高中数学选修2-2全套知识点及练习答案解析

新课标人教A高中数学选修2-2同步练习第4页共27页选修2-2知识点及习题答案解析导数及其应用一.导数概念的引入导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即=导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点趋近于时，直线与曲线相切。容易知道，割线的斜率是，当点趋近于时，函数在处的导数就是切线PT的斜率k，即导函数：当x变化时，便是x的一个函数，我们称它为的导函数.的导函数有时也记作,即二.导数的计算基本初等函数的导数公式:1若(c为常数)，则；2若,则;3若,则4若,则;5若,则6若,则7若,则8若,则导数的运算法则1.2.3.复合函数求导和,称则可以表示成为的函数,即为一个复合函数三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间内(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减.2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值;4.函数的最大(小)值与导数求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.推理与证明考点一合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.类比推理的一般步骤:找出两类事物的相似性或一致性;用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.考点二演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.考点三数学归纳法它是一个递推的数学论证方法.步骤:A.命题在n=1（或）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k时命题成立；C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=,且)结论都成立。考点三证明反证法:2、分析法:3、综合法:数系的扩充和复数的概念复数的概念复数:形如的数叫做复数，和分别叫它的实部和虚部.分类:复数中,当,就是实数;,叫做虚数;当时,叫做纯虚数.复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴。C．② D．①[答案]B[解析]Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝eq\f(1,x)在x＝1附近的平均变化率k4＝－eq\f(1,1＋Δx)＝－eq\f(10,13).∴k3＞k2＞k1＞k4，故应选B.9．物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数s＝s(t)，则物体在时间间隔[t0，t0＋Δt]内的平均速度是()A．v0 B.eq\f(Δt,s(t0＋Δt)－s(t0))C.eq\f(s(t0＋Δt)－s(t0),Δt) D.eq\f(s(t),t)[答案]C[解析]由平均变化率的概念知C正确，故应选C.10．已知曲线y＝eq\f(1,4)x2和这条曲线上的一点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,4)))，Q是曲线上点P附近的一点，则点Q的坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋Δx，\f(1,4)(Δx)2)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Δx，\f(1,4)(Δx)2))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋Δx，\f(1,4)(Δx＋1)2)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Δx，\f(1,4)(1＋Δx)2))[答案]C[解析]点Q的横坐标应为1＋Δx，所以其纵坐标为f(1＋Δx)＝eq\f(1,4)(Δx＋1)2，故应选C.二、填空题11．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，eq\f(Δy,Δx)＝________.[答案](Δx)2＋6Δx＋12[解析]eq\f(Δy,Δx)＝eq\f((2＋Δx)3－2－(23－2),Δx)＝eq\f((Δx)3＋6(Δx)2＋12Δx,Δx)＝(Δx)2＋6Δx＋12.12．在x＝2附近，Δx＝eq\f(1,4)时，函数y＝eq\f(1,x)的平均变化率为________．[答案]－eq\f(2,9)[解析]eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(1,2＋Δx)－\f(1,2),Δx)＝－eq\f(1,4＋2Δx)＝－eq\f(2,9).13．函数y＝eq\r(x)在x＝1附近，当Δx＝eq\f(1,2)时的平均变化率为________．[答案]eq\r(6)－2[解析]eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\r(1＋Δx)－\r(1),Δx)＝eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)＝eq\r(6)－2.14．已知曲线y＝x2－1上两点A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是________．[答案]54.1[解析]当Δx＝1时，割线AB的斜率k1＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f((2＋Δx)2－1－22＋1,Δx)＝eq\f((2＋1)2－22,1)＝5.当Δx＝0.1时，割线AB的斜率k2＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f((2＋0.1)2－1－22＋1,0.1)＝4.1.三、解答题15．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在区间[－3，－1]，[0,5]上函数f(x)及g(x)的平均变化率．[解析]函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为eq\f(f(－1)－f(－3),－1－(－3))＝eq\f([2×(－1)＋1]－[2×(－3)＋1],2)＝2.函数f(x)在[0,5]上的平均变化率为eq\f(f(5)－f(0),5－0)＝2.函数g(x)在[－3，－1]上的平均变化率为eq\f(g(－1)－g(－3),－1－(－3))＝－2.函数g(x)在[0,5]上的平均变化率为eq\f(g(5)－g(0),5－0)＝－2.16．过曲线f(x)＝eq\f(2,x2)的图象上两点A(1,2)，B(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线AB，求出当Δx＝eq\f(1,4)时割线的斜率．