2023年中考数学（全国）重难点02 探究规律问题（讲解）

重难点02探究规律问题

命题趋势

探究规律型问题是中考数学中的常考问题，题目数量一般是一个题，各种题型都有可能出现，一般以

选择题或者填空题中的压轴题形式出现，主要命题方式有数式规律、图形变化规律、点的坐标规律等。基

本解题思路：从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中规律，进而归纳或

猜想出一般结论，最后验证结论的正确性。探索规律题可以说是每年中考的必考题，预计2021年中考数学

中仍会作为选择题或填空题的压轴题来考察。所以掌握其基本的考试题型及解题技巧是非常有必要的。

满分技巧

1）从简单的情况入手：

从简单的情况入手：求出前三到四个结果，探究其规律，通过归纳猜想总结正确答案二.新定义型问题一

般与代数、坐标、函数知识结合较多，常见的命题背景有：杨辉三角、等差数列、连续n个数的立方和、

连续八个数的平方和、阶乘等。

2）关注问题中的不变量和变量：

在探究规律的问题中，一般都会存在变量和不变量（也就是常量），我们要多关注变量，看看这些变量

是如何变化的，仔细观察变量的变化与序号（一般为"）之间的关系，我们找到这个关系就找到了规律所在.

3）掌握一些数学思想方法

规探索律型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往

给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律.它体现了“特

殊到一般''的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和

创新能力.题型可涉及填空、选择或解答.

限时检测

限时检测1：最新各地模拟试题（80分钟）

1.（2023•河北邢台♦一模）如图1,书架上按顺序摆放着五本复习书，现把最右边的文综抽出，放在英语与

数学之间；再把最右边的理综抽出，放在数学与语文之间，得到图2,称为1次整理，接着把最右边的英语

抽出，放在数学与理综之间，再把最右边的文综抽出，放在理综与语文之间，得到图3,称为2次整理……；

若从图1开始，经过〃次整理后，得到的顺序与图1相同，则〃的值可以是（）

【答案】B

【分析】根据题干信息得到整理规律，按照规律将接下来的几次整理罗列出来，找到重复规律，即可得到

答案；

【详解】解：用12345分别表示语文、数学、英语、理综、文综图，

12345第一次：14253,第二次：15432,第三次：13524,第四次：12345（与图一相同），

，经4次整理后可得到的顺序与图1相同，〃的值应为4的倍数，故选B.

【点睛】本题考查图形规律，解题的关键是读懂题干整理规律，写出几种变换得到重复规律.

2.（2023•河北秦皇岛•统考一模）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形

的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等.现将-5,-3,-2,2,3,5,7,8填入如图2

【答案】B

【分析】观察左图可发现，三角形各顶点的数字之和等于正方形各定点数字之和，各顶点的数字之和加上

正方形各定点数字之和等于4倍的正方形各顶点数字之和，得到a+b=5、d-c=-10,代入(d-c)"+"即可

求解.

【详解】解：观察左图可发现，三角形各顶点的数字之和等于正方形各定点数字之和，

-5+(-3)+(-2)+2+3+5+7+8+(<7+5+。-5)=4(4+5+6-5)

整理得：3(«+5+6-5)=15:.a+b=5:.a+c-5-a+d+5,:.d-c=-l0

3-c}a+h=(-10)'=-1O'=_i.Ox1O'故选：B.

【点睛】本题考查了代数式求值，解题关键是根据题意得到。+人=5、d-c=-W.

3.(2023・山东济宁•校考一模)如图，在平面直角坐标系中，动点A从(1,0)出发，向上运动1个单位长度到

达点8(1,1),分裂为两个点，分别向左、右运动到点C(0,2)、点0(2,2),此时称动点A完成第一次跳跃,

再分别从C、。点出发，每个点重复上边的运动，到达点G(-l,4)、"(1,4)、/(3,4),此时称动点A完成

第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点4完成第2023次跳跃时，最左边第一个点的坐标是()

A.(-2023,4046)B.(-2O22.22023)C.(-2022,4046)D.(-2023,22023)

【答案】C

【分析】由图形可得每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2,到达点的横坐标减少1,据此规律解答即可.

【详解】解：由题意可得：每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2,到达点的横坐标减少1

则动点A完成第2023次跳跃时，所有到达点的纵坐标为2023x2=4046,横坐标为：1-2023=-2022,则

最左边第一个点的坐标是(-2022,4046).故选C.

