2023-2024学年人教A版必修第二册 8-5-3平面与平面平行 学案VIP

8.5.3平面与平面平行【学习目标】(1)掌握平面和平面平行的判断定理、性质定理．(2)会证明平面和平面平行、利用面面平行的性质定理证明直线和直线平行．题型1平面与平面平行的判定定理【问题探究1】(1)三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？(2)三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？例1如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为边AA1，DD1的中点．证明：平面CFA1∥平面BDE.题后师说平面与平面平行的判定方法跟踪训练1如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.题型2平面与平面平行的性质定理【问题探究2】(1)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面吗？(2)如果两个平面平行，那么分别在两个平面的直线是什么位置关系？(3)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行吗？例2如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.题后师说利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤跟踪训练2如图，已知平面α∥β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．题型3平行关系的综合应用例3如图所示，已知点P是▱ABCD所在平面外一点，M，N，K分别是AB，PC，PA的中点，平面PBC∩平面APD＝l.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)直线PB上是否存在点H，使得平面NKH∥平面ABCD？若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．(3)求证：l∥BC.题后师说常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的，如图所示．跟踪训练3如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，BC∥AD，E为侧棱PD的中点，且BC＝2，AD＝4，求证：CE∥平面PAB.随堂练习1．平面α与平面β平行的条件可以是()A．α内有无数多条直线与β平行B．直线a∥α，a∥βC．直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥αD．α内的任何直线都与β平行2．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是()A．平行B．异面C．相交D．平行或异面或相交3.已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝()A．2∶3B．2∶5C．4∶9D．4∶254．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．课堂小结1.平面与平面平行的判定定理．2．平面与平面平行的性质定理．3．平行关系的综合应用．8．5.3平面与平面平行问题探究1提示：(1)不一定．(2)平行．例1证明：∵长方体ABCD-A1B1C1D1，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，∵点E，F分别为边AA1，DD1的中点，∴A1E＝DF，A1E∥DF，∴四边形A1EDF为平行四边形，∴A1F∥ED，又A1F⊄平面BDE，ED⊂平面BDE，∴A1F∥平面BDE，如图，连接AC交BD于点O，连接EO，∴点O为AC的中点，∴EO∥A1C，又A1C⊄平面BDE，EO⊂平面BDE，∴A1C∥平面BDE，∵A1C∩A1F＝A1，∴平面CFA1∥平面BDE.跟踪训练1证明：∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP.又∵BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，∴NQ∥平面PBC.∵四边形ABCD为平行四边形．∴BC∥AD，∴MQ∥BC.又∵BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC.又∵MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PBC.问题探究2提示：(1)一个平面内的直线必平行另一个平面(无公共点)．(2)一个平面内的直线与另一个平面内的直线没有公共点，它们或者是异面直线，或者是平行直线．(3)当第三个平面和两个平行平面都相交时，两条交线共面且无公共点，所以两条交线平行．例2证明：因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.跟踪训练2解析：∵α∥β，平面PCD∩α＝AB，平面PCD∩β＝CD，∴AB∥CD，可得PAAC＝PB∵PA＝6，AC＝9，PD＝8，∴69＝8-BDBD，解得例3证明：(1)取PD中点为F，连接AF，FN，在△PCD中，FN∥DC，FN＝12DC在▱ABCD中，AM∥CD，AM＝12CD所以AM∥FN，AM＝FN，即四边形AFNM为平行四边形，所以AF∥MN，AF⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD.(2)当H为PB中点时，平面KNH∥平面ABCD.证明如下：取PB的中点为H，连接KH，NH，在△PBC中，HN∥BC，HN⊄平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以HN∥平面ABCD，同理可证，KH∥平面ABCD，又KH，HN⊂平面KNH，KH∩HN＝H，所以平面KNH∥平面ABCD，(3)∵BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD，又∵平面PAD∩平面PBC＝l，BC⊂平面PBC，∴BC∥l.跟踪训练3证明：取AD的中点O，连接OC，OE，如图．因为E为侧棱PD的中点，所以OE∥PA，OE⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以OE∥平面PAB.因为BC＝2，AD＝4，AO＝12AD＝2，即AO＝BC，且BC∥AD所以四边形ABCO为平行四边形，所以OC∥AB.又OC⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以OC∥平面PAB.因为OC∩OE＝O，OC⊂平面OCE，OE⊂平面OCE，所以平面OCE∥平面PAB，因为CE⊂平面OCE，所以CE∥平面PAB.[随堂练习]1．解析：由面面平行的定义知，选D.答案：D2．解析：如图①②③所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交．故选D.答案：D3．解析：∵平面α∥平面ABC，∴A′C′∥AC，A′B′∥AB，B′C′∥BC，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝(PA′∶PA)2又PA′∶AA