[解析]割线AB的斜率k＝eq\f((2＋Δy)－2,(1＋Δx)－1)＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(2,(1＋Δx)2)－2,Δx)＝eq\f(－2(Δx＋2),(1＋Δx)2)＝－eq\f(72,25).17．求函数y＝x2在x＝1、2、3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？[解析]在x＝2附近的平均变化率为k1＝eq\f(f(1＋Δx)－f(1),Δx)＝eq\f((1＋Δx)2－1,Δx)＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为k2＝eq\f(f(2＋Δx)－f(2),Δx)＝eq\f((2＋Δx)2－22,Δx)＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为k3＝eq\f(f(3＋Δx)－f(3),Δx)＝eq\f((3＋Δx)2－32,Δx)＝6＋Δx.对任意Δx有，k1＜k2＜k3，∴在x＝3附近的平均变化率最大．18．路灯距地面8m，一个身高为1.6m的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线离开路灯．(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；(2)求人离开路灯的第一个10s内身影的平均变化率．[解析](1)如图所示，设人从C点运动到B处的路程为xm，AB为身影长度，AB的长度为ym，由于CD∥BE，则eq\f(AB,AC)＝eq\f(BE,CD)，即eq\f(y,y＋x)＝eq\f(1.6,8)，所以y＝f(x)＝eq\f(1,4)x.(2)84m/min＝1.4m/s，在[0,10]内自变量的增量为x2－x1＝1.4×10－1.4×0＝14，f(x2)－f(x1)＝eq\f(1,4)×14－eq\f(1,4)×0＝eq\f(7,2).所以eq\f(f(x2)－f(x1),x2－x1)＝eq\f(\f(7,2),14)＝eq\f(1,4).即人离开路灯的第一个10s内身影的平均变化率为eq\f(1,4).

练习二组一、选择题1．函数在某一点的导数是()A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B．一个函数C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率[答案]C[解析]由定义，f′(x0)是当Δx无限趋近于0时，eq\f(Δy,Δx)无限趋近的常数，故应选C.2．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为()A．6 B．18C．54 D．81[答案]B[解析]∵s(t)＝3t2，t0＝3，∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3·32＝18Δt＋3(Δt)2∴eq\f(Δs,Δt)＝18＋3Δt.当Δt→0时，eq\f(Δs,Δt)→18，故应选B.3．y＝x2在x＝1处的导数为()A．2x B．2C．2＋Δx D．1[答案]B[解析]∵f(x)＝x2，x＝1，∴Δy＝f(1＋Δx)2－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2·Δx＋(Δx)2∴eq\f(Δy,Δx)＝2＋Δx当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→2∴f′(1)＝2，故应选B.4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝4t2－3(s(t)的单位：m，t的单位：s)，则t＝5时的瞬时速度为()A．37 B．38C．39 D．40[答案]D[解析]∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(4(5＋Δt)2－3－4×52＋3,Δt)＝40＋4Δt，∴s′(5)＝lieq\o(m,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝lieq\o(m,\s\do4(Δt→0))(40＋4Δt)＝40.故应选D.5．已知函数y＝f(x)，那么下列说法错误的是()A．Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)叫做函数值的增量B.eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)叫做函数在x0到x0＋Δx之间的平均变化率C．f(x)在x0处的导数记为y′D．f(x)在x0处的导数记为f′(x0)[答案]C[解析]由导数的定义可知C错误．故应选C.6．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为y′|x＝x0，即()A．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)B．f′(x0)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))[f(x0＋Δx)－f(x0)]C．f′(x0)＝eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)D．f′(x0)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)[答案]D[解析]由导数的定义知D正确．故应选D.7．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)在x＝2时的瞬时变化率等于()A．4a B．2a＋bC．b D．4a＋b[答案]D[解析]∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(a(2＋Δx)2＋b(2＋Δx)＋c－4a－2b－c,Δx)＝4a＋b＋aΔx，∴y′|x＝2＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))(4a＋b＋a·Δx)＝4a＋b.故应选D.8．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是()A．圆 B．抛物线C．椭圆 D．直线[答案]D[解析]当f(x)＝b时，f′(x)＝0，所以f(x)的图象为一条直线，故应选D.9．一物体作直线运动，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度为()A．0 B．3C．－2 D．3－2t[答案]B[解析]∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(3(0＋Δt)－(0＋Δt)2,Δt)＝3－Δt，∴s′(0)＝lieq\o(m,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝3.故应选B.10．设f(x)＝eq\f(1,x)，则lieq\o(m,\s\do4(x→a))eq\f(f(x)－f(a),x－a)等于()A．－eq\f(1,a) B.eq\f(2,a)C．