1),贝lj|s+2c|+卜一同的最小值是.

【答案】4&

【分

22

利用建系的方法，假设"=("")》=(-〃?,〃),■=(“』),才=t，o)"=P』)，依据条件可得F了『一‘然

产+4—+4

后作出双曲线,表示出同24+广可,即可得结果.