2022年高考数学模拟自测题（根据以往高频出现知识点编辑）12

2022年高考数学模拟自测题(根据以往高频出现知

识点编辑)_016

单选题(共8个，分值共：)

1、如图所示的木质正四棱锥模型「一旗CD,过点A作一个平面分别交「鸟,PCPO于点£,尸，G,若

PE3PF1PG

A.4B.3c.4D.5

答案：C

解析：

以AC、BD交点。为坐标原点，射线。A、。8、OP为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，设尸(°，°功)，

A(a,(),O),8(()«,0),£>((),-4,0),°(-4。，。)g、b>0),进而写出丽、而、丽、初坐标，可得越，

PF,由4瓦£G四点共面有序=乂近+)，所+z市，设后=4而(0<力<1),求2值即可得答案.

【本题详解】

解：建立如图所示空间直角坐标系，设尸(°曾功)，«“,(),())，8((),“,O),£>(O,_a,O),0(一a。。)g、"0),

PB=(O,a,-b)PC=(-a,O,-b)PD=^-a,-h)PA=(a,O-b)

P£=-PB=fo.—PF=-PC=f--,O,--l

由题意AE，RG四点共面，则有不=》庵+»而+z际，其中X+y+z=l,

前=/I历=（0,—就,一4），Xe（O,l）

（4,0,询=x（o,网T）+y（，,O,4z（O,.i）=（一丝，"如一"型fz

,155J122J12552

y=-2

公o3x

。-

5-zlz=0

空

匕3-x

-25-+2z=l

2A=3

由方程组lK）'+z=,即［x+y+z=\,解得W,

所以PD~4,

所以正确答案为：C.

2、曲线丫=2%）》+3过点（一表0）的切线方程是（）

A.2%+y4-1=OB.2%—y4-1=0

C.2%+4y+1=0D.2%—4y+1=0

答案：B

解析：

设出切点，结合导数列方程，由此求出切点坐标并求出切线的斜率，进而可得切线方程.

【本题详解】

由题意可得点（-表0）不在曲线y=2xlnx+3±,

设切点为（xo，yo）,因为y=2lnx+2,

所以所求切线的斜率k=2lnx0+2=乌=

X0+T2XQ+1

所以Vo=2xolnxo+2x0+lnx0+1.

2

因为点(%0，尢)是切点,所以>0=2xQlnxQ+3,

所以2%o仇Xo+2%0+仇+1=2xolnxQ+3,BP2x0+lnx0-2=0.

设f(%)=2x4-Inx-2,明显f(%)在(0,+8)上单调递增,且/(1)=0,

所以2&+lnx0-2=0有唯一解出=1,则所求切线的斜率k=2,

故所求切线方程为y=2(久+3=2x+1.

所以正确答案为：B.

3、若函数f(x)=sin(3x+9(3>0)在(一59有最大值无最小值，则3的取值范围是()

A-(?SB-(?9C-(?T)D-G-T]

答案：B

解析:

求出5+标(-詈+，詈+9根据题意结合正弦函数图象可得答案.

【本题详解】

..-(nn\.,yr_/7ta)nno)n\

.XE[——，一，..tOX+-GI--------+t—，----tF-,

V4,4/6\46‘467

根据题意结合正弦函数图象可得

{,解得

所以正确答案为：B.

f(x)=3sin(2x-^

4、函数的最小正周期为)

7in

A.4B.2c.万D.2万

答案：B

解析：

y=3sin2x——/(x)=3sin2x---

根据【6J的周期及V的图象可得周期

【本题详解】

y=3sin(2x-g]7'=—=^

由I6J的周期为2,

/(x)=3sin(2x-?y=3sin(2%-^-

因为的图象是图象在X轴下方的图象翻折到X轴上方，X轴上方的保持

不变,

f(x)=3sin(2x=

的周期为2.

所以

3

所以正确答案为：B

5、椭圆9+9=1中以点M（2,1）为中点的弦所在直线斜率为（）

答案：A

解析：

先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率.