【点睛】本题主要考查了观察图形的规律，根据图形得到每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2,到达点

的横坐标减少1是解答本题的关键.

4.(2023・重庆九龙坡•校考一模)下列图形都是由同样大小的圆按一定的规律组成，其中，第①个图形中一

共有2个圆；第②个图形中一共有7个圆；第③个图形中一共有16个圆；第④个图形中一共有29个圆，…,

则第⑦个图形中圆的个数为（）

O

OOOOO

OOOOOOOO

OOOOOOOOOOOOOOOO

OOOOOOOO

O0OOO

Oo

OOOOOoooo

@②③

A.67B.92C.113D.121

【答案】B

【分析】分两部分:第①个图形为+1=1，第②个图形为：『+22+2=7,第③个图形为：2?+32+3=16,

第④个图形为：3,+4,+4=29,…，由此得出规律即可求解.

【详解】第①个图形为：02+12+1=1,第②个图形为：F+22+2=7，

第③个图形为：22+32+3=16）第④个图形为：3?+4?+4=29,…，

一般地，第⑦个图形为：62+72+7=92,故选：B.

【点睛】本题是图形规律探索问题，由特殊出发得出一般规律是解题的关键.

5.（2022•重庆南岸•校考模拟预测）有依次排列的3个整式：x,x+7,x-2,对任意相邻的两个整式，都

用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：x,7,x+7,-9,

x-2,则称它为整式串1；将整式串1按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2；以此类推.通过实际

操作，得出以下结论：①整式串2为：x,7-x,7,x,x+7,-x-16,-9,x+7,x-2；

②整式串3共17个整式；③整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2；

④整式串2021的所有整式的和为3x-4037；上述四个结论正确的有（）个.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据整式的加减运算法则和整式的乘法则进行计算，从而作出判断.

【详解】解：•••第一次操作后的整式串为：x,7,x+7,-9,x-2,共5个整式，

第一次操作后的整式串的和为：x+7+x+7+（-9）+x-2=3x+3,

.,.第二次操作后的整式串为x,7-x,7,x,x+7,-16-x,-9,x+7,X-2,共9个整式，故①的

结论正确，符合题意；第二次操作后所有整式的和为：

x+7—x+7+x+x+7+（—16—x）+（—9）+x+7+x—2=3x+l=3x+3—2=3x+3—2x1

第二次操作后整式串为x,7—2x,7—x,x,7,x—7,x,7,x+7,—23—2x,—16—x,7+x,—9,

x+16,x+1,-9,x-2,共17个整式，故②的结论正确，符合题意；第三次操作后整式串的和为：

x+7—2x+7—x+x+7+x—7+x+7+x+7+(—23—2x)

+(—16—x)+7+x+(—9)+x+16+x+7+(—9)+x—2-3x—l=3x+3—2—2=3x+3—2x2；

故第二次操作后的整式串的和与第二次操作后的整式和的差为：3x-l-(3x+l)=-2,

即整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2,故③结论正确，符合题意；

第"次操作后所有整式的积为3x+3-2(〃-l)=3x-2〃+5,

第2021次操作后，所有的整式的和为3x-2x(2021-1)+5=3尤-6055,

故④的说法不正确，不符合题意；正确的说法有①®③，共3个.故选：C.

【点睛】此题主要考查了整式的加减，数字的规律，解题关键是从所给的式子分析出所存在的规律.

6.(2022・浙江丽水・统考一模)如图1所示，一块瓷砖表面有四条分割线，由分割线可构成一个正方形图案.图

2由两块瓷砖铺成，分割线可构成3个正方形.图3由四块瓷砖铺成，分割线可构成9个正方形.若用十二

块瓷砖铺成长方形，则由分割线可构成的正方形数最多是()

图3

A.33B.34C.35D.36

【答案】C

【分析】12块瓷砖拼成长方形，有1x12,2x6,3x4这三种情况，分类讨论即可.

【详解】解：当瓷砖拼成1x12的长方形时，一共有2x12-1=23个正方形；

当瓷砖拼成2x6的长方形时，一共有6x6-3=33个正方形；

当瓷砖拼成3x4的长方形时，一共有10x4-5=35个正方形.故选：C.

【点睛】本题考查图形拼接的分类讨论.解题的关键是穷举几种拼接的方式，并针对每种方式，从简单到

一般找出正方形数量变化的规律.

