小学奥数题库《计算》公式类平方差公式-0星题（含详解）全国通用版

班级：姓名：亲爱的同学，在做练习的时候一定要认真审题，完成题目后，记得养成认真检查的好习惯。祝你轻松完成本次练习！期末考名列前茅！【心得记录卡】亲爱的同学，在完成本专项练习后，你收获了什么？掌握了哪些新本领呢？在这里记录一下你的收获吧！年月日计算-公式类计算-平方差公式-0星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率平方差公式B1.熟悉平方差公式

2.能够灵活应用平方差公式进行计算。少考知识提要平方差公式平方差公式

a2−精选例题平方差公式1.计算：24682008123420062−12342005×12342007【答案】

24682008【分析】

原式=2.将一个边长为整数的大正方形分成97个边长都是整数的小正方形，若其中96个小正方形的边长是1，则大正方形的边长是

．【答案】

25或14或11或10．【分析】

设大正方形的边长为a，分成的边长不是1的小正方形的边长为b，则有a2=b2+96，那么，a+ba−b=96，由于a+b与a−ba−b=2分别解得大正方形的边长a为25或14或11或10．3.利用平方差公式巧算：（1）1332−332=

（2）89×91=

．152×148=

．【答案】

（1）16600；71400；（2）8099；22496【分析】

（1）1332        269（2）89×91=90+1        154×148=150+24.a、b代表任意数字，若（1）98×102=

．（2）67×73=

．（3）64×28=

．（4）2×29×3×31=

．【答案】

（1）9996；（2）4891；（3）1792；（4）5394【分析】

（1）98×102（2）67×73（3）64×28（4）2×29×3×315.计算：22+4【答案】

1【分析】

原式6.如图，从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形，上述操作所能验证的公式是

．【答案】

(a+b)(a−b)=【分析】

如图，左图中阴影部分的面积为a2−b2，右图中阴影部分的面积为7.计算12−3【答案】

1249【分析】

原式8.计算：102−【答案】

55【分析】

原式9.计算：4999×5001=

．【答案】

24999999【分析】

原式10.计算：(105×95+103×97)−(107×93+101×99)=

．【答案】

16【分析】

原式11.如果(2a+2b+1)(2a+2b−1)=63，那么a+b的值是

．【答案】

±4【分析】

因为(2a+2b+1)(2a+2b−1)=63，所以2(a+b)2−112.计算：(1−122【答案】

25【分析】

1−122=(1−所以，原式=13.计算：[2007−8.5×8.5−1.5×1.5÷10]÷160−0.3=【答案】

12.2【分析】

原式14.计算：50×50+49×51+48×52+47×53+46×54=

．【答案】

12470【分析】

原式15.计算：1234567×1234567−1234566×1234568=

．【答案】

1【分析】

原式16.计算：3.1415×252−3.1415×【答案】

1256.6【分析】

原式17.计算：2008+2007×20092008×2009−1+2009+2008×2010【答案】

2【分析】

原式18.如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a>b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形的面积，验证了公式

．【答案】

(a+b)(a−b)=【分析】

左图中阴影部分的面积为a2−b2，右图中阴影部分的面积为19.已知：a2计算：1002−99【答案】

5050【分析】

原式20.计算：1×15+2×14+3×13+4×12+5×11+6×10+7×9+8×8=

．【答案】

372【分析】

原式21.⑴314159262−31415925×31415927=⑵12342+8766【答案】

⑴1；⑵100000000【分析】

⑴观察可知31415925和31415927都与31415926相差1，设a=31415926，原式⑵原式22.计算：22+4【答案】

1【分析】

原式23.有一串数1，4，9，16，25，36，⋯，它们是按一定规律排列的，那么其中第1990个数与第1991个数相差

．【答案】

3981【分析】

这串数中第1990个数是19902，而第1991个数是1991199124.计算：11×19+12×18+13×17+14×16=

．【答案】

870【分析】

本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式．原式25.计算：(205×195+202×198)−(207×193+203×197)=