【本题详解】

设弦的两端点为y，，B（X2,y2）,

（五+或=1

代入椭圆得19?2,

惮+理=1

V92

两式相减得鱼2弩及2+仪!二及学境）=0,

艮0（工1—42）（必+欠2）__（%一加）（%+%）

2（欠1+小）_%一乃,

'9（乃+为）-%L%2'

即_四=上及，

9x2x1-x2

即左孚=，，

X1-X29

二弦所在的直线的斜率为-3

所以正确答案为:A.

6、倾斜角为135。的直线，与抛物线y2=8x相切，分别与x轴、y轴交于4B两点，过A,B两点的最小圆截抛

物线y2=8%的准线所得的弦长为（）

A.4B.2C.2V2D.V2

答案：B

解析：

由题可求直线l:y=-x-2,进而可得圆的方程为（x+l）2+（y+1）2=2,再利用弦长公式即求.

【本题详解】

由题可设直线的方程l：y=-x+t,

y=—%4-t

{y2=8x，得y+8y-8t=0，

「•4=8?—4x（-8t）=0,解得t——2,

l\y=—x—2,

令y=0，得％=—2,令y=0,得％=—2,即4（—2,0）,8（0,—2）,

过4,8两点的最小圆即以48为直径的圆，其圆心为（一1,一1）,半径为VL方程为（％+1）2+@+1）2=2,

又抛物线/=8%的准线为％=-2,

4

过4B两点的最小圆截抛物线必=8x的准线所得的弦长为=2.

所以正确答案为：B.

7、正方体4BCD-&8传也的棱48和45的中点分别为E,F,则直线E尸与平面44山1。所成角的正弦值为

（）

A.立B.在C.在D.至

3366

答案：C

解析：

根据正方体的特征，通过辅助线，找到直线EF与平面所成角，然后计算正弦值即可.

【本题详解】

如图，连接AF,

因为在正方体4BCD-&B1GD1中，4B1平面4415。，

故E4_L平面441。］。，则ZE凡4为直线EF与平面所成角，

设正反体棱长为2,则4F=再,EF=乃,ZE=1,

故在Rt△EAF中，sin^EFA=祭=?,

所以正确答案为：C,

8、在新冠肺炎疫情期间，巴中某学校定期对教室进行药熏消毒（消杀师傅进入教室学生就出教室）.教室内

每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间t（单位：小时）的变化情况如图所示.在药物释放的过程

中，y与t成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=10a-t（0为常数）.据测定，当空气中每立方米

的含药量降低到0.2毫克以下时，学生方可进入教室.那么，从消杀师傅进入教室开始到学生能回到教室，至

少在（）（参考数值仞2a0.30103）

5

A.48分钟后B.42分钟后

C.54分钟后D.60分钟后

答案：A

解析：

根据函数图象求出t20.1时的函数解析式，即求出a的值，再解不等式求得答案.

【本题详解】

把点(0.1,1)代入y=ioa-t中，1=10-1,解得a=0.1.

所以当t20.1时，y=10°1-t

因为当空气中每立方米的含药量降低到0.2毫克以下时，学生方可进入教室

所以10°T-t<0.2,解得t>1.1-lg2X0.8.

至少需要经过0.8x60=48分钟后，学生才能回到教室.

所以正确答案为：A.

多选题(共4个，分值共：)

9、设%是等差数列｛即｝的前几项和，若S7=Si3,且(n+l)Sn>nS"+i5eN*),则下列选项中正确的是()

A.an>Cln+lB.Si。和Sii均为先的最大值

C.存在正整数匕使得Sk=OD.存在正整数m,使得Sm=S37n

答案：ACD

解析：

设数列公差为d,根据已知条件57=S13和(71+1»„>715?1+式九6'*)判断公差正负，求出的和d关系，逐项

验证即可.