7.（2022•浙江绍兴•校联考二模）数独顾名思义--每个数字只能出现一次，数独源自18世纪末的瑞士.数

独盘面是个九宫，每一宫又分为九个小格，虽然玩法简单，但数字排列方式却千变万化，如图，在★处应

填的数字是（）

3948

675

487

962

2983

49★1

645

724

2369

A.2B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】根据题意以填好的九宫格中的数字，可以得到★的值，本题得以解决.

【详解】解：由图可知，和*•行的数字有1,4,9

和★一列数的有8,5,6和★在同一个九宫格中的数字有：1,3,9

二★对应的数字不是1,3,4,5,6,8,9二★对应的数字为2,或7

根据同一个九宫格中，每行每列不能重复，2在其他行会重复因此★对应的数字只能为2故选：A.

【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出★的值.

8.（2022・河北唐山・统考一模）如图所示，下列每个图是由若干盆花组成的形如三角角形的图案，每条边（包

括两个顶点）有〃盆花，每个图案花盆总数是S,按此推断S与"的关系式为（）

n=2,S=3/J=3,S=6ZJ=4,S=9

A.S=3nB.S=3（〃—l）C.S=3〃—lD.S=3n+l

【答案】B

【分析】根据图案组成的是三角形的形状，则其周长等于边长的3倍，但由于每个顶点重复了一次，找到

规律即可求解.

【详解】解：根据图案组成的是三角形的形状，则其周长等于边长的3倍，但由于每个顶点重复r一次.

由图可知：第一图：有花盆3个，每条边有2盆花，那么3=3x（2-1）；

第二图：有花盆6个，每条边有3盆花，那么6=3x（3-1）；

第三图：有花盆9个，每条边有4盆花，那么9=3x（4-1）；...

由此可知S与"的关系式为S=3（n-l）故选：B.

【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现.本题要注意给出的图片中所包含的规律，

然后根据规律列出函数关系式.

9.（2022・湖北恩施•统考一模）如图叫做雪花曲线，它可以从一个等边三角形（图①）开始画：把一个等边

三角形的每边分成相同的三段，再在每边中间一段上向外画出一个等边三角形，这样一来就做成了一个六

角星（图②）.然后在六角星的各边上用同样的方法向外画出更小的等边三角形，出现了一个有18个尖角

的图形（图③）.如此继续下去，就能得到分支越来越多的曲线（图④）.继续重复上面的过程，图形的外

边界逐渐变得越来越曲折、越来越长、图案变得越来越细致，越来越复杂，越来越像雪花、越来越美丽了.若

图①中等边三角形的边长为1,则第4个图形的周长为（）

【分析】首先根据前面几个图形找到相邻周长之间的关系，再进一步得到和第一个图形的周长之间的关系.

【详解】解：图①中等边三角形的边数是3,边长为1,周长为1x3=3；

114

图②中的“雪花曲线”的边数是12,边长是:，周长为12x；=4=§x3；

图③中的，，雪花曲线，，的边数是48,边长是工，周长为48、1=2=⑶£；

...图④中的“雪花曲线”的边数是48x4=192,边长是上，周长为192x」=C[x3=^；故选C.

【点睛】此题考查图形的变化规律，解题关键是找出图形之间的联系，得出运算规律.

10.（2022・浙江绍兴•统考一模）现有一个3x4方格的小型跳棋盘，将8枚棋子摆成如图的“中”字形状，并规

定每一步可移动一枚棋子进入相邻空格中，或可将某枚棋子跳过邻格中的一枚棋子而进入随后的空格中，

同时将被其跳过的这枚棋子从棋盘上移走.若最终棋盘上只剩下一枚棋子并停在标有“国”字的空格中，则最

少需要移动的步数是（）

【答案】B

【分析】根据题目中所给的规定每一步可移动一枚棋子进入相邻空格中，或可将某枚棋子跳过邻格中的一

枚棋子而进入随后的空格中，同时将被其跳过的这枚棋子从棋盘上移走.进行推理分析即可求解.

国一国一国•

【点睛】本题主要考查图形的变化规律，理解题意逐步分析是解题的关键.

