2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册第4章数列4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第2课时等比数列的性质及应用课件

4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第2课时等比数列的性质及应用1．掌握等比数列的性质．2．能利用等比数列的性质解决相关问题．3．体会等比数列与指数函数的关系．1．掌握等比数列的性质，并能够应用该知识进行灵活运算．(逻辑推理、数学运算)2．熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用．(逻辑推理、数学运算)等比数列与指数函数的关系

知识点

1a1qn－1想一想：通项公式为an＝kqn(kq≠0)的数列{an}是等比数列吗？等比数列的单调性

知识点

2已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则(3)当q＝1时，等比数列{an}为_________(这个常数列中各项均不等于0)；(4)当q<0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号)．常数列等比数列的性质

知识点

31．等比数列的项之间的关系(1)两项关系通项公式的推广：an＝am·___________(m，n∈N*)．(2)多项关系项的运算性质若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝_____________.特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am·an＝_______.qn－map·aqan－1an－k＋13．等比数列的运算的性质(1)若{an}是公比为q的等比数列，则①{c·an}(c是非零常数)是公比为_____的等比数列；②{|an|}是公比为_________的等比数列．(2)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为_____________的等比数列．q|q|q1·q2练一练：已知{an}是等比数列，若a2＝2，a3a5＝16，则a6＝(

)A．6 B．8C．±6 D．±8[解析]

由等比数列的性质若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，可得a2a6＝a3a5＝16，代入计算得a6＝8.故选B.B

在等比数列{an}中，已知a1>0,8a2－a5＝0，则数列{an}为(

)A．递增数列 B．递减数列C．常数列 D．无法确定单调性解得q＝2.又a1>0，所以数列{an}为递增数列．题型探究题型一等比数列的单调性典例1A[规律方法]

由等比数列的通项公式可知，公比影响数列各项的符号：一般地，q>0时，等比数列各项的符号相同；q<0时，等比数列各项的符号正负交替．

在等比数列{an}中，如果公比为q，且q<1，那么等比数列{an}是(

)A．递增数列 B．递减数列C．常数列 D．无法确定单调性对点训练❶D题型二等比数列的性质

已知{an}为等比数列．(2)若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8；(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．典例2(3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]＝log395＝10.[规律方法]

灵活应用性质，能极大地提高我们的计算速度，当然本题也可采用基本量法．

(1)在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11＝_______；(2)数列{an}为等比数列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝___________；(3)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝_______.对点训练❷251或6450[解析]

(1)方法一：∵a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，∴a8a9a10a11＝52＝25.(3)由a10a11＋a9a12＝2e5，可得a10a11＝e5.令S＝lna1＋lna2＋…＋lna20，则2S＝(lna1＋lna20)＋(lna2＋lna19)＋…＋(lna20＋lna1)＝20ln(a1a20)＝20ln(a10a11)＝20lne5＝100，所以S＝50.题型三等比数列性质的应用A．3个 B．4个

C．5个 D．6个典例3A[解析]

①{anan＋1}是首项为a1a2，公比为q2的等比数列．②当q≠－1时，{an＋an＋1}是等比数列，但当q＝－1时，{an＋an＋1}不是等比数列；③当q≠1时，{an＋1－an}是等比数列，但当q＝1时，{an＋1－an}不是等比数列；[规律方法]

由等比数列构造新的等比数列，一定要检验新的数列中的项是否为0.

设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是长、宽分别为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件为(

)A．{an}是等比数列B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同对点训练❸D题型四等比数列的实际应用典例4A[分析]

建立等比数列模型⇒运用等比数列的性质求解．[解析]

依题意13个音的频率成等比数列，记为{an}，设公比为q，则a13＝a1q12，[规律方法]

关于等比数列在应用问题中的应用首先根据题意判断是否是等比数列模型，其次分析等比数列的首项、公比、项数，最后利用等比数列的通项公式计算解题．A．300元 B．900元C．2400元 D．3600元对点训练❹C(2)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(

)(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2018年 B．2019年C．2020年 D．2021年C(2)由已知可得130×(1＋12%)n－1≥