【本题详解】

设等差数列｛即｝公差为d,由S7=S13得7%+—4=13%+等4，化简得%。+。11=0；

,/(n+l)Sn>nSn+1(nGN*),

(ai+a；,"1],

・•・11S10>10S11，艮|]]]x>10xa1Q>an,

/.a10>0,an<0,/.d<0,故数列｛an｝为减数列，故A正确；

a

io+«ii=0,a10>0,an<0,故51()为%的最大值，故B错误；

a1Q+Qu=%+a2Q=0,故S20=(、六。"'。=0,故C正确；

Sm=s3m时，mQ]+一(；•d=3徵％+37n(3：D..,即2QI=(―4m+l)d,

又由Qio+=0得2%=-19d,

—19d=(—4m+l)d,解得m=5,故D正确.

所以正确答案为：ACD.

10、函数f(x)在[a,句上有定义，若对任意与，x2e[a,b],有/(空)2：[/01)+/(上)]，则称/(X)在[a,b]

上具有性质M,设f(x)在[1,2021]上具有性质M,则下列说法错误的是()

6

A.f(x)在［1,2021］上的图像是连续不断的

B./(/)在口,2021］上具有性质M

如血詈用

C.对任意右,冷，x3,x4G［1,2021］,有f()>J［/(xj+/(x2)+/(x3)+/(x4)］

D.若/'(x)在x=1011处取得最小值1011,则/(x)=1011,xG［1,2021］

答案：AB

解析：

AB选项可以举出反例，CD选项可以利用函数具有性质M,进行变形推出出结果.

【本题详解】

对于A,设在［1,2021］上具有性质M,但/⑺不连续，故A错误；

对于B,设/(x)=x,在［1,2021］上具有性质M,但/(7)=%2在口,2021］上不具备性质M,故B错误；

对于c，>1

f=fy+f

>；［/(%!)+/(X2)+/(X3)+/(%4)］，故C正确：

对于D由性质M得,当xe［1,2021］时，/(%)+/(2022-%)<2/(1011)=2022,又因为/'(x)21011,

/(2022-x)>1011,故/■(*)=1011,x£［1,2021］,D正确.

所以正确答案为：AB

11、在正方体ZBCD-AiBiGA中，点P在线段&C上运动，则下列结论正确的有()

A.直线BD11平面%G。

B.三棱锥P-&DB体积为定值

C.异面直线4P与aD所成角的取值范围是

D.直线与平面&CiO所成角的正弦值的最小值为当

答案：ABD

解析：

线面垂直的判定；线面平行的时候，顶点在线上，底面在平面内的时候，体积不变，因为高没变；计算异面

直线的夹角的取值范围；线面夹角可以通过线的平面法方向的夹角来确定.

【本题详解】

如下图所示，对于A：

因为底面传，u底面，故力传「又因为力修劣劣，当劣=故

BBi141AG4GBBi111BBrn41cl1

平面又因为BAu平面故AiG_LBDi，

同理可得为DIB。1，而&DnAiCi=&,故BQJ_平面46。，故A正确；

对于B：

因为8道||公。而&C仁平面&OB,占Ou平面4所以三棱锥P—体积为定值，故B正确；

对于C：

7

因为&0IIB1C,所以异面直线AP与40所成的角，就是AP与B]C所成的角，它的取值范围是E，,，故C

错误；

对于D：

延长GP交BBi于E,过E作EF||BDi，所以々GEF就是异面直线C】P和8久的夹角.因为直线BD】_L平面&G。,

所以直线CP与平面4GD所成角与/CiEF互为余角，当P点到达当(或C)的时候，由于&G||BC||

GC),异面直线GP与BD]所成角为ND】BCI(NDiBBJ,此时，它们的角最大，余弦值最小，故直线与直线

所成角的余弦值的最小值为半，即直线C/与平面4心0所成角的正弦值的最小值为毛，故D正确.

所以正确答案为：ABD

12、已知函数/(x)=a*(0<a<1),g(x)=/(x)-/(-x),对任意勺力到，则()

A./(Xi)/(X2)=/(X1X2)B.g(x)+g(-x)=0

2

C.Xig(xi)+x2g{x2)<与仪冷)+x2g(xx){).g(-t+t-l')>-gQ)(teR)

答案：BCD

解析:

对选项A,根据指数的运算性质即可；对选项B,可判断出g(x)是奇函数，即可判断；对选项C,通过作差法

比较即可；对选项D,根据函数g(x)的单调性和奇偶性转化不等式，再通过判别式即可判断.