－eq\f(1,a2) D.eq\f(1,a2)[答案]C[解析]lieq\o(m,\s\do4(x→a))eq\f(f(x)－f(a),x－a)＝lieq\o(m,\s\do4(x→a))eq\f(\f(1,x)－\f(1,a),x－a)＝lieq\o(m,\s\do4(x→a))eq\f(a－x,(x－a)·xa)＝－lieq\o(m,\s\do4(x→a))eq\f(1,ax)＝－eq\f(1,a2).二、填空题11．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(x0－Δx)－f(x0),Δx)＝________；lieq\o(m,\s\do4(x→x0))eq\f(f(x)－f(x0),2(x0－x))＝________.[答案]－11，－eq\f(11,2)[解析]lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(x0－Δx)－f(x0),Δx)＝－lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(x0－Δx)－f(x0),－Δx)＝－f′(x0)＝－11；lieq\o(m,\s\do4(x→x0))eq\f(f(x)－f(x0),2(x0－x))＝－eq\f(1,2)lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)＝－eq\f(1,2)f′(x0)＝－eq\f(11,2).12．函数y＝x＋eq\f(1,x)在x＝1处的导数是________．[答案]0[解析]∵Δy＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋Δx＋\f(1,1＋Δx)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1))) ＝Δx－1＋eq\f(1,Δx＋1)＝eq\f((Δx)2,Δx＋1)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(Δx,Δx＋1).∴y′|x＝1＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δx,Δx＋1)＝0.13．已知函数f(x)＝ax＋4，若f′(2)＝2，则a等于______．[答案]2[解析]∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(a(2＋Δx)＋4－2a－4,Δx)＝a，∴f′(1)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝a.∴a＝2.14．已知f′(x0)＝lieq\o(m,\s\do4(x→x0))eq\f(f(x)－f(x0),x－x0)，f(3)＝2，f′(3)＝－2，则lieq\o(m,\s\do4(x→3))eq\f(2x－3f(x),x－3)的值是________．[答案]8[解析]lieq\o(m,\s\do4(x→3))eq\f(2x－3f(x),x－3)＝lieq\o(m,\s\do4(x→3))eq\f(2x－3f(x)＋3f(3)－3f(3),x－3)eq\o(＝lim,\s\do4(x→3))eq\f(2x－3f(3),x－3)＋lieq\o(m,\s\do4(x→3))eq\f(3(f(3)－f(x)),x－3).由于f(3)＝2，上式可化为lieq\o(m,\s\do4(x→3))eq\f(2(x－3),x－3)－3lieq\o(m,\s\do4(x→3))eq\f(f(x)－f(3),x－3)＝2－3×(－2)＝8.三、解答题15．设f(x)＝x2，求f′(x0)，f′(－1)，f′(2)．[解析]由导数定义有f′(x0)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f((x0＋Δx)2－x\o\al(2,0),Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δx(2x0＋Δx),Δx)＝2x0，16．枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．[解析]位移公式为s＝eq\f(1,2)at2∵Δs＝eq\f(1,2)a(t0＋Δt)2－eq\f(1,2)ateq\o\al(2,0)＝at0Δt＋eq\f(1,2)a(Δt)2∴eq\f(Δs,Δt)＝at0＋eq\f(1,2)aΔt，∴lieq\o(m,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝lieq\o(m,\s\do4(Δt→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(at0＋\f(1,2)aΔt))＝at0，已知a＝5.0×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，∴at0＝800m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.在曲线y＝f(x)＝x2＋3的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，求(1)eq\f(Δy,Δx)(2)f′(1)．[解析](1)eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f(1＋Δx)－f(1),Δx)＝eq\f((1＋Δx)2＋3－12－3,Δx)＝2＋Δx.(2)f′(1)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(1＋Δx)－f(1),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2＋Δx)＝2.18．函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由．[解析]f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋x2(x≥0),－x－x2(x<0)))Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝f(Δx)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δx＋(Δx)2(Δx>0),－Δx－(Δx)2(Δx<0)))∴eq\o(lim,\s\do4(x→0＋))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0＋))(1＋Δx)＝1，eq\o(lim,\s\do4(Δx→0－))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0－))(－1－Δx)＝－1，∵eq\o(lim,\s\do4(Δx→0－))eq\f(Δy,Δx)≠eq\o(lim,\s\do4(Δx→0＋))eq\f(Δy,Δx)，∴Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)无极限．∴函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处没有导数，即不可导．(x→0＋表示x从大于0的一边无限趋近于0，即x＞0且x趋近于0)

