基于柔性多亚层柔性节点模型的双材料裂纹应力和变形分析

基于柔性多亚层柔性节点模型的双材料裂纹应力和变形分析

1多亚层柔性节点模型的建立双材料梁板的共同破裂模型由两部分组成：破裂部分和未破裂部分，这两个部分在裂缝末端相连，形成节点。经典的刚性节点模型假定未开裂部分的两亚层受力后变形相同,界面厚度为零;半刚性节点模型放松了对转角的约束,两亚层可有独立的转角,但同时假定两亚层的横向变形相等且符合平截面假定,界面剪应力τ和法向应力σ在界面上不产生变形。这些假定偏离实际情况,低估了裂纹尖端的局部变形和能量释放率。柔性节点模型引入两个界面柔度系数以描述界面剪应力和法向应力作用下的两亚层界面上的法向和剪切变形,籍此解释裂纹尖端的局部变形,忽略了胶层变形对节点变形的影响,本质上属于两亚层模型。本文在柔性节点模型的基础上,考虑了胶层的变形,建立了基于剪切变形梁理论的新的多亚层柔性节点模型,并将其用于末端切口四点弯试件4ENF(Four-pointbendingend-notchedflexurespecimen)分析。4ENF能量释放率与裂纹长度无关,试验时仅需测量临界荷载便可求得能量释放率,无须像其他试件那样测量裂纹的扩展长度和进行柔度实验,具有极大的优越性。2亚层柔性节点的双材料切口的梁分析2.1各亚层应力的合力图1所示为一般荷载作用下的切口双材料梁,切口位于双材料界面上。上层梁1和下层梁2的高度分别为h1和h2,胶结层厚度为ta。假定开裂部分和未开裂部分梁的长度远大于整个梁的厚度h1+h2,故可以忽略边界条件的影响,采用剪切变形梁理论进行受力分析。图2为双材料梁的一段微小的隔离体,可建立如下平衡方程:dΝi(x)dx=(-1)i+1bτ(x)dNi(x)dx=(−1)i+1bτ(x)(1a)dQi(x)dx=(-1)i+1bσ(x)dQi(x)dx=(−1)i+1bσ(x)(1b)dΜi(x)dx=Qi(x)-yibτ(x)(1c)式中Ni(x),Qi(x)和Mi(x)(i=1,2)分别为亚层1、2的轴力,横向剪力和弯矩,b为梁宽,y1和y2分别为两亚层中性轴到界面的距离。各亚层应力的合力与位移的关系为Νi=Aiduidx‚Μi=Didϕidx(2a,2b)Qi=Bi(ϕi+dwidx)(2c)式中Ai,Bi和Di(i=1,2)分别为第i亚层的轴向,横向剪切和弯曲刚度系数:Ai=E(i)11bhi,Bi=kG(i)13bhi,Di=E(i)11bh3i12(3)式中E(i)11和G(i)13为第i亚层的纵向杨氏模量和横向剪切模量,k=5/6为剪应力系数,ϕi和wi为各亚层的横截面法向的转角和横向变形。假定胶层内剪应力和正应力沿厚度方向分布均匀,由图2可得τ=Gata{[u1(x)-y1ϕ1-Cs1τ]-[u2(x)+y2ϕ2+Cs2τ]}(4)σ=Eata{[w1(x)-Cn1σ]-[w2(x)+Cn2σ]}(5)式中Ga和Ea为胶层剪切模量和弹性模量,Cni和Csi为界面上法向应力和剪应力作用下的第i亚层的界面柔度系数:Cni=hi10E(i)33,Csi=hi15G(i)13(6)式(4)和式(5)可写成下列形式:σ=Kn[w1(x)-w2(x)](7)τ=Ks[u1(x)-y1ϕ1-u2(x)-y2ϕ2](8)式中Κs=1Csa+Cs1+Cs2,Κn=1Cna+Cn1+Cn2(9)Csa=taGa,Cna=taEa(10)根据整体平衡条件(图1):N1+N2=N10+N20=NT(11)Q1+Q2=Q10+Q20=QT(12)M1+M2+N1(y1+y2)=MT=M10+M20+N10(y1+y2)+Qx(13)式(11)～式(13)中Ni0,Qi0和Mi0为第i亚层的外力;NT,QT和MT为内力的合力。