寒假高中知识点-线椭

智建领航者智建领航者第2课时直线与椭圆题型一直线与椭圆的位置关系1．若直线y＝kx＋1与椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1总有公共点，则m的取值范围是()A．m>1 B．m>0C．0<m<5且m≠1 D．m≥1且m≠5答案D解析方法一由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0<eq\f(1,m)≤1且m≠5，故m≥1且m≠5.方法二由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,mx2＋5y2－5m＝0，))消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，由于m>0且m≠5，∴5k2＋m－1≥0，∴m≥1且m≠5.2．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．解将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋m，①,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，②))将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ>0，即－3eq\r(2)<m<3eq\r(2)时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m＝±3eq\r(2)时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m<－3eq\r(2)或m>3eq\r(2)时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法(1)(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．题型二弦长及中点弦问题命题点1弦长问题例1(1)已知斜率为2的直线经过椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的右焦点F，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________．答案eq\f(5\r(5),3)解析方法一由题意知，椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，))消去y，得3x2－5x＝0，解得x＝0或eq\f(5,3)，设A(0，－2)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(4,3)))，则|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(5,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2－\f(4,3)))2)＝eq\f(5\r(5),3).方法二由题意知，椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，))消去y得3x2－5x＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(5,3)，x1x2＝0，则|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(1＋22\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))2－4×0)))＝eq\f(5\r(5),3).(2)斜率为1的直线l与椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A．2B.eq\f(4\r(5),5)C.eq\f(4\r(10),5)D.eq\f(8\r(10),5)答案C解析设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4y2＝4，,y＝x＋t，))消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，又Δ＝(8t)2－16(t2－1)×5>0，得t2<5，则x1＋x2＝－eq\f(8,5)t，x1x2＝eq\f(4t2－1,5).∴|AB|＝eq\r(2)|x1－x2|＝eq\r(2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)t))2－4×\f(4t2－1,5))＝eq\f(4\r(2),5)·eq\r(5－t2)，当t＝0时，|AB|max＝eq\f(4\r(10),5).命题点2中点弦问题例2已知P(1,1)为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________________．答案x＋2y－3＝0解析方法一易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－1＝kx－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，∴x1＋x2＝eq\f(4kk－1,2k2＋1)，又∵x1＋x2＝2，∴eq\f(4kk－1,2k2＋1)＝2，解得k＝－eq\f(1,2).经检验，k＝－eq\f(1,2)满足题意．故此弦所在的直线方程为y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.方法二易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\f(x\o\al(2,1),4)＋eq\f(y\o\al(2,1),2)＝1，①eq\f(x\o\al(2,2),4)＋eq\f(y\o\al(2,2),2)＝1，②①－②得eq\f(x1＋x2x1－x2,4)＋eq\f(y1＋y2y1－y2,2)＝0，∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴eq\f(x1－x2,2)＋y1－y2＝0，又x2－x1≠0，∴k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,2).经检验，k＝－eq\f(1,2)满足题意．∴此弦所在的直线方程为y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.思维升华(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及中点弦的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．记住必须检验．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])或|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2])(k为直线斜率)．(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．跟踪训练1(1)已知椭圆两顶点A(－1,0)，B(1,0)，过焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C，D两点，当|CD|＝eq\f(3\r(2),2)时，则直线l的方程为________________．答案eq\r(2)x－y＋1＝0或eq\r(2)x＋y－1＝0解析由题意得b＝1，c＝1.∴a2＝b2＋c2＝1＋1＝2.∴椭圆方程为eq\f(y2,2)＋x2＝1.当直线l的斜率不存在时，|CD|＝2eq\r(2)，不符合题意．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋1，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＋2x2＝2，))得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0.Δ＝8(k2＋1)>0恒成立．设C(x1，y1)，D(x2，y2)．