11.（2022.重庆巴南.统考模拟预测）“杨辉三角”给出了（a+4展开式的系数规律（其中〃为正整数，展开式

的项按。的次数降幕排列），它的构造规则是：两腰上都是数字1,而其余的数则是等于它肩上的两个数之

和.例如:（”+4=/+2"+从展开式的项的系数1,2,1与“杨辉三角”第三排对应：

（a+6）3=a3+3a?+3a〃+《展开式的项的系数1,3,3,1.与“杨辉三角”第四排对应;依此类推……

判断下列说法正确的是（）

①“杨辉三角”第六排数字依次是：1,5,10,10,5,1；

3

②当a=2,。=T时,代数式+3a2b+3加+b的值为-1；

③（。+与2侬展开式中所有系数之和为22侬；

④当代数式/一&/+24/-32a+16的值为1时，。=1或3.

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

1

11................3+6)

121................(。+6)2

\Z\Z

1、331(a+6)3

\Z

14641-9+6)'

【答案】c

【分析】运用杨辉三角形的排列规律，及展开式的系数规律采用赋值法逐一验证即可求解.

【详解】如图，依次规律可得“杨辉三角”第六排数字依次是：1，5,10,10,5,1,故说法①正确;

当”=2,。=-1时，a3+3a2b+3ab2+b3=(a+Z?)3=(2-1)''=1,故②说法错误；

令a=l,b=l,则(a+0严=(1+］严2=？?022,故说法③正确；

当彳弋数式/一8/+24/-32“+16的值为1时，即/一8。3+24〃一32。+16=1，

，/+4x(—2)'片+6x(-2?a2+4x(-2)3+(-2?=(a-2)4=l,

.••(〃-2)2=1或(即2)2=-1(不合题意，舍去)，.•.〃-2=±1,解得。=3或1,故说法④正确，

1

.....................................(a+»

.....................................(a+b)2

.....................................(a+b"

(a+b)4

...................................(a+b)5

综上可得，说法正确的有①③④，故选：C

【点睛】本题考查了杨辉三角的规律与展开式的系数规律，正确把握其中的关系以及合理使用赋值法是解

题的关键.

12.（2023•海南省直辖县级单位•统考一模）用火柴棒按上图的方式摆出一系列图案，按这种方式摆下去，

第〃个图案所用的火柴棒的根数为•

A

△△AA…

△A△△△

n=\〃=2〃=3

3"2+3"

【答案】

2

【分析】先根据图案排列规律求出第〃个图案的三角形的个数，再根据没有个三角形有三根火柴棒计算即

可得解.

【详解】解：第1个图案有1个三角形，第2个图案有1+2个三角形，

第3个图案有1+2+3个三角形，…，

依此类推，第"个图案有：1+2+3+…+〃个三角形，

1+2+3+…+〃=心士0,.•.第八个图案所用的火柴棒的根数为3'也』=小包.

222

故答案为：即

2

【点睛】本题是对图形变化规律的考查，先求出第八个图案的三角形的个数是解题的关键.

13.（2023•山东枣庄•校考模拟预测）观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第"个大三角

【分析】分别数出第1个图形、第2个图形、第3个图形、第4个图形中白色三角形的个数，总结出白色

三角形的增长规律，即可推出第〃个大三角形中白色的三角形的个数.

【详解】解：第1个图形的白色三角形个数为1.

第2个图形的白色三角形个数为1+3=3°+下,

第3个图形的白色三角形个数为l+3+9=3°+3i+32,

第4图形的白色三角形个数为1+3+9+27=30+9+32+33,

以此类推，第〃个图形的白色三角形个数为3°+『+32+33+……3"-'

故答案为：3°+3'+32+33+……3"，

【点睛】本题考查规律型中的图形变化问题，解答此题要有以下步骤：①先数出白色三角形的个数；②探

索出白色三角形的增长规律；③根据规律解题.本题运算量比较大，要仔细计算.

14.（2023秋・河南许昌•九年级校考期末）平面直角坐标系中，若干个半径为1,圆心角为60。的扇形组成的

图形如图所示，点尸从原点。出发，向右沿箭头所指方向做上下起伏运动，点P在直线上运动的速度为每

秒1个单位长度，在弧线上运动的速度为每秒|■个单位长度，则2021秒时，点尸的坐标是.

【答案】（等，4）

【分析】根据勾股定理和弧长公式求出的£坐标，设第N秒运动到匕（"为自然数）点，根据点P的运动规律

找出部分5点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“七（国手，当），—1,0）,小等，-亭，

舄用（2〃+2,0）”，依此规律即可得出结论.