由式(1)和式(2)和整体平衡条件,可得d6Ν1dx6+a4d4Ν1dx4+a2d2Ν1dx2+a0Ν1+aΜΜΤ+aΝΝΤ=0(14)式中a0=-b2ΚnΚs[(1D1+1D2)η+ξ(y1+y2)D2]a2=bΚn[bΚs(1B1+1B2)(η+y1ξ)+(1D1+1D2)]a4=-b[Κs(η+y1ξ)+Κn(1B1+1B2)]aΜ=b2ΚnΚs[(1D1+1D2)y2+ξ]1D2aΝ=b2ΚnΚs(1D1+1D2)1A2‚ξ=y1D1-y2D2η=1A1+1A2+(y1+y2)y2D2(15)2.24经典复合材料梁理论微分方程(14)的特征方程的根有两种情况:(a)±R1,±R2和±R3;(b)±R1,±R2和±iR3;R1,R2和R3为正实数,i=√-1。情况(a):±R1;±R2和±R3各亚层内力表达式为Ν1(x)=3∑i=1cie-Rix+Ν1C(16a)Μ1(x)=3∑i=1ciSie-Rix+Μ1C(16b)Q1(x)=3∑i=1ciΤie-Rix+Q1C(16c)Ν2(x)=-3∑i=1cie-Rix+Ν2C(16d)Q2(x)=-3∑i=1ciΤie-Rix+Q2C(16e)Μ2(x)=-3∑i=1ci(Si+y1+y2)e-Rix+Μ2C(16f)式中Τi=Ri(R2iξ1bΚs-ηξ-y1)(17a)Si=-R2iξ1bΚs+ηξ(i=1,2,3)(17b)式(16)中,各亚层的内力的合力由两部分组成:第一项为指数项,代表了裂纹尖端应力和变形集中引起的局部效果;第二项为按经典复合材料梁理论求得的内力。距裂纹尖端一定距离时可忽略指数项,式(16)蜕化为经典复合材料梁理论的情况。在裂纹尖端存在以下边界条件:N1=N10,M1=M10,Q1=Q10(18)据式(16)和式(18)求得的系数ci为(c1c2c3)=(c11c12c13c21c22c23c31c32c33)(ΝΜQ)=1Y(S3Τ2-S2Τ3Τ2-Τ3S3-S2S1Τ3-S3Τ1Τ3-Τ1S1-S3S2Τ1-S1Τ2Τ1-Τ2S2-S1)(ΝΜQ)(19)式中Y=S2T1-S3T1-S1T2+S3T2+S1T3-S2T3N=N10-N1Cx=0,M=M10-M1Cx=0Q=Q10-Q1Cx=0(20)利用平衡方程(1),结合式(16)可得情况(a)的界面剪应力和拉应力的分布:τ(x)=1bdΝ1(x)dx=τC(x)+1bΝ3∑i=1ci1Rie-Rix+Μ3∑i=1ci2Rie-Rix+Q3∑i=1ci3Rie-Rix(21a)σ(x)=1bdQ1(x)dx=σC(x)+1bΝ3∑i=1ci1Τie-Rix+Μ3∑i=1ci2Τie-Rix+Q3∑i=1ci3Τie-Rix(21b)式中τC(x)和σC(x)为按经典复合材料梁理论求得的界面应力。情况(b):±R1,±R2和±iR3N1=c1e-R1x+e-R2xCR1+N1C(22a)M1=c1S1e-R1x+e-R2x(CR2+CR3)+M1C(22b)Q1=c1T1e-R1x+e-R2x(TR1+TR2)+Q1C(22c)N2=-c1e-R1x-e-R2xCR1+N2C(22d)Q2=-c1T1e-R1x-e-R2x(TR1+TR2)+Q2C(22e)M2=-(c1e-R1x+e-R2xCR1)(y1+y2)-[c1S1e-R1x+e-R2x(CR2+CR3)]+M2C(22f)式中CR1=c2cos(R3x)+c3sin(R3x)CR2=c2[S2cos(R3x)-S3sin(R3x)]CR3=c3[S2sin(R3x)+S3cos(R3x)]TR1=c2[T2cos(R3x)+T3sin(R3x)]TR2=c3[T2sin(R3x)-T3cos(R3x)](23)根据边界条件式(18)可确定式(22)的系数:(c1c2c3)=1Y(S3Τ2+S2Τ3-Τ3-S3-S1Τ3-S