．【答案】

29【分析】

原式26.计算：2009×2009−2008×2008=

．【答案】

4017【分析】

方法一：原式方法二：原式27.算式(19×19−12×12)÷[1912−【答案】

228【分析】

(19×19−12×12)÷[28.利用平方差的公式想想，20的平方是

，399能写成哪两个连续奇数的乘积：

，那3599能写成

．【答案】

400；19×21；59×61【分析】

202399=400−1=203599=3600−1=6029.计算：1002−99【答案】

5050【分析】

原式30.计算：33.8752−3182【答案】

1132.5【分析】

原式31.计算：1×2×3+2×3×4+3×4×5+⋯+8×9×10=

．【答案】

1980【分析】

原式32.计算：12+3【答案】

5151【分析】

原式33.观察下列各式，你会发现什么规律？ 3×5＝15，而 5×7＝35，而   ⋯11×13=143，而143=将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来

．【答案】

n−1【分析】

观察第一个算式，15=16−1，可知这个算式中的4=(3+5)÷2后面每个算式都具有这个规律，所以可以猜想这个算式的规律为：n−134.2009×2009−2008×2008=

．【答案】

4017【分析】

方法一：原式方法二：原式35.计算：20×20−19×19+18×18−17×17+⋯+2×2−1×1=

．【答案】

210【分析】

利用平方差公式：20×20−19×19=(20+19)×(20−19)=20+19，18×18−17×17=18+17，⋯，2×2−1×1=2+1．于是，原式36.计算：11×29+12×28+⋯+19×21=

．【答案】

3315【分析】

原式37.计算：1×3+2×4+3×5+⋯9×11=

．【答案】

375【分析】

原式38.计算：[(55×45−37×43)−(3×221+1)]÷22=

．【答案】

10【分析】

原式39.计算：13+1【答案】

7【分析】

分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：3=22−1=1×3，15=42所以原式40.算式67×67−34×34+67+34的计算结果是

．【答案】

3434【分析】

原式41.计算：121×3+【答案】

12【分析】

式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为22−1，42−1，62−1，⋯，1002−1，可以发现如果分母都加上原式42.算式(63−163)÷(1−【答案】

64【分析】

原式43.计算12−2【答案】

190【分析】

这个题目重新整理得：144.一根铁丝，第1次截去总长度的122，第2次截去剩余长度的132，第3次截去剩余长度的142⋯第2008【答案】

4018【分析】

设铁丝的原长度为a厘米，则根据题意可知：aa×a×32×4345.计算：（1）314159262−31415925×31415927=（2）12342+8766【答案】

（1）1；（2）100000000【分析】

（1）观察可知31415925和31415927都与31415926相差1，设a=31415926，原式（2）原式46.计算：101×99−100×98+99×97−98×96+⋯+5×3−4×2=

．【答案】

5047【分析】

原式47.看规律13=12，13+23=【答案】

10800【分析】

原式48.计算：123456.62−123456.5×123456.7=【答案】

0.01【分析】

原式49.计算：12+3【答案】

198【分析】

12+3222由于103=243，可见原式50.计算：12−2【答案】

2015028【分析】

原式51.计算：31×2×4×5+4【答案】

75【分析】

观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：原式现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：32=1×5+4，4原式52.计算：(22+【答案】

50.5【分析】

原式53.算式201722−1【答案】

32【分析】

原式54.计算：132−1【答案】

3【分析】

这题是利用平方差公式进行裂项：a2原式55.两个正方形的面积之差为2016平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有

对．【答案】

12【分析】

aa+b与a−b奇偶性相同，乘积是偶数，必然都是偶数，且和大于差，2016÷4=504=22×32×7的因数有56.计算：32+13【答案】

997【分析】

原式57.计算：（1）552−45【答案】

（1）1000；（2）2600．【分析】

（1）原式=(55+45)×(55−45)=100×10=1000（2）原式=(63+37)×(63−37)=100×26=260058.计算：2+12【答案】

2【分析】

原式59.已知a2−b2=27，a、b【答案】

14、13或【分析】

(a+b)(a−b) a+b=27所以a=(27+1)÷2=14,b=27−14=13. 或者a+b=9所以a=(9+3)÷2=6,b=9−6=3.60.计算：1+1【答案】

2−【分析】

原式61.下图中有两个黑色的正方形，两个白色的正方形．它们的面积已在图中标出（单位：平方米）．黑色的两个正方形面积大还是白色的两个正方形面积大？请说明理由．【答案】