练习三组1．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么()A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＜0C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在[答案]B[解析]切线x＋2y－3＝0的斜率k＝－eq\f(1,2)，即f′(x0)＝－eq\f(1,2)＜0.故应选B.2．曲线y＝eq\f(1,2)x2－2在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))处切线的倾斜角为()A．1 B.eq\f(π,4)C.eq\f(5,4)π D．－eq\f(π,4)[答案]B[解析]∵y′＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f([\f(1,2)(x＋Δx)2－2]－(\f(1,2)x2－2),Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))(x＋eq\f(1,2)Δx)＝x∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1.∴切线的倾斜角为eq\f(π,4)，故应选B.3．在曲线y＝x2上切线的倾斜角为eq\f(π,4)的点是()A．(0,0) B．(2,4)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,16))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))[答案]D[解析]易求y′＝2x，设在点P(x0，xeq\o\al(2,0))处切线的倾斜角为eq\f(π,4)，则2x0＝1，∴x0＝eq\f(1,2)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4))).4．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为()A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5[答案]B[解析]y′＝3x2－6x，∴y′|x＝1＝－3.由点斜式有y＋1＝－3(x－1)．即y＝－3x＋2.5．设f(x)为可导函数，且满足eq\o(lim,\s\do4(x→0))eq\f(f(1)－f(1－2x),2x)＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()A．2 B．－1C．1 D．－2[答案]B[解析]eq\o(lim,\s\do4(x→0))eq\f(f(1)－f(1－2x),2x)＝eq\o(lim,\s\do4(x→0))eq\f(f(1－2x)－f(1),－2x)＝－1，即y′|x＝1＝－1，则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故选B.6．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()A．不存在 B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直 D．与x轴斜交[答案]B[解析]由导数的几何意义知B正确，故应选B.7．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f′(5)分别为()A．3,3 B．3，－1C．－1,3 D．－1，－1[答案]B[解析]由题意易得：f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，故应选B.8．曲线f(x)＝x3＋x－2在P点处的切线平行于直线y＝4x－1，则P点的坐标为()A．(1,0)或(－1，－4) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,4)[答案]A[解析]∵f(x)＝x3＋x－2，设xP＝x0，∴Δy＝3xeq\o\al(2,0)·Δx＋3x0·(Δx)2＋(Δx)3＋Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝3xeq\o\al(2,0)＋1＋3x0(Δx)＋(Δx)2，∴f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，又k＝4，∴3xeq\o\al(2,0)＋1＝4，xeq\o\al(2,0)＝1.∴x0＝±1，故P(1,0)或(－1，－4)，故应选A.9．设点P是曲线y＝x3－eq\r(3)x＋eq\f(2,3)上的任意一点，P点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π，π)) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)π，π))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π，π)) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5,6)π))[答案]A[解析]设P(x0，y0)，∵f′(x)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f((x＋Δx)3－\r(3)(x＋Δx)＋\f(2,3)－x3＋\r(3)x－\f(2,3),Δx)＝3x2－eq\r(3)，∴切线的斜率k＝3xeq\o\al(2,0)－eq\r(3)，∴tanα＝3xeq\o\al(2,0)－eq\r(3)≥－eq\r(3).∴α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π，π)).故应选A.10．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，eq\f(π,4)]，则点P横坐标的取值范围为()A．[－1，－eq\f(1,2)] B．[－1,0]C．[0,1] D．[eq\f(1,2)，1][答案]A[解析]考查导数的几何意义．∵y′＝2x＋2，且切线倾斜角θ∈[0，eq\f(π,4)]，∴切线的斜率k满足0≤k≤1，即0≤2x＋2≤1，∴－1≤x≤－eq\f(1,2).11．已知函数f(x)＝x2＋3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为________．[答案]4x－y－1＝0[解析]∵f(x)＝x2＋3，x0＝2∴f(2)＝7，Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝4·Δx＋(Δx)2∴eq\f(Δy,Δx)＝4＋Δx.∴lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝4.即f′(2)＝4.又切线过(2,7)点，所以f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y－7＝4(x－2)即4x－y－1＝0.12．若函数f(x)＝x－eq\f(1,x)，则它与x轴交点处的切线的方程为________．