新教材适用2023-2024学年高中数学第2章导数及其应用5简单复合函数的求导法则学案北师大版选择性必修第二册

§5简单复合函数的求导法则学习目标1．了解复合函数的求导法则．2．能求简单复合函数的导数．核心素养通过求简单复合函数的导数，培养数学运算素养.知识点1复合函数的概念对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数_y＝f(u)__和_u＝φ(x)__的复合函数，记作_y＝f(φ(x))__，其中u为中间变量．[提醒]讨论复合函数的构成时，“内层”“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．然后从外向内逐层求导．想一想：如何求复合函数y＝f(φ(x))的定义域？提示：由内函数u＝φ(x)的值域包含于外函数y＝f(u)的定义域所求得的x的取值集合就是复合函数y＝f(φ(x))的定义域．练一练：思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)复合函数y＝f(φ(x))的定义域就是内函数u＝φ(x)的定义域．(×)(2)复合函数y＝f(φ(x))的定义域就是内函数u＝φ(x)的值域．(×)(3)复合函数y＝f(φ(x))的定义域就是外函数y＝f(u)的定义域．(×)(4)(ln|x|)′＝eq\f(1,x).(√)知识点2复合函数的求导法则复合函数y＝f(φ(x))的导数为：y′x＝_[f(φ(x))]′__＝_f_′(u)φ′(x)，其中u＝φ(x)__.想一想：任何两个函数都能复合吗？提示：只有外函数y＝f(u)的定义域与内函数u＝φ(x)的值域的交集非空时才能复合．练一练：1．函数y＝eq\f(1,(3x－1)2)的导数是(C)A．y′＝eq\f(6,(3x－1)3) B．y′＝eq\f(6,(3x－1)2)C．y′＝－eq\f(6,(3x－1)3) D．y′＝－eq\f(6,(3x－1)2)[解析]∵y＝eq\f(1,(3x－1)2)＝(3x－1)－2，∴y′＝－2(3x－1)－3·(3x－1)′＝－6(3x－1)－3＝－eq\f(6,(3x－1)3).2．已知函数f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝_1__.[解析]易得f′(x)＝4(2x＋a)，又f′(2)＝20，即4(4＋a)＝20，解得a＝1.题型探究题型一复合函数的概念典例1函数y＝eq\f(1,(2x＋1)2)可以看成哪两个函数的复合？[解析]函数y＝eq\f(1,(2x＋1)2)可以看成函数y＝eq\f(1,u)与函数u＝(2x＋1)2的复合，也可以看成函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,u)))2与函数u＝2x＋1的复合．[规律方法]1.不是任意两个函数都能复合，只有内函数的值域与外函数的定义域的交集非空时，才能复合．2．一个复合函数有不同的复合形式，要根据研究的需要进行选择．对点训练❶函数y＝e2x－1可以看成哪两个函数的复合？[解析]函数y＝e2x－1可以看成函数y＝eu与函数u＝2x－1的复合．题型二复合函数的求导典例2求下列函数的导数：(1)y＝(4－3x)2；(2)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))；(3)y＝ln(4x－1)；(4)y＝ex2.[分析]先分析每个复合函数的构成，再按照复合函数的求导法则进行求导．[解析](1)设y＝u2，u＝4－3x，则yu′＝2u，ux′＝－3，于是yx′＝yu′·ux′＝－6(4－3x)＝18x－24，即y′＝18x－24.(2)设y＝cosu，u＝2x－eq\f(π,4)，则yu′＝－sinu，ux′＝2，于是yx′＝yu′·ux′＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))，即y′＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))).(3)设y＝lnu，u＝4x－1，则yu′＝eq\f(1,u)，ux′＝4，于是yx′＝yu′·ux′＝eq\f(4,4x－1)，即y′＝eq\f(4,4x－1).(4)设y＝eu，u＝x2，则yu′＝eu，ux′＝2x，于是yx′＝yu′·ux′＝ex2·2x，即y′＝2xex2.[规律方法]求复合函数导数的步骤对点训练❷(1)函数y＝x2cos2x的导数为(B)A．y′＝2xcos2x－x2sin2xB．y′＝2xcos2x－2x2sin2xC．y′＝x2cos2x－2xsin2xD．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x(2)若f(x)＝eq\r(ax－1)，且f′(1)＝1，则a的值为(B)A．1 B．2C．3 D．4(3)函数f(x)＝(2x＋1)5，则f′(0)的值为_10__.[解析](1)y′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2(－sin2x)·(2x)′＝2xcos2x－2x2sin2x.(2)∵f′(x)＝eq\f(1,2\r(ax－1))·(ax－1)′＝eq\f(a,2\r(ax－1))，∴f′(1)＝eq\f(a,2\r(a－1))＝1，解得a＝2.(3)f′(x)＝5(2x＋1)4·(2x＋1)′＝10(2x＋1)4，∴f′(0)＝10.题型三与复合函数有关的切线问题典例3(1)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为(D)A．0 B．eq\f(π,2)C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,4)(2)已知直线y＝x＋2与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a＝_3__.[分析](1)先求出函数在切点处的导数值，即为切线的斜率，从而求得切线在此处的倾斜角．(2)先设出切点坐标，再求函数在切点处的导数值，从而求得a的值．[解析](1)∵f′(x)＝eq\f(2x,x2＋1)，∴函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象在点(1，f(1))处的切线的斜率k＝f′(1)＝eq\f(2,1＋1)＝1.设函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为θ，则tanθ＝1，∴θ＝eq\f(π,4).(2)设切点为(x0，y0)，∵y＝ln(x＋a)，∴y′＝eq\f(1,x＋a)(x＋a)′＝eq\f(1,x＋a)，∴切线的斜率k＝eq\f(1,x0＋a)＝1，∴x0＋a＝1.又∵y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，又∵y0＝x0＋2＝0，∴x0＝－2.∴a＝3.[规律方法]解决与复合函数有关的切线问题的关键有两个：(1)求复合函数的导数，这是正确解答的前提条件，要注意把复合函数逐层分解，求导时不要有遗漏．(2)求切线方程，注意切线所过的点是否为切点．对点训练❸已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是_2x－y＝0__.[解析]设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x.所以当x>0时，f(x)＝ex－1＋x.因此，当x>0时，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2.则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.易错警示对复合函数的求导不完全而致误在对复合函数求导时，恰当地选择中间变量及分析函数的复合层次是关键．一般从最外层开始，由外及里，一层层地求导，最后要把中间变量变成自变量的函数．典例4函数y＝xe1－2x的导数为_(1－2x)e1－2x__.[错解]y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x＝(1＋x)e1－2x.[正解]y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x(1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x·(－2)＝(1－2x)e1－2x.[点评]错解中对e1－2x求导数，没有按照复合函数的求导法则进行，导致求导不完全.1.函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是(A)A．y＝un，u＝x2－1B．y＝(u－1)n，u＝x2C．y＝tn，t＝(x2－1)nD．y＝(t－1)n，t＝x2－1[解析]将x2－1看作整体，记u＝x2－1，则y＝(x2－1)n由y＝un和u＝x2－1复合而成．2．已知f(x)＝ln(2x＋1)－ax，且f′(2)＝－1，则a＝(A)A.eq\f(7,5) B．eq\f(6,5)C．－eq\f(3,5) D．－eq\f(4,5)[解析]f′(x)＝eq\f(2,2x＋1)－a，所以f′(2)＝eq\f(2,5)－a＝－1，解得a＝eq\f(7,5).3．设f(x)＝cos2x－3x，则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝(B)A．－5 B．－3C．－4 D．－eq\f(