含参数半正奇异泛函微分方程边值问题的解

含参数半正奇异泛函微分方程边值问题的解

1异微分方程边值问题采用以下方法，计算参数中的半正奇怪泛函数微分方程的边值问题。其中λ>0为参数,1>a>0,f∈C((0,1]×(0,+∞),(0,+∞)).本文中我们总是假设存在M>0,使得f(t,x)≥-M,(t,x)∈(0,1]×(0,+∞);方程(1.1)为奇异微分方程边值问题.奇异微分方程边值问题起源于各种应用学科中.例如:核物理,气体动力学,流体力学,边界层理论,非线性光学等.有关奇异微分方程边值问题正解的存在性近年来得到了广泛的研究.本文中,我们不假设f>0,因此,这里方程(1.1)又为奇异半正微分方程边值问题.目前对于半正微分方程边值问题所得结果较少(参看).中作者讨论了一类超线性非奇异半正微分方程边值问题.使用非线性算子分歧理论,作者证明了一个正解的存在性结果.本文中,我们构造了一个特殊锥,使用锥上的不动点指数,逼近方法,细致分析,得到了边值问题(1.1)正解的一个存在性结果.本文中的结果将的结果推广到了形如(1.1)的泛函微分方程边值问题上,同时这里非线性项允许包含奇异.若y∈C[-a,1]∩C2((0,1]\{a})且y(t)>0,t∈[-a,0)∪(0,1),满足方程(1.1),则称y为边值问题(1.1)的一个正解.2任给0#0,1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2任给0.30[a,15.15.2.35.2.25.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2为方便起见,我们以后将使用如下假设.(H1)令F(t,y)=f(t,y)+M.对于任何(t,y)∈(0,1]×(0,+∞)其中φ∈C((0,1]),Φ(t)>0,t∈(0,1),g∈C((0,+∞),(0,+∞)),g(y)关于y∈(0,+∞)为减的;h∈C(R+,R+),h(y)关于y∈R+为增的,R+=[0,+∞).(H2)在任何[α,β](a,1)上一致成立.(H3)对于任给k0>0对于任给x∈C[-a,1],令.易知,C[-a,1]为关于‖·‖的Banach空间.又令P={x∈C[-a,1]|x(t)≥0,t∈[-a,1]},Q={x∈P|x(t)≥‖x‖t(1-t),t∈},则P,Q为C[-a,1]中锥.对于任给x∈P,t∈我们令其中对于任给0<λ<+∞,j∈N,x∈P,我们又令引理1对于任给0<λ<+∞,j∈N,:P→Q为全连续算子.证对于任给0<λ<+∞,j∈N,x∈P,令,t∈[-a,1].又设t0∈(0,1),使得y(t0)=‖y‖,这里.注意到我们知,‖y‖=‖y‖.显然,y在上为凹函数.于是,对于任给0≤t≤t0,同理,对于任给t0≤t≤1有,y(t)≥‖y‖t(1-t).因此,.易知,Tλ:PQ有界,连续.设S⊂P为任一有界集.不妨设对于正数L有,‖u‖≤L,u∈B.记E(j-1,L)=g(j-1)+h(L+‖μ‖+‖wλ‖+1).对于任给ε>0,由(H3)知,存在δ1>0使得令.由G(t,s)在×上的一致连续性知,存在δ:δ1>δ>0,使得当t1,t2,s∈,|t1-t2丨<δ时,有由(2.1),(2.2),注意到G(t,s)≤G(s,s),(t,s)∈×,我们知这表明在上为等度连续集合.又显然,在[-a,0]上为等度连续集合.由Ascoli-Arezla定理知,为C[-a,1]的相对紧集.于是,全连续.证毕.对于任给r>1,令引理2对于任给0<λ<λ(r),j∈N,r>1,这里Q(r)={x∈Q‖x‖<r}.证对于任给0<λ<λ(r),j∈N,我们知下面我们证明这里表示Q(r)在Q中的边界.若(2.3)不成立,则存在μ0∈,z0∈aQ(r),使得.由于z0∈Q,我们知另一方面,对于任给t∈我们有由(2.4),(2.5),我们有由,我们直接计算有由(2.7)知,t∈(0,1).z0(t)为上的凹函数,存在t0∈(0,1)使得我们有如下两种情况:情形1t0≤a.此时,由(2.6),(2.7)我们有对上式从t(t∈(0,t0))到t0积分再从0到t0对上式积分有注意到z0(t0)=r,我们有λ≥(1-a)(r-1)A-1,这与λ的选取矛盾.情形2t0>a.此时,由(2.6),(2.7),并注意到z0(t)在[0,t0]上为增的,对于任给t∈[a,t0]我们有注意到,t∈[a,t0],对于任给t∈[a,t0]我们有对上式从t(t∈[a,t0])到t0积分有从而,我们得再从a到t0积分得由(2.7),又显然有从t(t∈(0,a))到a积分,并利用(2.8)我们有对上式从0到t积分得将(2.10)代入(2.9)得令,我们有从而即这与λ的选取矛盾.综上所述,我们知(2.3)成立.于是由不动点指数性质知结论成立.证毕.引理3对于任给0<λ<λ(r),j∈N,r>1存在R>r使得证取[α,β]⊂(a,1).任取由条件(H2)知,存在R>r使得.令a)]-1,Ψ0∈Q\{θ}.下面我们去证事实上,若否,存在,μ0∈使得.与(2.6)同样道理于是,对于任给t∈[α,β]从而,由(2.12)知于是因此矛盾.故(2.11)成立.由不动点指数性质知结论成立.证毕.3任给t0[0,1]定理3.1设(H1)-(H3)成立,则对于充分小的正数λ边值问题(1.1)至少存在一个正解.证由引理2与引理3我们知,对于任给0<λ<λ(r),j∈N,r>1有从而,对于任给0<λ<λ(r),j∈N,在Q(R)\中存在不动点xj(t).由于‖xj‖≥r,与(2.6)同样道理从而,由(3.1)我们有我们直接计算知对于任给0<λ<λ(r),令Sλ={xj|xj为的不动点,j∈N}.下面我们去证Sλ在[-a,1]上为等度连续集合.显然,我们只要证明Sλ在上等度连续即可.对于任给zj∈Sλ,同上面同样道理我们知,存在t0∈(0,1)使得.分如下两种情况情形1t0≤a.此时,对于任给s∈(0,t0)我们有于是,对于任给t∈[0,a]我们有对于s∈(a,1],我们有从a到t(t∈(n,1)积分,对于任给t∈[a,1]我们有情形2t0>a.此时,对于任给t∈[0,a]我们有对于t∈[a,1]我们有由(3.5)和(3.6)我们有由(3.3),(3.4),(3.6)和(3.7)知,Sλ在上为等度连续集合.又显然Sλ为一致有界的.于是,由Ascoli-Arezla定理知Sλ为相对紧集.对于任给0<λ<λ(r),j∈N,r>1,取a1≠a,设zj为的一个不动点.易知,于是,{为的一个不动点}有界.我们不妨设在(3.8)中令j+∞我们有由