两个白色正方形的面积大【分析】

此题用到平方差公式：a19972−所以1997即1997262.计算：⑴72x−3【答案】

⑴494x【分析】

⑴原式=⑵原式=(−3x63.计算：⑴(x+3)(x−3)(x2+9)【答案】

见解析．【分析】

⑴(x+3)(x−3)(x⑵原式64.能不能找到一个自然数，它加上10，减去10之后都是完全平方数？【答案】

26【分析】

设加上10后的数是A2，减去10后的数是BA因为A+B和A−B是同奇偶的所以20也应该拆成2个同奇偶性的数的乘积．因此A+B所以这个数是36−10=26．65.求积A的个位数字：A=2+1【答案】

5【分析】

A2n各位数字的循环4个一周期，周期为：2、4、8、6，128÷4=32，所以2128个位为6，故2128−1个位为5．（另解：66.计算：⑴(2+1)(2⑵(1−1⑶1002【答案】

⑴24n−1；⑵11【分析】

⑴原式⑵原式⑶原式67.已知a2−b2=133，a、b【答案】

67、66或【分析】

观察算式发现a2−b 133=1×133=19×7再利用和差公式分别求出a与b． 原式 a+b=133 所以a=(133+1)÷2=67, b=67−1=66. 或者a+b=19 所以a=(19+7)÷2=13, b=19−13=6.68.两个完全平方数的差为51，且这两个完全平方数之间没有其他的完全平方数，求这两个数？【答案】

676，625【分析】

设较大的平方数为B2，较小的平方数为A2，B2−A2=51B+A=51解得B=26这两个数分别为262=676；69.计算：(a−b)(a+b)(a【答案】

a【分析】

原式70.一个正整数加上132和231后都等于完全平方数，求这个正整数是多少？【答案】

2269或93【分析】

设该正整数为a，根据题意得a+132=m2,a+231=n2两式相减得(n+m)(n−m)=99因为99=99×1=33×3=11×9所以n+m=99,n−m=1或n+m=33,n−m=3或n+m=11,n−m=9解得n=50,m=49或n=18,m=15或n=10,m=1，但是n=10,m=1不符合正整数的条件，因此a=49271.运用平方差公式计算：⑴(x⑵(−4a−1)(−4a+1)；⑶(a【答案】

见解析．【分析】

⑴x2⑵(−4a−1)(−4a+1)=(−4a)⑶(a72.计算：202【答案】

210【分析】

观察算式发现都是平方差构成，添上一个括号就可以运用公式计算．原式73.一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？【答案】

424【分析】

设这个数减去63为A2，减去100为B2，则 可知A+B=37，且A−B=1，所以A=19，B=18，这样这个数为18274.计算：（1）(−2x+3y)（2）(a−2b)(2b−a)；（3）(a（4）(2x−y+2)(y−2x+2)．【答案】

（1）4x（2）−a（3）a4（4）4−4【分析】

（1）原式=(2x−3y（2）原式（3）原式（4）原式75.已知324−1可能被20至【答案】

28、26【分析】

3所求二整数为28、26．76.求3×5×17×⋯×(2【答案】

2【分析】

观察原式的每一项，均可写成2n+1(n=1,2,⋯2原式77.利用平方差公式简化计算：⑴59.8×60.2；⑵102×98；⑶123462⑷11【答案】

⑴3599.96；⑵9996；⑶1；⑷124【分析】

⑴59.8×60.2=(60−0.2)(60+0.2)=60⑵102×98=(100+2)(100−2)=100⑶12346⑷1178.一个数减去100是一个完全平方数，减去63也是一个完全平方数，问这个数是多少？【答案】

424【分析】

设这个数减去63为A2，减去100为BA可知A+B=37，且A−B=1，所以A=19，B=18，这样这个数为18279.⑴先化简后求值：(x−y)2+(x+y)(x−y)÷2x，其中x=3⑵计算：(2x−y+2)(y−2x+2)．【答案】

⑴1.5；⑵4−4【分析】

⑴(x−y)又x=3，y=1.5，故原式=x−y=3−1.5=1.5．法2：(x−y)⑵原式80.三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的差为60，求这三个数．【答案】

