新教材适用2023-2024学年高中数学第6章计数原理6.2排列与组合6.2.1排列6.2.2排列数学案新人教A版选择性必修第三册

6.2.1排列6.2.2排列数学习目标1．通过实例，理解排列、排列数的概念．2．能利用计数原理推导排列数公式，并掌握排列数公式及其变形，能运用排列数公式进行相关计算．3．能运用排列知识解决一些有关排列的简单实际问题．核心素养1．通过学习排列的概念及排列数公式，培养数学抽象素养．2．借助排列数公式进行计算，提升数学运算素养.知识点1排列的概念(1)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)特别地，m＝n时的排列(即取出所有元素的排列)称为全排列．想一想：两个排列相同的条件是什么？提示：两个排列相同则应具备排列的元素及排列的顺序均相同．练一练：思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列．(×)(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题．(√)(3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题．(×)(4)从3,5,7,9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题．(√)(5)从1,2,3,4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题．(√)知识点2排列数及排列数公式排列数的定义从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的排列数排列数的表示Aeq\o\al(m,n)(m，n∈N*，m≤n)排列数公式乘积式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)阶乘式Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,(n－m)！)阶乘Aeq\o\al(n,n)＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！规定0！＝1，Aeq\o\al(0,n)＝1性质Aeq\o\al(m,n)＋mAeq\o\al(m－1,n)＝Aeq\o\al(m,n＋1)想一想：排列与排列数的区别是什么？提示：“排列”与“排列数”是两个不同的概念，“排列”是指“按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一件事，“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m，n都是正整数，m≤n)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数．如从a，b，c中任取两个元素的排列有以下6种形式：ab,ac,ba,bc,ca,cb，这里每一种形式都是一个排列，而排列数则是6.练一练：(1)Aeq\o\al(4,5)＝_120__.(用数字表示)(2)1×2×3×4×5×6×7×8＝_Aeq\o\al(8,8)__.(用排列数表示)[解析](1)Aeq\o\al(4,5)＝5×4×3×2＝120.(2)最大的数为8共8个因式，所以可表示为Aeq\o\al(8,8).题型探究题型一排列的概念典例1判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．[分析]判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．[解析](1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题．[规律方法]1.解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关”．2．判断一个具体问题是不是排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．对点训练❶判断下列问题是不是排列问题．(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？[解析](1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排到问题．(2)因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题．综上，(1)(3)是排列问题，(2)不是排列问题．题型二排列数的计算公式典例2(1)计算Aeq\o\al(3,15)和Aeq\o\al(6,6)；(2)18×17×16×…×12×11等于(A)A．Aeq\o\al(8,18) B．Aeq\o\al(9,18)C．Aeq\o\al(10,18) D．Aeq\o\al(11,18)(3)设x∈N*，且x>15，则(x－2)(x－3)(x－4)…(x－15)可化简为(B)A．Aeq\o\al(13,x－2) B．Aeq\o\al(14,x－2)C．Aeq\o\al(13,x－15) D．Aeq\o\al(14,x－15)[分析](1)直接用排列数公式计算；(2)(3)用排列数公式的定义解答即可．[解析](1)Aeq\o\al(3,15)＝15×14×13＝2730，Aeq\o\al(6,6)＝6×5×4×3×2×1＝720.(2)18×17×16×…×12×11＝eq\f(18！,10！)＝eq\f(18！,(18－8)！)＝Aeq\o\al(8,18).故选A．(3)先确定最大数，即n，再确定因式的个数，即m，易知n＝x－2，m＝(x－2)－(x－15)＋1＝14，所以原式＝Aeq\o\al(14,x－2).故选B.[规律方法]排列数的计算方法(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列对象的总个数，而正整数(因式)的个数是选取对象的个数，这是排列数公式的逆用．(2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．对点训练❷(1)已知Aeq\o\al(m,n)＝11×10×9×8×…×5，则m＋n为18；(2)计算：eq\f(A\o\al(6,7)－A\o\al(5,6),A\o\al(5,5))＝36.[解析](1)因为Aeq\o\al(m,n)＝11×10×9×8×…×5，所以n＝11，m＝(11－5)＋1＝7，m＋n＝18.(2)Aeq\o\al(6,7)＝7×6×5×4×3×2，Aeq\o\al(5,6)＝6×5×4×3×2，Aeq\o\al(4,5)＝5×4×3×2，所以eq\f(A\o\al(6,7)－A\o\al(5,6),A\o\al(5,5))＝7×6－6＝36.题型三排列与排列数公式的简单应用典例3(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有7种不同的书(每种不少于3本)，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？[分析](1)从7本不同的书中选出3本送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从7种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．[解析](1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有Aeq\o\al(3,7)＝7×6×5＝210(种)不同的送法．(2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有7×7×7＝343(种)不同的送法．[规律方法](1)没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．(2)典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；排列指从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，由排列的概念可知排列问题中元素不能重复选取．对点训练❸将4名医生与4名护士分配到四个不同单位，每个单位分配一名医生与一名护士，共有多少种不同的分配方案？[解析]完成这件事可以分为两步．第一步：把4名医生分配到四个不同的单位，等价于从4个不同元素中取出4个元素的排列问题，有Aeq\o\al(4,4)种方法．第二步：把4名护士分配到四个不同的单位，也有Aeq\o\al(4,4)种方法．根据分步乘法计数原理，不同的分配方案有Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(4,4)＝576种．易错警示忽视排列数公式的隐含条件致误典例4解不等式Aeq\o\al(x,8)<6Aeq\o\al(x－2,8).[错解]由排列数公式得eq\f(8！,(8－x)！)<6×eq\f(8！,(10－x)！)，化简得x2－19x＋84<0，解之得7<x<12.∵x∈N*，∴x＝8,9,10,11.[辨析]在排列数公式Aeq\o\al(m,n)中，隐含条件m≤n，m∈N*，n∈N*，错解没有考虑到x－2>0,8≥x，导致错误．[正解]由Aeq\o\al(x,8)<6Aeq\o\al(x－2,8)，得eq\f(8！,(8－x)！)<6×eq\f(8！,(10－x)！)，化简得x2－19x＋84<0，解之得7<x<12，①又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8≥x，,x－2>0，))∴2<x≤8，②由①②及x∈N*得x＝8.[点评]注意公式的适用条件．数学中有好多公式、定理、法则等都是有限制条件的，如在排列数公式Aeq\o\al(m,n)中，m，n∈N*，n≥m，忽视限制条件就可能导致错误．1．(多选)已知下列问题，其中是排列问题的有(AD)A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动C．从a，b，c，d四个字母中取出2个字母D．从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数[解析]A是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关；B不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；C不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；D是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列．2．4×5×6×…×(n－1)×n等于(D)A．Aeq\o\al(4,n) B．Aeq\o\al(n－4,n)C．n！－4! D．Aeq\o\al(n－3,n)[解析]4×5×6×…×(n－1)×n中共有n－4＋1＝n－3(个)因式，最大数为n，最小数为4，故4×5×6×…×(n－1)×n＝Aeq\o\al(n－3,n).3．不等式Aeq\o\al(2,n－1)－n<7的解集为(C)A．{n|－1<n<5} B．{1,2,3,4}C．{3,4} D．{