【本题详解】

对选项A,f(%2)=产+也,/(%无2)=产制，所以正确答案为项A错误;

对选项B,5W=ax-a~x,g{-x)=a~x-ax,则g(x)+g(-久)=0,所以正确答案为项B正确;

_(力-X2)3、1-户2)(。、1+*2+1)

对选项C,+xg(.X2)-/9(%2)-%2以*1)

2QX1+%2

不妨设%i<%2»则a"】一a"?>0,故%0%1)+%2,(%2)<%1。(%2)+x2g(x1)9所以正确答案为项C正确;

对选项D,因为g(x)是奇函数，9(%)在(-8,+8)上递减

则要使g(—/+t—1)3—gG)QeR)怛成立

8

只需：5(-t2+t-1)>G)=g㈢

只需：一/+七―13—:

只需：4t2-4t+1>0

而4=0,故g(—t2+t—l)2—gC)QeR),所以正确答案为项D正确

所以正确答案为：BCD

填空题(共3个，分值共：)

13、已知函数/(x)=sin(3x+g)的图象关于直线x=m(0<m<n)对称，则m的最大值为.

答案：—it#

30

解析：

根据给定条件结合正弦函数的性质求出m的关系式，再根据所给范围计算作答.

【本题详解】

由3x+—=^-+/c7r(/cGZ)得函数/(x)=sin(3x+()图象的对称轴：上=0CZ),

依题意，m=+eZ),而0<m<7T,于是得k6{0,1,2},当k=2时，mmax=

所以m的最大值为鬻.

故答案为：篝

14、已知点P为双曲线?一y2=1的右支上一点，&,尸2分别为左、右焦点，0为坐标原点，过点入向NF】PF2的

平分线作垂线，垂足为Q，则|OQ|=.

答案：2

解析：

先由儿何关系得到|PFi|=1PMi及OQ为AMFiF2的中位线，再根据双曲线的定义即可求解.

【本题详解】

延长PF?交KQ于M,因为PQ为NF1PF2的平分线，且FiQJ.PQ,则IPFJ=|PM|,

则Q为F]M的中点，而。为RE的中点，所以OQ为△M&Fz的中位线，

所以|OQ|=||MF2|=|(|PM|-IPF2I)="|PFi|一|PaI)，

由双曲线的定义可知|PFi|—|P&|=2a,

2

又因为双曲线的方程为?v—y2=1,所以。2=4,即a=2,

所以|OQ|=：x2x2=2,

故答案为：2

9

15>化简遮sin(a—+cos—Q)=.

答案：2sin(a—2)

解析：

观察到a-g=-传-a)，故可以考虑直接用辅助角公式进行运算.

【本题详解】

y/Ssin(a—+cos―a)=y/Ssin(a——+cos(Q——2sin(a——+—cos(a——

71/71\71/7T\]717171

[cos—•sin(a一+s比5,cos(a——Jj=2sm(a—-+-)=2sin(a--)

故答案为：2s出(a—g).

解答题(共6个，分值共：)

16、如图，有一条宽为607n的笔直的河道(假设河道足够长)，规划在河道内围出一块直角三角形区域(图中

△ABC)养殖观赏鱼，AB1AC,顶点A到河两岸的距离力？=h1，4。=/12，。，8两点分别在两岸，1/2上，设

乙ABD=a.

(1)若a=30°,求养殖区域面积的最大值；

(2)现拟沿着养殖区域三边搭建观赏长廊(宽度忽略不计)，若担=30m，求观赏长廊总长f(a)的最

小值.

答案：

(1)600V3m2；

(2)60(72+

解析：

10

(1)由题可得SAABC=专砥九2，再利用基本不等式即得：

(2)由题可知7•9)=30(*土卫匚)，利用同角关系式可转化为y=T，然后利用函数的单调性即求.