[答案]y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)[解析]由f(x)＝x－eq\f(1,x)＝0得x＝±1，即与x轴交点坐标为(1,0)或(－1,0)．∵f′(x)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f((x＋Δx)－\f(1,x＋Δx)－x＋\f(1,x),Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x(x＋Δx))))＝1＋eq\f(1,x2).∴切线的斜率k＝1＋eq\f(1,1)＝2.∴切线的方程为y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)．13．曲线C在点P(x0，y0)处有切线l，则直线l与曲线C的公共点有________个．[答案]至少一[解析]由切线的定义，直线l与曲线在P(x0，y0)处相切，但也可能与曲线其他部分有公共点，故虽然相切，但直线与曲线公共点至少一个．14．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为________．[答案]3x－y－11＝0[解析]设切点P(x0，y0)，则过P(x0，y0)的切线斜率为，它是x0的函数，求出其最小值．设切点为P(x0，y0)，过点P的切线斜率k＝＝3xeq\o\al(2,0)＋6x0＋6＝3(x0＋1)2＋3.当x0＝－1时k有最小值3，此时P的坐标为(－1，－14)，其切线方程为3x－y－11＝0.三、解答题15．求曲线y＝eq\f(1,x)－eq\r(x)上一点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－\f(7,4)))处的切线方程．[解析]∴y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋Δx)－\f(1,x)))－(\r(x＋Δx)－\r(x)),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(－Δx,x(x＋Δx))－\f(Δx,\r(x＋Δx)＋\r(x)),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1,x(x＋Δx))－\f(1,\r(x＋Δx)＋\r(x))))＝－eq\f(1,x2)－eq\f(1,2\r(x)).∴y′|x＝4＝－eq\f(1,16)－eq\f(1,4)＝－eq\f(5,16)，∴曲线在点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－\f(7,4)))处的切线方程为：y＋eq\f(7,4)＝－eq\f(5,16)(x－4)．即5x＋16y＋8＝0.16．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于点P的直线方程y＝g(x)．[解析](1)y′＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f((x＋Δx)3－3(x＋Δx)－3x3＋3x,Δx)＝3x2－3.则过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率k1＝f′(1)＝0，∴所求直线方程为y＝－2.(2)设切点坐标为(x0，xeq\o\al(3,0)－3x0)，则直线l的斜率k2＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－3，∴直线l的方程为y－(xeq\o\al(3,0)－3x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－3)(x－x0)又直线l过点P(1，－2)，∴－2－(xeq\o\al(3,0)－3x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－3)(1－x0)，∴xeq\o\al(3,0)－3x0＋2＝(3xeq\o\al(2,0)－3)(x0－1)，解得x0＝1(舍去)或x0＝－eq\f(1,2).故所求直线斜率k＝3xeq\o\al(2,0)－3＝－eq\f(9,4)，于是：y－(－2)＝－eq\f(9,4)(x－1)，即y＝－eq\f(9,4)x＋eq\f(1,4).17．求证：函数y＝x＋eq\f(1,x)图象上的各点处的切线斜率小于1.[解析]y′＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(x＋Δx)－f(x),Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋Δx＋\f(1,x＋Δx)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x))),Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(x·Δx(x＋Δx)－Δx,(x＋Δx)·x·Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f((x＋Δx)x－1,(x＋Δx)x)＝eq\f(x2－1,x2)＝1－eq\f(1,x2)＜1，∴y＝x＋eq\f(1,x)图象上的各点处的切线斜率小于1.18．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．[解析](1)y′|x＝1＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f((1＋Δx)2＋(1＋Δx)－2－(12＋1－2),Δx)＝3，所以l1的方程为：y＝3(x－1)，即y＝3x－3.设l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，y′|x＝b＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f((b＋Δx)2＋(b＋Δx)－2－(b2＋b－2),Δx)＝2b＋1，所以l2的方程为：y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)·(x－b)，即y＝(2b＋1)x－b2－2.因为l1⊥l2，所以3×(2b＋1)＝－1，所以b＝－eq\f(2,3)，所以l2的方程为：y＝－eq\f(1,3)x－eq\f(22,9).(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3x－3，,y＝－\f(1,3)x－\f(22,9)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,6)，,y＝－\f(5,2)，))即l1与l2的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，－\f(5,2))).又l1，l2与x轴交点坐标分别为(1,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(22,3)，0)).所以所求三角形面积S＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1＋\f(22,3)))＝eq\f(125,12).

