随机前沿分析中无效率项和随机误差项的统一分布假设模型

随机前沿分析中无效率项和随机误差项的统一分布假设模型

一、在自然参数选取基础上的应用采用前沿分析法测量了微观公司与前沿公司之间的效率差异。前沿分析方法分非参数方法和参数方法两种。非参数方法以数据包络分析(DataEnvelopmentAnalysis—DEA)方法为代表。参数前沿方法以随机前沿方法(StochasticFrontierApproach—SFA)为代表。1977年,Meeusen和Broeck(MB)(1977)、Aigner、Lovell和Schmidt(ALS)(1977)同时提出了度量效率的参数方法——SFA模型,模型中考虑了随机因素对于产出的影响,稍后Battese和Corra(BC)(1977)则写出了关于SFA的第三篇文章。这三篇文章中SFA的基本模型可以表示为:其中,yi为第i家企业的实际产出;xi是第i家企业的N种生产要素的投入向量;f是生产函数,若取C—D生产函数,则模型的一般公式是:对vi和ui做如下的假设:(3)vi与ui之间相互独立,且与解释变量不相关。vi代表跨企业的随机误差,例如测量误差、其他统计噪声和公司无法控制的随机冲击等等。ui涵盖了公司内部的无效率因素的影响,技术效率TEi定义为实际产出与可能实现的最大随机前沿产出之比:MB假设u服从指数分布,BC假设u服从半正态分布,ALS假设u服从半正态分布或指数分布。由最大似然法估计出了β、σv2、σu2后,可以计算出样本的平均效率E(—u)=E(v-u)=(u服从半正态分布)和E(-U)=E(v-u)=-σu(u服从指数分布),但不能计算每个观察点的效率。Jondrow等(1982)把技术无效率项从残差中分离出来,利用条件分布估计出每个观察点的技术效率,这是一个很大的进步,这种方法也被称为JLMS方法。利用JLMS方法,随机前沿模型能够把每个企业样本的残差进行分离,因而能够估计出每个企业的技术无效率水平。这种方法上的突破,解决了随机前沿模型原先相对于确定前沿模型的一个弱点,因而不仅能估计出全部样本的平均效率水平,也能如同确定前沿模型那样,估计出每个观察值的点效率。随后有关SFA的研究均以此文为基础,其发展集中体现在Kumbhakar和KnoxLovell(2000)所著的《StochasticFrontierAnalysis》一书中。在随后的SFA发展过程中,常使用的无效率项Ui的分布假设有四种:半正态分布、截断正态分布、指数分布和伽玛分布。表1中列出了在4种分布假设下,利用JLMS方法推导出的E(u|ε)(e=V-U)的表达式,从而得出技术效率为Exp[-E(u|ε)]。其中,σ2=σu2+σv2，φ(·)和Φ(·)分别表示标准正态分布的密度函数和分布函数。在实证分析中,究竟使用哪一种分布模型,是值得我们考虑的问题,因为对无效率分布的选择常常都带有很强的主观性。在上面提到的几种分布中,截断正态分布和伽玛分布含有两个参数,而半正态分布和指数分布只含有一个参数,它们可分别看成是截断正态分布和伽玛分布的特殊形式。在图1和图2中,分别绘出了截断正态分布和伽玛分布密度函数的图像(σu=1)。当μ=0时,截断正态分布变成半正态分布;当n=1时,伽玛分布变成指数分布,图像分别如图中的虚线所示。二、ui分布的密度函数由于不能事先知道无效率项ui服从何种分布,SFA使用者只得主观假设ui服从上述4种分布之一。本文将结合上面的几种分布,给出无效率项分布的一种更为灵活的统一形式,从而解除SFA使用者对无效率项ui假设的主观顾虑。设无效率项ui是独立同分布的,它们共同的分布密度函数为:同上面的4种分布一样,该分布也是一种单边分布,保证Ui为非负的,非负误差项的含义为所有生产者的产出都必须位于生产前沿面的下方,这种和前沿面的差距主要是由可控的因素如领导者的管理水平、员工的努力程度以及所采用的技术等造成的。但同上面的4种分布相比,该分布在数学上具有统一的形式,包含了更多的参数,从而更为灵活。下面给出在几种特殊值的情况下,ui的分布形式:这是正态分布N(0,1)在零点的截断分布,即为半正态分布。这是正态分布N(1,1)在零点的截断分布,其中Φ(·)表示标准正态分布的分布函数。