3Τ1Τ3S3S2Τ1-S1Τ2Τ2-Τ1S1-S2)(ΝΜQ)(24)情况(b)的界面剪应力和法向应力为τ(x)=1b(-c1R1e-R1x-R2e-R2xCR1+R3e-R2xΤR5)+τC(x)(25a)σ(x)=1b[-c1R1Τ1e-R1x-R2e-R2x(ΤR1+ΤR2)]+1bR3e-R2x(ΤR3+ΤR4)+σC(x)(25b)式中TR3=c2[-T2sin(R3x)+T3cos(R3x)]TR4=c3[T2cos(R3x)+T3sin(R3x)]TR5=-c2sin(R3x)+c3cos(R3x)(26)2.34纵向变形试验对情况(a),如图3所示,在区域3(0≤x≤L1)MT=PL0,NT=0(26)由式(2b)和式(16b)可得ϕ1(x)-ϕ1(0)=-1D13∑i=1ciSiRi(e-Rix-1)+ϕ1C(x)-ϕ1C(0)(27)由式(2c),式(22c)和式(27)得w1(x)=-1B13∑i=1ciΤiRi(e-Rix-1)-1D13∑i=1ciSiR2i(e-Rix-1)-1D13∑i=1ciSiRix+w1C(x)-w1C(0)+ϕ1C(0)x-ϕ1(0)x+w1(0)(28)式中ϕ1C(x)和w1C(x)为按经典复合梁理论求得纵向变形。区域4(L1≤x≤L1+L0)MT=P(L0+t-x),NT=0,QT=-P(29)采用类似的方法可得亚层2、区域4及情况(b)的变形。区域1(-a≤x≤-(a-L0))M11=P1(x+a),Q11=P1(30)M12=P2(x+a),Q12=P2(31)式中Ρ1=D1D1+D2Ρ,Ρ2=Ρ-Ρ1(32)区域2(-(a-L0)≤x≤0)M21=P1L0,Q21=0(33)M22=P2L0,Q22=0(34)结合式(2)可得区域1、2变形表达式。3材料特性及有限元分析为验证多亚层柔性节点模型的有效性,本文对CFRP-混凝土4ENF理论与有限元(FE)分析结果相对照。CFRP-混凝土试件下粘有铝板,通过环氧树脂胶将CFRP、混凝土梁与铝板粘结在一起,CFRP与混凝土之间预留切口,调整铝板与混凝土的相对厚度,可得到期望的CFRP-混凝土界面的II型或混合型断裂。试件宽b=102mm,混凝土梁高h1=51mm,铝板高h2=38mm,跨度L=686mm,L0=229mm,a=250mm(图3)。材料性质见表1。数值分析采用通用有限元程序ABAQUS6.5,选用四边形八节点和三角形六节点平面应力单元,切口处接触面为无摩擦接触单元。考虑到胶层与CFRP相对混凝土梁和铝板较薄,且存在接触问题,为求得裂纹尖端的应力集中,应力集中区内单元形状接近正方形且网格细密(图4)。单元最大尺寸为12.7mm,界面单元的尺寸为1.6mm,纵横比为1,该尺寸与CFRP的厚度相同。图5～图6为按多亚层柔性、半刚性、刚性节点模型计算的4ENF界面剪应力、法向应力与有限元结果的对比。在距裂纹尖端80mm之外,按半刚性和刚性节点模型计算的界面剪应力、法向应力与有限元分析结果相吻合,但二模型均未反映出裂纹尖端附近应力场的奇异性。按多亚层柔性节点模型计算的界面应力能反映出裂纹尖端的应力奇异性,与有限元分析结果吻合较好。图7为按多亚层柔性、半刚性、刚性节点模型计算的复合材料层横向变形与有限元分析结果的对比。在距裂纹尖端80mm之外的未开裂区域,按半刚性和刚性节点模型计算的横向变形与有限元分析结果相吻合。在裂纹尖端,半刚性节点模型的位移略大于刚性节点,但二模型均未反映出裂纹尖端附近位移场的奇异性。按多亚层柔性节点模型计算的复合材料层横向变形能反映出裂纹尖端的位移奇异性,与有限元分析结果吻合较好。4界面变形理论与半刚性节点模型的比较多亚层柔性节点模型考虑了胶层的变形,各亚层视为独立的剪切变形梁,采用两个界面柔度以考虑界面应力对各亚层界面变形的影