''/\sinacosa//t-1

(1)

当。=30。时，AB=-^-=2h2lAC=-^-=

stnacosa<3

所以另谢="方."=’岫2,

又因为无1+电=60N2/九1九2(当且仅当九1=电=30时等号成立)，

所以比九24900,

于是SMBC='九1八2—600>/3,

因此，养殖区域面积的最大值为600百62

(2)

由题意，AB=—,AC=—

sinacosa

所以BC=J(旦)+(3_)2,P-+，=3。，

\\sina/\cosa/勺sin2acos2asinacosa

所以△ABC的周长f(a)=30(—+—+—1—)=30(陋±经竺1),

\sinacosasinacosa/\sinacosa/

其中aG(0,§.

设t=sina+cosa,则t=sina+cosa=y[2sin(a+：)E(1,V2],

所以sinacosa=

2

所以y=30•玛=普，

It-1

2

于是当1=近时，ymin=^=60(V2+l),即/(a)min=60(&+l),

因此，观赏长廊总长的最小值为60(«+l)m.

17、已知/'(x)=2sin(a)x+w)(co>0,<(p<0)的最小正周期为27r.

在①/⑶的图象过点停,1)，②/⑶的图象关于直线％=与对称，③f(x)的图象关于点弓,0)对称，这三个

条件中任选一个，补充到横线上，并解答问题.

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

(1)求函数“X)的解析式;

(2)将/(x)的图象上所有点向左平移方个单位长度，再将得到的图象上每个点的横坐标变为原来的］(纵坐标

不变)，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间.

答案：

(1)/(x)=2sin(x—

(2)pro—.，4兀+自，(上6Z)

11

解析：

⑴由正弦型函数的周期，过某一点，对称轴等代入即可；

(2M,3,0对正弦型函数/(x)=4s讥(3%+中)的影响，重新计算周期和起点；整体代入求单调区间.

(1)

若选①：

由已知得T=生=2兀，则3=1,于是/'(x)=2sin(x+0),

CO

因为f(x)图象过点信1)，所以sin停+9)=%

由_三<9<0,得+所以0+/即”=_g

2633366

故/(%)=2sin[x-勺.

若选②或③，同理可得f(%)=2sin--)-

(2)

由已知横坐标变为原来的，则周期为几；/(无)=2si?i(x-匀的起点在％=£,则g(%)的起点在％=《一§x

1=-^所以％+*=0,所以g(%)=2sin(2%+§.

所以由2kn——2%+5W2kn+—(kGZ),得kii——WxWk7i4--(/cGZ).

故g。)的单调递增区间为[而一■"+同(keZ).

18、在数列｛an｝中，劭=2,an+i=2an+2,6n=Qn+2.

(1)证明：数列｛%｝是等比数列.

(2)若cn=—旦一，求数列｛%｝的前几项和Sn.

anan+l

答案：

(1)证明见解析；

解析：

⑴利用给定的递推公式探求%+1与%的关系即可判断作答.

(2)由⑴的信息求出小,再借助裂项相消法计算作答.

(1)

因斯+i=2an+2,bn=an+2,因此，bn+1=an+1+2=(2an+2)+2=2(an+2)=2bn,而九=%+

2=4,

所以｛%｝是以4为首项，2为公比的等比数列.

(2)

n-1n+1

由(1)知，bn=4x2=2,则an=2n+i-2,

IHI_2:+1_______(2n+2-2)-(2n+l-2)___l_________1__

n+1，

J九一(2n+1-2)(2n+2-2)-(2n+1-2)(2n+2-2)-2-22n+2-2

12

11

所以%=（六~六）+（六~六）+（/~/）+…+:）

C2^+1-22n+2-2

_11_2n-l

-22n+2-2-2n+1-l'

19、如图，在平行四边形A8CD中，AB=1,BC=2,ZABC=60°,四边形ACEF为正方形，且平面ABCD_L平面

(2)求点C到平面BEF的距离；

(3)求平面BEF与平面ADF夹角的正弦值.