(3)当n=0,a1=0,b1=-2,c1=0时,A=2,fu(u)=2exp(—2u),这是参数为2的指数分布。这是自由度为4的卡方分布。这是伽玛分布Gamma(3,2)。由此可见,统一分布模型不仅包括了前面提到的所有4种模型,还包括卡方分布,可以看成包含多种分布的综合模型。在图3至图5中分别绘出了在参数取不同值的情况下,ui分布的密度函数图像。从图中的比较可以看出,a1的取值影响ui分布的峰度(如图4所示),而b1的取值则影响ui分布的偏度(如图5所示),而n的值对ui分布的影响并不明显,但从下文中我们可以看出它影响E(u|ε)的值。在过去的研究中,常假设随机误差项vi独立同分布于一个0均值的正态分布,它主要是由于地震与旱涝等自然灾害、战争、宏观经济波动以及统计误差等不可控的因素引起的。但这种假设有时并不符合实际,因为在经济繁荣和高涨的时候会存在一个正的系统误差,而在经济萧条和衰退的时候,则存在一个负的系统误差。基于这一原因,这里我们依然假设Vi服从正态分布,但它的均值可正可负,不一定必须为0。其密度函数的形式为:这里U和V是相互独立的。令ε=V—U,它是随机误差项和无效率项的综合,称为误差项。三、密度函数和分布函数的推导我们首先证明下面的定理。定理:若随机变量X服从于正态分布N(μ,σ2)在零点的截断分布,即X的密度函数其中,φ(·)和Φ(·)分别表示标准正态分布的密度函数和分布函数。接下来我们推导E(u|ε)的表达式。进一步有:(1)当n=0时,E(u|ε)=E(X)=,其中最后一步用到了定理中的结论(2);⑵当n=1时，E(u|ε)=,将定理中的E(X）、Var(X)代入即得E(u|ε)的表达式。四、各参数对整体效率度量的影响(2)该统一形式综合了前面提到的无效率项ui的所有4种形式。在表2中分别列出了当统一模型中的参数取不同值时所对应的分布。(3)我们在使用SFA方法进行效率度量的时候,需要事先指定ui的分布形式,常用的分布主要有前面提到的4种形式。由于ui是不可观察的,所以无论选用何种分布形式,都带有一定的主观性。而根据本文的研究,由于这四种分布可以写成统一的形式,因此这四种分布对效率的度量本质上是一致的,效率度量结果不会存在太大的差异。这在Greene(1990)以及李双杰、王林(2006)等人的实证研究中得到了很好的验证,本文从理论上给予了支持。同时本文的研究也为SFA的使用者带来些许的安慰,使得他们在选用ui的分布时,并不需要考虑太多,因为不同的ui分布对效率度量的结果并不产生太大的影响。(4)Greene(1990)以及李双杰、王林(2006)的研究中都发现在用4种分布模型进行效率度量时,采用半正态分布和截断正态分布时效率排名的等级相关系数最高,指数分布和伽玛分布的等级相关系数最低,前者是情理之中的事,因为半正态可以看成是截断正态的一种特殊形式;后者则似乎有些出人意料,令人费解,因为指数分布也可看成是伽玛分布的一种特殊形式,应该具有较高的相关系数。而根据本文的研究不难发现,指数分布同样可以看成是截断正态分布的一种特殊形式(在a1=0时)。而且和截断正态的情形一样,在指数分布下E(u|ε)也为在零点的截断正态分布随机变量的一阶矩,也就是期望;但在伽玛分布的一般形式下E(u|ε)则表示为在零点的截断正态分布随机变量的高阶矩。从这个意义上来说,指数分布应该更接近截断正态分布,因此指数分布与半正态、截断正态效率排名的等级相关系数高于伽玛分布这一实证结果得到了理论上的解释。(5)我们研究的效率问题往往与宏观经济环境有很大的关系,如价格波动、需求变化、开工率变化都会影响投入与产出,从而影响效率。为了更好地与实际情况相吻合,我们对随机误差项Vi做出了服从正态分布、但均值不一定为0的假设。这种假设对于当今世界许多市场经济发育还未十分健全、地域广阔、发展极度不平衡的发展中国家来说可能具有更为重要的意义,这些国家的政策往往带有一定的倾向性,对某些地区和行业的经济发展都可能起到积极的作用,会存在一个正的随机误差,因此对Vi做出均值不一定为0的假设更具有实际的意义。其中,随机变量X服从于正态分布N(μ,σ2)在零点的截断分布。特别地,当n为整数时,有E(u|ε)=本文给出了无效率项ui的一种统一分布形式,fu(u)=Aunexp(a1u2+b1u+c1)