∴x1＋x2＝－eq\f(2k,k2＋2)，x1x2＝－eq\f(1,k2＋2).∴|CD|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\f(2\r(2)k2＋1,k2＋2).即eq\f(2\r(2)k2＋1,k2＋2)＝eq\f(3\r(2),2)，解得k2＝2，∴k＝±eq\r(2).∴直线l的方程为eq\r(2)x－y＋1＝0或eq\r(2)x＋y－1＝0.(2)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是________．答案eq\f(\r(3),2)解析设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知yM＝－eq\f(b2,a2k)xM，代入k＝1，M(－4，1)，解得eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，e＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\f(\r(3),2).题型三直线与椭圆的综合问题例3(2020·天津)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，－3)，右焦点为F，且|OA|＝|OF|，其中O为原点．(1)求椭圆的方程；(2)已知点C满足3eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点．求直线AB的方程．解(1)由已知可得b＝3，记半焦距为c，由|OF|＝|OA|可得c＝b＝3，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝18，所以椭圆的方程为eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以AB⊥CP.依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在．设直线AB的方程为y＝kx－3.联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－3，,\f(x2,18)＋\f(y2,9)＝1，))消去y可得(2k2＋1)x2－12kx＝0，解得x＝0或x＝eq\f(12k,2k2＋1).依题意，可得点B的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12k,2k2＋1)，\f(6k2－3,2k2＋1))).因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0，－3)，所以点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6k,2k2＋1)，\f(－3,2k2＋1))).由3eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))，得点C的坐标为(1,0)，故直线CP的斜率为eq\f(\f(－3,2k2＋1)－0,\f(6k,2k2＋1)－1)＝eq\f(3,2k2－6k＋1).又因为AB⊥CP，所以k·eq\f(3,2k2－6k＋1)＝－1，整理得2k2－3k＋1＝0，解得k＝eq\f(1,2)或k＝1.所以直线AB的方程为y＝eq\f(1,2)x－3或y＝x－3，即x－2y－6＝0或x－y－3＝0.思维升华(1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解．(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．跟踪训练2已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，短轴的两个端点分别为B1，B2.(1)若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且eq\o(F1P,\s\up6(→))⊥eq\o(F1Q,\s\up6(→))，求直线l的方程．解(1)由题意知，△F1B1B2为等边三角形，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝\r(3)b，,c＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－b2＝3b2，,a2－b2＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(4,3)，,b2＝\f(1,3)，))故椭圆C的方程为eq\f(3x2,4)＋3y2＝1.(2)易知椭圆C的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1，当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,\f(x2,2)＋y2＝1，))得(2k2＋1)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，Δ＝8(k2＋1)>0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(4k2,2k2＋1)，x1x2＝eq\f(2k2－1,2k2＋1)，eq\o(F1P,\s\up6(→))＝(x1＋1，y1)，eq\o(F1Q,\s\up6(→))＝(x2＋1，y2)，因为eq\o(F1P,\s\up6(→))⊥eq\o(F1Q,\s\up6(→))，所以eq\o(F1P,\s\up6(→))·eq\o(F1Q,\s\up6(→))＝0，即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋k2(x1－1)(x2－1)＝(k2＋1)x1x2－(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1＝eq\f(7k2－1,2k2＋1)＝0，解得k2＝eq\f(1,7)，即k＝±eq\f(\r(7),7)，故直线l的方程为x＋eq\r(7)y－1＝0或x－eq\r(7)y－1＝0.课时精练1．直线y＝x＋2与椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,3)＝1有两个公共点，则m的取值范围是()A．(1，＋∞) B．(1,3)∪(3，＋∞)C．(3，＋∞) D．(0,3)∪(3，＋∞)答案B解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,\f(x2,m)＋\f(y2,3)＝1，))得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.由Δ>0且m≠3及m>0，得m>1且m≠3.故选B.2．直线y＝kx－k＋1与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的位置关系为()A．相交 B．相切C．相离 D．不确定答案A解析由题意得直线y－1＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))恒过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1))，而点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1))在椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的内部，所以直线与椭圆相交．故选A.3．直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1截得的最大弦长是()A．2 B.eq\f(4\r(3),3)C．4 D．不能确定答案B解析直线恒过定点(0,1)，且点(0,1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)，则弦长为eq\r(x2＋y－12)＝eq\r(4－4y2＋y2－2y＋1)＝eq\r(－3y2－2y＋5)，当y＝－eq\f(1,3)时，弦长最大为eq\f(4\r(3),3).4．