分别为12、8、2．【分析】

设这三个数从大到小分别为A2、B2、C2，那么有A+BA−B=80，A+CA−C=140，因为140=2×2×5×7，A+C、A−C同奇同偶，所以有A+C=14，A−C=10或A+C=70，A−C=2，分别解得A=12，C=2和A=36，C=34，对于后者没有满足条件的B，所以A只能等于12，C=2，继而求得B=881.计算：(3+1)(3【答案】

3【分析】

设S=(3+1)(32+1)((3−1)S所以S=12(82.296−1有可能被60到【答案】

63、65【分析】

2这两个数是63和65．83.能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？【答案】

不能【分析】

假设能找到，设这两个完全平方数分别为A2、B2，那么这两个完全平方数的差为54=A+BA−B，由于A+B和A−B的奇偶性质相同，所以A+BA−B不是4的倍数，就是奇数，不可能是像5484.已知实数a、b满足(a+b)2=1，(a−b【答案】

7【分析】

a2+b2=85.如果三个正整数a、b、c满足a2+b2=c2，则称这三个数构成一个勾股数组(a,b,c)．与5【答案】

(5,12,13)、(13,84,85)【分析】

当c=13时，则很显然(5,12,13)是一组勾股数．当a=13时，则13即c由此可得c+b=169解得c=85因此(13,84,85)也是一组勾股数．86.一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如16=52−32，16【答案】

2680【分析】

通过尝试可以发现如下规律：相邻两个平方数的差为3,5,7,9,11⋯即除1外，所有的奇数均为“智慧数”．相邻两个奇数的平方差与相邻两个偶数的平方差为8,12,16,20,24,28…即除4之外，所有4的倍数的数是“智慧数”．所以1∼2000的“智慧数”有2000÷2+2000÷4−2=1498(个1∼2500的“智慧数”有2500÷2+2500÷4−2=1873(个1∼2700的“智慧数”有2700÷2+2700÷4−2=2023(个因此第2008个“智慧数”为2680．87.计算：667×668×669−666×668×670【答案】

2004【分析】

综合题目，先提取公因数，然后使用平方差公式逆用原式88.计算：102【答案】

55【分析】

1089.已知a=2005×20072006，b=2006×2008【答案】

a<b<c【分析】

a=2005×2007b=2006×2008c=2007×2009易得a<b<c．90.计算：（1）202（2）12【答案】

（1）210；（2）5151【分析】

观察算式发现202−19原式（2）观察算式发现该题与上一题的区别是12−2原式91.学而思运动会上，五年级的女生们准备出一个团体操的节目．现在的人数刚好排成一个方阵（每一行人数和每一列人数相等）．后来又加入了23个女生，恰好还可以组成一个方阵．那么你能算出加入23人之前，方阵共有多少人吗？【答案】

121人【分析】

依题意，前后两次的学生总人数都是完全平方数．不妨设前者人数是B2，后者人数是A2.那么根据平方差式，A2−B2=A+BA+B则加入23人之前，方阵有11×11=121人．92.计算：1−1【答案】

5099【分析】

原式93.两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？【答案】

最大为2965，最小为85．【分析】

设这两个完全平方数分别为A2和BA则A+B=77，A−B=1或A+B=11，A−B=7解得A=39，B=38或A=9，B=2，所以两个完全平方数的和最大值是2965，最小值是85．94.计算：（1）712（2）20082【答案】

（1）2352；（2）16036【分析】

（1）71（2）200895.（1）34（2）12（3）1−1（4）12【答案】

（1）1111；（2）1100；（3）5099【分析】

详解：（1）凑整；（2）约分；（3）平方差公式后约分；（4）找规律计算，括号展开后分别计算同分母分数，会发现等差数列．96.已知平方差公式：a2（1）6662（2）(50+1)×(50−1)；（3）202【答案】

（1）332000；（2）2499；（3）210．【分析】

（1）原式=(666+334)×(666−334)=332000（2）原式=（3）原式97.计算：⑴(x−y)⑵2x−3⑶(a【答案】

⑴2y⑵4x⑶a【分析】

⑴(x−y⑵2x−⑶原式98.计算：⑴(x+2)⑵(x+5y−9)(x−5y+9)；⑶(a+b+c)(a−b−c)；⑷先化简，再求值：(3x+2)(3x−2)−5x(x−1)−(2x−1)2，其中【答案】

⑴x4⑵x2⑶a2⑷−8．【分析】

⑴(x+2⑵(x+5y