【详解】解：如图，过点A作Afi上x轴，垂足为8,由题意可得：OA=1,ZAOB=60°,

二,AB=B,一段弧线长为更区卫=生，.•.＜（!，立），

22180322

设第〃秒运动到勺5为自然数）点，

观察，发现规律:哈乌，2（1,0）,松|,-亭,文2,0）,£（|,当,

（竽，y）.心*式"+1，0），偌3（"，-亭，&+式2〃+2,0）.

.2021=4x505+1,二鸟⑼为（绘，当），故答案为：（等，当）.

【点睛】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出变化规律，本题属于中档题，难度不大，解

决该题型题目时，根据运动的规律找出点的坐标，根据坐标的变化找出坐标变化的规律是关键.

15.（2022秋・山东临沂•九年级统考期中）若关于x的一元二次方程d-3x+»+，"=0（相＞0）,当

“2=1,2,3,,2022时，相应的一元二次方程的两根分别记为囚，自;。2，/72；；。2022,夕2022,则

111111

—+方+—+/+----+濡一的值为

a\P\a2Pla2O22夕2022

6066

【答案】

2023

【分析】利用根与系数的关系得到4+4=3,1分=1x2；%+尾=3,四=2x3；…％022+&）22=3,

4022夕2侬=2022x2023：把原式变形，再代入，即可求出答案.

【详解】解：・・・f一31+机2+〃7=0,〃？=1,2,3,,2022,

工由根与系数的关系得:%+4=3,名优=1x2；4+22=3,%A=2x3；…。皿+月皿二?，

%02222022=2022X2023；

・I百弋-%+川+%+62+%022+62022_3+3+____3____

一小,一%仇a2p2.…4»2262022—而2^3….2022x2023

6066

—I--------F....-----------------=3x1-----------=3x---------=--------故答案为:

22320222023；I2023)202320232023

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若天,乙是一元二次方程"2+^+c=°（aw°）的两根

bc

时，X1+%=----，百/二一

2aa

16.（2022秋・河南信阳•九年级统考期中）如图，在正方形A8CD中，顶点A（-5,0）,C（5,10）,点尸是BC的

中点，CD与y轴交于点E,4"与8E交于点G,将正方形438绕点。顺时针旋转，每次旋转90。，则第

2023次旋转结束时，点G的坐标为.

【答案】（T，3）

【分析】根据正方形的性质得到A8=8C=CD=10,ZC=ZABF=9Q°,根据全等三角形的性质得到

NBAF=NCBE,根据余角的性质得到NBGF=90。，过G作于打，根据相似三角形的性质得到

BH=2,根据勾股定理得到HG=4,求得G（3,4）,找出规律即可得到结论.

【详解】解：四边形A3C。是正方形，，AB=3C=8=10,ZC=ZABF=90°,

点F是BC的中点，C。与y轴交于点E,:.CE=BF=5,ABF^BCE(SAS),:"BAF=NCBE,

ZBAF+ZBFA=90°,:.NFBG+NBFG=90。，.•.ZBGF=90°,:.BE±AF-

_______________AB-BFr-

AF=ylAB2+BF2=V102+52=5>/5>：-BG=———=2yj5,过G作G”_LAB于"，

Ar

:"BHG=ZAGB=90。,/HBG=ZABG,:./\ABG^^GBH,

BGBH（2_________

,•~Y^=~^：，♦.BG2=BHAB，.BH=\1/-=2,；.HG=」BG2-BH?=4,..6（3,4）,

ADDLJ■•|Q

将正方形ABC。绕点。顺时针旋转，每次旋转90。，

•••第一次旋转90。后对应的G点的坐标为（4,-3）,

第二次旋转90。后对应的G点的坐标为（-3,-4）,

第三次旋转90。后对应的G点的坐标为（Y,3）,

第四次旋转90。后对应的G点的坐标为（3,4），…，

2023=4x505+3,.•.每4次一个循环，第2023次旋转结束时，相当于正方形他CD绕点。顺时针旋转3

次，，第2023次旋转结束时，点G的坐标为（T,3）,故答案为：（T,3）.

【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形变换一旋转，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确

的理解题意是解题的关键.