已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点为M(1，－1)，则椭圆E的方程为()A.eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1 B.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1C.eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,18)＝1 D.eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1答案D解析kAB＝eq\f(0＋1,3－1)＝eq\f(1,2)，kOM＝－1，由kAB·kOM＝－eq\f(b2,a2)，得eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，∴a2＝2b2.∵c＝3，∴a2＝18，b2＝9，∴椭圆E的方程为eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.5．(多选)设椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是()A．|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(2)B．离心率e＝eq\f(\r(6),2)C．△PF1F2面积的最大值为eq\r(2)D．以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－eq\r(2)＝0相切答案AD解析对于A选项，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，所以A选项正确；对于B选项，依题意a＝eq\r(2)，b＝1，c＝1，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以B选项不正确；对于C选项，|F1F2|＝2c＝2，当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积取得最大值为eq\f(1,2)·2c·b＝c·b＝1，所以C选项错误；对于D选项，以线段F1F2为直径的圆的圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0))，半径为c＝1，圆心到直线x＋y－eq\r(2)＝0的距离为eq\f(\r(2),\r(2))＝1，即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－eq\r(2)＝0相切，所以D选项正确．综上所述，正确的为AD.6．(多选)已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1的左、右两个焦点分别为F1，F2，直线y＝kxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k≠0))与C交于A，B两点，AE⊥x轴，垂足为E，直线BE与C的另一个交点为P，则下列结论正确的是()A．四边形AF1BF2为平行四边形B．∠F1PF2<90°C．直线BE的斜率为eq\f(1,2)kD．∠PAB>90°答案ABC解析对于A，根据椭圆的对称性可知，|OF1|＝|OF2|，|OA|＝|OB|.故四边形AF1BF2为平行四边形．故A正确；对于B，根据椭圆的性质，当P在上、下顶点时，|OP|＝b＝eq\r(2)＝c.此时∠F1PF2＝90°.由题意可知P不可能在上下顶点，故∠F1PF2<90°.故B正确；对于C，如图，不妨设B在第一象限，则直线BE的斜率为eq\f(|BD|,|ED|)＝eq\f(|BD|,2|OD|)＝eq\f(1,2)k，故C正确；对于D，设P(x1，y1)，A(x2，y2)，则B(－x2，－y2)，所以kAP·kBP＝eq\f(y1－y2,x1－x2)·eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(x\o\al(2,1),2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(x\o\al(2,2),2))),x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2))＝－eq\f(1,2).又由C可知直线BP的斜率为eq\f(1,2)k，故kAP＝eq\f(－\f(1,2),\f(1,2)k)＝－eq\f(1,k).所以kAP·kAB＝－eq\f(1,k)·k＝－1.故∠PAB＝90°.故D错误．故选ABC.7．已知椭圆eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的右顶点为A(1,0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为________．答案eq\f(y2,4)＋x2＝1解析因为椭圆eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1的右顶点为A(1,0)，所以b＝1，焦点坐标为(0，c)，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以eq\f(2b2,a)＝1，a＝2，所以椭圆方程为eq\f(y2,4)＋x2＝1.8．已知椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝eq\f(4\r(2),3)，则实数m的值为_____．答案±1解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝x＋m，))消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(4m,3)，x1x2＝eq\f(2m2－2,3).由题意，得eq\r(2x1＋x22－8x1x2)＝eq\f(4\r(2),3)，解得m＝±1.9．已知F为椭圆C：eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦点，过F的直线l交椭圆C于A，B两点，M为AB的中点，则M到x轴的最大距离为________．答案eq\f(\r(3),3)解析因为a2＝6，b2＝2，所以椭圆的右焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，0)).设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，y1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，y2))，直线l：x＝ty＋2(显然当直线斜率为0时，不可能最大)，与椭圆方程联立得，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2＋3))y2＋4ty－2＝0，Δ＝16t2＋8(t2＋3)>0恒成立，所以y1＋y2＝－eq\f(4t,t2＋3)，即弦AB的中点M的纵坐标为eq\f(y1＋y2,2)＝－eq\f(2t,t2＋3)，所以M到x轴的距离为eq\f(2|t|,t2＋3).当t≠0时，eq\f(2|t|,t2＋3)＝eq\f(2,|t|＋\f(3,|t|))≤eq\f(2,2\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，当且仅当t2＝3时等号成立，故M到x轴的最大距离为eq\f(\r(3),3).10．(2021·衡水调研)与椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1有相同的焦点且与直线l：x－y＋3＝0相切的椭圆的离心率为________．答案eq\f(\r(5),5)解析因为所求椭圆与椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1有相同的焦点，所以可设所求椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2－1)＝1(a>1)，联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,a2－1)＝1，,y＝x＋3))⇒(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，因为直线l与椭圆相切，所以Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)＝0，化简得a4－6a2＋5＝0，即a2＝5或a2＝1(舍)．