答案：

(1)证明见解析；

⑵圣

解析：

⑴利用余弦定理计算AC,再证明AB,AC即可推理作答.

(2)以点A为原点，射线AB,AC,AF分别为x,y,z轴非负半轴建立空间直角坐标系，借助空间向量计算点C

到平面BEF的距离.

⑶利用⑵中坐标系，用向量数量积计算两平面夹角余弦值，进而求解作答.

(1)

在回2BCD中，AB=1,BC=2,NABC=60°,由余弦定理AC?=432+—243•BCCOS/ABC得，

AC2=l2+22-2xlx2cos60°=3,即AC=百，^AC2+AB2=4=BC2,则ZBAC=9O。，即AB_LAC,

因平面ABCD_L平面ACEF,平面4BC0n平面4CEF=AC,4Bu平面4BC。，

于是得4B1平面4CEF,又CFu平面4CEF,

所以4B1CF.

(2)

因四边形4CEF为正方形，即4F14C,由(1)知A8,4C,4F两两垂直，

以点A为原点，射线A8,AC,AF分别为x,y,z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图,

13

4(0,0,0),B(1,0,0),C(0,V3,0),尸(0,0,V3),D(-1,V3,0),E(0,V3,次)，

FE=(0,V3,0),BF=(-1,0,73),设平面BEF的一个法向量元=

则令得"版‘。』),

而说=(-1,73,0),于是得点C到平面BEF的距离d=噌=平二里=4,

|n|J(遍/+122

所以点C到平面BEF的距离为当

(3)

由(2)知，AF=(0,0,V3),AD=(-1,73,0),设平面F的一个法向量记=(上,%*2)，

m-AF=V3Z=0

2令y?—1，得访=(V3,1,0),

m-AD=-x2+V3y2=0

COS〈沅㈤=昌=,.直*=p设平面BEF与平面ADF夹角为6,e&(0,勺,

1叫同J(-zxj/)242」

则有cos，=|cos<7n,n)|=sin。=V1—cos29-，，

所以平面BEF与平面ADF夹角的正弦值为

4

【点睛】

易错点睛：空间向量求二面角时，一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进

行向量运算，要认真细心，准确计算.

20、已知函数/'(x)=ax—Inx.

(1)若a=l,求函数f(x)在(1,7(1))处的切线方程；

(2)讨论函数y=f(x)在［1,2］上的单调性.

答案：

(1)y=1

(2)答案见解析

解析：

(1)求出导函数r(%)后计算/(I)得斜率，由点斜式得直线方程并整理;

(2)求出导函数尸(x),然后分类讨论它在［1,2］上的正负得单调性.

14

(1)

当a=1时，f(x)=x-Inx,则/'(x)=1-：，

故切线的斜率k=f(l)=0.

又/⑴=1.

所以函数/(%)在(1,/(1))处的切线方程为：y=l.

(2)

由/(x)=ax-Inx,得/''(x)=a—；=

①当aW0时，/'(x)<0J(x)在［1,2］上单调递减；

②当0<a行时，/(%)<0,/(x)在［1,2］上单调递减；

③当3<a<1时，令/(%)=0,得x=：

当1Wx<即寸，/(x)<0J(x)在［1,£)上单调递减；

当5cxs2时，/'(x)>0,/0)在6,2］单调递增；

④当a21时,f(x)之O,f(x)在［1,2］上单调递增;

综上:当aW凯寸，/(x)在［1,2］上单调递减；

当］<a<l时，/"(X)在［1,£)上单调递减，在6,2］上单调递增；

当a>1时，/(x)在［1,2］上单调递增.

21、为保护生态环境，减少污染物排放，某厂用"循环吸附降污法"减少污水中有害物，每次吸附后污水中有

害物含量y(单位：mg/L)与吸附前的含量x(单位：mg/L)有关，该有害物的排放标准是不超过4mg/L.现

有一批污水，其中该有害物含量为2710mg/L,5次循环吸附降污过程中的监测数据如下表：

第1次第2次第3次第4次第5次

吸附前的