17.（2022秋・湖南岳阳•九年级校考阶段练习）如图，点A、&、&…在反比例函数（x>0）的图象

X

上，点旦、员…在y轴上，且NBQA=NB,g&=NB/，A,…，直线尸x与双曲线>=，交于点4,

X

g,32\±B}A2,B3A3±B2Ay...则420的坐标是.

【答案】（0,4师）

【分析】由题意可知、。4月，一,B,&B,,…，都是等腰直角三角形，设儿，4点坐标，代入y=，

X

中计算求解，然后求出。品OB2,。鸟的值，探究一般性规律，利用规律解决问题即可得出结论.

【详解】解：由题意，0A综用4与，B2AB3,…,都是等腰直角三角形，

.4（1,1）,。4=2,设A?的横坐标为机，则纵坐标为：2+〃？，故4（n2+〃?），

由于点4在尸：上，则有〃?（2+，力=1,解得网=6—1,1（舍去）,

O叫=04+2加=20，设43（〃，6Z+2V2）,由于点A3在，=：上则有a（a+2&）=l,

解得a=6-&,AOB,=OB2+2a=2>j3,同法可得，。4=2",：.OB=2^，

.•.8“（0,24），.-.5,^（0,272020）,即82020（。，4历）故答案为：（0,47505）.

【点睛】本题结合反比例函数考查了点坐标的规律探究.解题的关键在于先求解与、与、鸟…的坐标，推

导一般性规律，再利用规律求解.

18.（2022•山东日照•校考二模）在直角坐标系中，直线/：y=gx_g与x轴交于点片，以。片为边长作等

边\\OBy,过点A作A为平行于x轴，交直线/于点当,以为边长作等边A4AB2，过点人作A与平行于

X轴，交直线/于点飞,以&与为边长作等边A434鸟，，则等边3782m7的边长是.

【分析】先从特殊得到一般探究规律后，利用规律解决问题即可.

【详解】•.•直线Ly=旦.直与X轴交于点为，

33

4(1,0),OB、=£,0aBi边长为左,

直线/：y=3》一迫与X轴夹角为30。，？44。60?,AZA,B,B2=90°,

33

[4”.轴,NO4A=ZB1A82=60。,Z,4B,B=30°,

.•.482=2481=2,的边长为2,

2

同理可得：A2B,=2AB2=2,△劣鸟人的边长为2"

由此变化规律可得：44+西向的边长是2"，

./6&。”/7的边长为2236,故答案为：22"6.

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质的运用，解决问题的关键是依据

等边三角形的性质找出规律，求得的边长为2".

19.(2022秋•广东惠州•九年级校考阶段练习)抛物线丫=〃(〃+1)/-(3〃+1卜+3与直线)，=-m+2的两个交

点的横坐标分别是阳，巧，记4=归-马则代数式4+&+4++d刈8的值为

,林2018

【答案】赤?

【分析】联立抛物线和直线的解析式，求得两个交点的横坐标，然后观察4,表达式的规律，根据规律进行

求解即可.

【详解】解：依题意，联立抛物线和直线的解析式得：〃(〃+1)/-(3〃+1)了+3=-皿+2,

整理得：w(n+l)x2_(2〃+l)x+l=0,即(/zx-l)[(n+l)x-l]=0,

解得：=—,x2=—^—,,当〃为正整数时，=h-^|=x)-x2=--5―,

n7?+1n7?4-lnw+1

20182018

4+4+”3++”2018故答案为:

20192019

【点睛】本题考查是二次函数的综合题，考查了二次函数的图像和性质，探索规律，根据表达式发现规律

是解题关键.

20.（2023♦湖北孝感•校考一模）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对表示第”行,

从左到右第加个数，如（4,6）表示15,则表示2023的有序数对是

第1行1

第2行234

第3行56789

第4行10111213141516

第5行171819202122232425

【答案】（45,88）

【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第〃行的第一个数字为1+从而求得最终的答案.

【详解】第1行的第一个数字：1=1+。-1）2,第2行的第一个数字：2=1+（2-1）2,

第3行的第一个数字：5=1+（3-1）2,第4行的第一个数字：10=1+（47）2,

第5行的第一个数字：17=1+（5-以.....设第〃行的第一个数字为x,得x=l+（〃-l）2,

设第〃+i行的第一个数字为z,得z=i+〃2,设第〃行，从左到右第，〃个数为y,

当y=2023时,1+（M-1）2<2023<1+M2,A（n-1）2<2022<n2,

•••”为整数，，〃=45,；.x=l+（〃-l）2=1936,...m=2023—1936+1=88：故答案为：（45,88）.