则a＝eq\r(5).又c＝1，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5).11．(2021·武汉调研)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为eq\f(\r(2),2)，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为eq\f(\r(10),3)时，求k的值．解(1)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,a2＝b2＋c2，))得b＝eq\r(2)，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(4k2,1＋2k2)，x1x2＝eq\f(2k2－4,1＋2k2)，所以|MN|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\f(2\r(1＋k24＋6k2),1＋2k2).又点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝eq\f(|k|,\r(1＋k2))，所以△AMN的面积S＝eq\f(1,2)|MN|·d＝eq\f(|k|\r(4＋6k2),1＋2k2)，由eq\f(|k|\r(4＋6k2),1＋2k2)＝eq\f(\r(10),3)，得k＝±1，满足Δ>0.所以当△AMN的面积为eq\f(\r(10),3)时，k＝±1.12．设F1，F2分别是椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，E的离心率为eq\f(\r(2),2)，点(0,1)是E上一点．(1)求椭圆E的方程；(2)过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，且eq\o(BF1,\s\up6(→))＝2eq\o(F1A,\s\up6(→))，求直线BF2的方程．解(1)由题意知，b＝1，且e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,2)，解得a2＝2，所以椭圆E的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，故可设直线AB的方程为x＝my－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋y2＝1，,x＝my－1，))得(m2＋2)y2－2my－1＝0，则y1＋y2＝eq\f(2m,m2＋2)，①y1y2＝－eq\f(1,m2＋2)，②因为F1(－1,0)，所以eq\o(BF1,\s\up6(→))＝(－1－x2，－y2)，eq\o(F1A,\s\up6(→))＝(x1＋1，y1)，由eq\o(BF1,\s\up6(→))＝2eq\o(F1A,\s\up6(→))可得，－y2＝2y1，③由①②③可得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，±\f(\r(14),4)))，则＝eq\f(\r(14),6)或－eq\f(\r(14),6)，所以直线BF2的方程为eq\r(14)x－6y－eq\r(14)＝0或eq\r(14)x＋6y－eq\r(14)＝0.13．(多选)设点F1，F2分别为椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左、右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝m成立的点恰好是4个，则实数m的值可以是()A.eq\f(1,2)B．2C．3D．4答案BCD解析因为点F1，F2分别为椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左、右焦点，a2＝9，b2＝5，c2＝4，c＝2，即F1(－2,0)，F2(2,0)．设P(x0，y0)，eq\o(PF1,\s\up6(→))＝(－2－x0，－y0)，eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(2－x0，－y0)，由eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝m，可得xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝m＋4，又因为P在椭圆上，即eq\f(x\o\al(2,0),9)＋eq\f(y\o\al(2,0),5)＝1，所以xeq\o\al(2,0)＝eq\f(9m－9,4)，要使得eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝m成立的点恰好是4个，则0<eq\f(9m－9,4)<9，解得1<m<5，所以m的值可以是2,3,4，故选BCD.14．设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)长轴的端点分别为A，B.点C为椭圆上异于A，B的一点，若将△ABC的三内角记为A，B，C，且满足3tanA＋3tanB＋tanC＝0，则tanA·tanB的值为________，椭圆的离心率为________．答案eq\f(2,3)eq\f(\r(3),3)解析方法一∵3tanA＋3tanB＋tanC＝0，∴3tan(A＋B)(1－tanAtanB)＋tanC＝0，∴－3tanC(1－tanAtanB)＋tanC＝0.∵tanC≠0，∴tanAtanB＝eq\f(2,3).设C(x，y)，A(－a,0)，B(a,0)，则eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1.∵tanAtanB＝eq\f(2,3)，∴－eq\f(y,x＋a)·eq\f(y,x－a)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(－y2,x2－a2)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(y2,\f(a2,b2)y2)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(a2－c2,a2)＝eq\f(2,3)，∴e＝eq\f(\r(3),3).方法二设点C(0，b)，则有tanA＝tanB＝eq\f(b,a)，由A＋B＋C＝π得，tanC＝－tan(A＋B)＝－eq\f(tanA＋tanB,1－tanA·tanB)＝eq\f(－\f(2b,a),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\f(2ab,b2－a2)，又知3tanA＋3tanB＋tanC＝0，∴tanC＝－3·(tanA＋tanB)＝－eq\f(6b,a)，因此可得eq\f(2ab,b2－a2)＝－eq\f(6b,a)，即6(b2－a2)＝－2a2，∴3b2＝2a2，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(2,3)，即tanA·tanB＝eq\f(2,3)，该椭圆的离心率e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\r(1－\f(2,3))＝eq\f(\r(3),3).15．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，斜率为－eq\f(1,2)的直线l与椭圆C交于A，B两点．若△ABF1的重心为Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,6)，\f(c,3)))，则椭圆C的离心率为_____．答案eq\f(\r(6),3)解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\f(x\o\al(2,1),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(2,2