练习三组1．下列结论不正确的是()A．若y＝0，则y′＝0B．若y＝5x，则y′＝5C．若y＝x－1，则y′＝－x－2[答案]D2.曲线y＝eq\f(1,3)x3－2在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(7,3)))处切线的倾斜角为()A．30° B．45°C．135° D．60°[答案]B[解析]y′|x＝－1＝1，∴倾斜角为45°.3.函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()A．1 B．2C．3 D．4[答案]D[解析]y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.4.设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是()A．b2－4ac>0 B．b>0，c>0C．b＝0，c>0 D．b2－3ac<0[答案]D[解析]∵a>0，f(x)为增函数，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c>0恒成立，∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac<0，∴b2－3ac<0.

5．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是()A．导数为零的点一定是极值点B．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值C．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值D．如果在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值[答案]C[解析]导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.6.函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)()A．等于0 B．大于0C．小于0 D．以上都有可能[答案]A[解析]∵M＝m，∴y＝f(x)是常数函数∴f′(x)＝0，故应选A.7.内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为()A．R B．2RC.eq\f(4,3)R D.eq\f(3,4)R[答案]C[解析]设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(R－h)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2∴V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(π,3)h(2Rh－h2)＝eq\f(2,3)πRh2－eq\f(π,3)h3V′＝eq\f(4,3)πRh－πh2.令V′＝0得h＝eq\f(4,3)R.当0<h<eq\f(4,3)R时，V′>0；当eq\f(4R,3)<h<2R时，V′<0.因此当h＝eq\f(4,3)R时，圆锥体积最大．故应选C.8.．和式eq\i\su(i＝1,5,)(yi＋1)可表示为()A．(y1＋1)＋(y5＋1)B．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋1C．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5D．(y1＋1)(y2＋1)…(y5＋1)[答案]C[解析]eq\i\su(i＝1,5,)(yi＋1)＝(y1＋1)＋(y2＋1)＋(y3＋1)＋(y4＋1)＋(y5＋1)＝y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5，故选C.9．设f(x)是[a，b]上的连续函数，则f(x)dx－f(t)dt的值()A．小于零 B．等于零C．大于零 D．不能确定[答案]B[解析]f(x)dx和f(t)dt都表示曲线y＝f(x)与x＝a，x＝b及y＝0围成的曲边梯形面积，不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置．所以其值为0.10.．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2(0≤x<1),2－x(1≤x≤2)))，则f(x)dx等于()A.eq\f(3,4) B.eq\f(4,5)C.eq\f(5,6) D．不存在[答案]C[解析]f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx取F1(x)＝eq\f(1,3)x3，F2(x)＝2x－eq\f(1,2)x2，则F′1(x)＝x2，F′2(x)＝2－x∴f(x)dx＝F1(1)－F1(0)＋F2(2)－F2(1)＝eq\f(1,3)－0＋2×2－eq\f(1,2)×22－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×1－\f(1,2)×12))＝eq\f(5,6).故应选C.11.．如图所示，阴影部分的面积为()A.f(x)dx B.g(x)dxC.[f(x)－g(x)]dx D.[g(x)－f(x)]dx[答案]C[解析]由题图易知，当x∈[a，b]时，f(x)>g(x)，所以阴影部分的面积为[f(x)－g(x)]dx.12已知f(x)＝x3的切线的斜率等于1，则其切线方程有()A．1个B．2个C．多于两个D．不能确定[答案]B[解析]∵f(x)＝x3，∴f′(x)＝3x2，令3x2＝1，得x＝±eq\f(\r(3),3)，即切点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),9)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),9))).由点斜式可得切线方程为y－eq\f(\r(3),9)＝x－eq\f(\r(3),3)或y＋eq\f(\r(3),9)＝x＋eq\f(\r(3),3)，即y＝x－eq\f(2\r(3),9)或y＝x＋eq\f(2\r(3),9).故应选B.13.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1[答案]A[解析]y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1.14.关于归纳推理，下列说法正确的是()A．归纳推理是一般到一般的推理B．归纳推理是一般到个别的推理C．归纳推理的结论一定是正确的D．归纳推理的结论是或然性的[答案]D[解析]归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论的正确性不一定．故应选D.15.下列说法正确的是()A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论无法判定正误[答案]B[解析]由合情推理得出的结论不一定正确，A不正确；B正确；合情推理的结论本身就是一个猜想，C不正确；合情推理结论可以通过证明来判定正误，D也不正确，故应选B.16.“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是()A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形[答案]B[解析]由大前提、小前提、结论三者