【点睛】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质.

21.（2023•山西晋中•统考一模）某公园内有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色

等腰直角三角形地砖排列而成.如图表示此步道的地砖排列方式，其中步道上总共使用84个三角形地砖,

那么连续排列的正方形地砖总共有个.

【答案】40

【分析】根据中间一个正方形对应两个等腰直角三角形，从而得出正方形地砖的个数.

【详解】解：步道上总共使用连续排列的正方形地砖：gx(84-3-l)=40(个).故答案为：40

【点睛】本题考查了等腰直角三角形：两条直角边相等的直角三角形叫做等腰宜角三角形.也考查了规律

型问题的解决方法，探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题.

22.(2023・湖北咸宁•校联考一模)我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，后人称它为“杨辉三角”,

它具有一定的规律性，从图中取一斜列数：1,3,6,10,15,,我们把第一个数记为q，第二个数记为电，

第三个数记为4,…第〃个数记为%,则q=.

【答案】g〃("+l)

【分析】根据前几个数的特点，找到规律，得出答案.

【详解】解：第一个数记为4=1,第二个数记为4=3=1+2,第三个数记为4=6=1+2+3,第四个数记

为q=10=1+2+3+4,….•.第”个数记为4=1+2+3+4++/=g〃(〃+l),故答案为：+

【点睛】本题主要考查数字的变化规律，找到变化规律是解题的关键.

23.(2022・四川成者除统考二模)已知4,=1-目^(〃=1,2,3,.)，定义a=《，瓦=4•%…，b“=4・%…-a”,

贝U4。22=•

345

【分析】根据题目要求分别求出4、%、4…等数据的结果分别为从而发现，分母逐渐加2；分

468

子逐渐加1;从而得到数字规律，再把"=2022代入式子进行计算即可.

【详解】解：Van=1-2(»=1,2,3,■),b,=%,b2=a,a2...,bn=at-a2...an,

.••^=7，2=之,4=:，从中发现：分子部分，第"个式子的〃+2；式子中的分母2("+1)，

468

,n+2,2022+21012ini?

""-2(n+l)'""=2022时，"-2x(2022+1)-2023.故.枭为：2023,

【点睛】本题考查数字类规律探究.认真算出每个式子的结果，找出分子分母与”之间的关系是解答关键.

24.(2022春・湖北十堰•九年级专题练习)元宵节，广场上要设计一排灯笼增强气氛，其中有一个设计由如

图所示图案逐步演变而成,其中圆圈代表灯笼,n代表第n次演变过程,s代表第n次演变后的灯笼的个数.仔

【答案】7

【分析】根据图形的变化规律，结合数字规律列出式子求解即可.

2

【详解】解：•••$=1,S?=$+3=4=3?(21)+1,S3=52+6=10=3?(21)+1,

S,=$3+6=22=3?⑵1)+1,S„=3?(2"-'1)+1二当5=190时,3?(2"-11)+1=190,解得〃=7,

故答案为：7.

【点睛】本题考查了图形和数字规律，解题的关键是找到合适的规律列出代数式.

25.(2022•山东德州♦统考二模)如图所示，将形状大小完全相同的“■”按照一定规律摆成下列图形，第1

幅图中“■”的个数为4,第2幅图中“■，的个数为由，第3幅图中，■，的个数为生，以此类推,

20222022202220222022

~一的值为.

W2021

口口口口口

口口口口口口口口口

口口口口口口口

口口口口口口口口口口

口口口口口口口口口

第1幅图第2幅图第3幅图第4幅图

【答案】2021

【分析】由图可知4=1x2,%=2x3,“3=3x4,%=4X5,...:由此可知4="(〃+1),然后问题可求解.

【详解】解：由图可知：4=lx2,%=2x3,4=3x4,4=4x5,

/\1_1_11

4="(〃+1),，7=而刑=不后

・2022+2022+2022+2022++%=些+些+些+些++2022

—I1x22x33x44x52021x2022

-L1111111

2022x1-----F------+------+------+=2022x^=2021；故答案为2021.

I2233445

【点睛】本题主要考查图形规律问题及有理数的混合运算，熟练掌握图形规律问题及有理数的混合运算是

解题的关键.

26.（2022•陕西宝鸡•统考二模）数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学领域，比如在学习

化学的爵类分子式中，甲醇分子式为CHQH,乙醇分子式为C2H5OH,丙醇分子式为C3H70H…，设碳原

子的数目为〃（〃为正整数），则醇类的分子式可以用式子来表示.

【答案】C„H2n+1OH

【分析】设碳原子的数目为n（〃为正整数）时，氢原子的数目为“％列出部分刖的值，根据数值的变化

找出变化规律“加=2〃+1”，依次规律即可解决问题.

【详解】解：设碳原子的数目为〃（〃为正整数）时，氢原子的数目为

观察，发现规律：“尸3=2x1+1,42=5=2x2+1,43=7=2x3+1,…，/.an=2n+1.

二碳原子的数目为〃（〃为正整数）时，它的化学式为C〃42〃+/。从

故答案为：CnHin+lOH.

【点睛】本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出变化规律%"=2〃+1”.本题属于基础题,

难度不大，解决该题型题目时，根据碳原子的变化找出氢原子的变化规律是关键.

27.（2022•四川成都•统考二模）甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1,乙报2,丙报3,

再甲报4,乙报5,丙报6,…依次循环反复下去，当报出的数为2022时游戏结束，若报出的数是偶数，则

该同学得1分，若报出的数是奇数，则该同学不得分.当报数结束时，甲同学的得分是分.

【答案】337

【分析】根据题意可得甲报出的第1个数为1,第2个数为1+3=4,第3个数为"3x2=7,第4个数为

1+3x3=10,…，第”个数为1+3（〃-1）,由l+3（〃T）=2022,可得甲报出了674个数，再观察甲报出的数总是

一奇一偶，所以偶数有674+2=337个，由此得出答案即可.

【详解】解：甲报的第1个数为1,第2个数为1+3=4,第3个数为l+3x2=7,

第4个数为1+3x3=10....第〃个数为l+3（n-l）=3n-2,

根据题意得：3〃-2=2022,2024+3=674…2,故甲报出了674个数，

观察甲报出的数可知：总是一奇一偶，

所以偶数有674+2=337（个），故得337分.故答案为：337.

【点睛】本题考查数字的变化规律：熟练掌握通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化

的因素，然后推广到一般情况的方法.

28.（2022•陕西宝鸡•统考一模）如图所示的圆球三角垛自上而下，第1层1个，第2层1+2个，第3层1+2+3

个，……如果图中三角垛共6层，则这个圆球三角垛的最下方一层的圆球个数为个.

【答案】21

【分析】根据三角垛的规律可知，最低层即第6层的圆球个数为：1+2+3+4+5+6=21（个）.

【详解】解：根据三角垛的规律可知，最低层即第6层的圆球个数为：1+2+3+4+5+6=21（个）

故答案为：21

【点睛】本题考查图形的规律计算，解题的关键是准确理解题意得出规律.

29.（2023•山东青岛・统考模拟预测）【问题提出】

相传古印度一座梵塔圣殿中铸有一片巨大的黄铜板，之上树立了3根宝石柱，如果将这64个金盘按上述要

求全部从1柱移动到3柱，但是每次只能移动1个金属片，且较大的金属片不能放在较小的金属片上面.则

至少需要移动多少次？

【问题探究】

为了探究规律，我们采用一般问题特殊化的方法，先从简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性结

论.

设〃（"）是把〃个金盘从1柱移动到3柱过程中的最少移动次数.

探究一：当〃=1时，显〃⑴=1然力（1）=1.

探究二：当〃=2时，如图①所示.

1柱2柱3柱1柱2柱3柱

rHh小金盘一2柱大金盘一3柱小金盘从2柱-3柱

1柱2柱3柱（霜移动1；欠）

（需移动1次）（需移动1次）完成

图①

探究三：当〃=3时，如图②所示.

他r-U京

1柱2柱3柱1柱2柱3柱

先用M2）的方法把小、再将大金盘-3柱最后再用M2）的方

中两金盘移动到2柱（需移动1次）法把小、中两金盘

（需移动3次）从2柱f3柱（需移

动3次）完成

图②

探究四：当〃=4时，先用秋3）的方法把较小的3个金盘移动到2柱，再将最大金盘移动到3柱，最后再用

力（3）的方法把较小的3个金盘从2