新教材适用2023-2024学年高中数学第1章数列4数列在日常经济生活中的应用学案北师大版选择性必修第二册

4数列在日常经济生活中的应用学习目标1．掌握单利、复利的概念．2．掌握零存整取、定期自动转存、分期付款等三种模型及应用．核心素养1．通过对单利、复利、零存整取、定期自动转存、分期付款等概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助数列的应用，培养数学建模素养．知识点1银行存款计息方式(1)单利：单利的计算是仅在_原有本金__上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为利息＝本金×利率×存期．以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和(简称本利和)，则有S＝_P(1＋nr)__.(2)复利：复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前_各计息周期内__产生的利息也计算利息的计息方法，复利的计算公式是_S＝P(1＋r)n__.想一想：复利与单利的区别是什么？提示：(1)复利在第二次以后计算时，将上一次得到的利息也作为了本金，而单利每一次的计算都是将开始的本金作为本金计息．(2)单利和复利分别以等差数列和等比数列作为模型，即单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列．练一练：某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为p%，q%，则这两年的平均增长率是(D)A．eq\f(p%＋q%,2)B．p%·q%C．eq\r((1＋p%)(1＋q%))D．eq\r((1＋p%)(1＋q%))－1[解析]设该工厂最初的产值为1，这两年的平均增长率为r，则(1＋p%)(1＋q%)＝(1＋r)2.于是r＝eq\r((1＋p%)(1＋q%))－1.知识点2三种常见的应用模型(1)零存整取模型：每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部_本利和__，这是整取．规定每次存入的钱不计复利，若每月存入金额为x元，月利率r保持不变，存期为n个月，那么到期整取时本利和为y＝nx＋eq\f(n(n＋1)r,2)x元．(2)定期自动转存模型：储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和．若储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，那么储户所得本利和为Q＝_P(1＋r)n__.(3)分期付款模型：分期付款中，一般规定每次付款额相同，每期付款的时间间隔相同，每月利息按_复利__计算，各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和．练一练：思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)零存整取储蓄的数学模型是等差模型．(√)(2)定期自动转存储蓄的数学模型是等比模型．(√)(3)在分期付款中，各期所付款额及各期所付款额生成的利息之和等于商品的售价．(×)(4)复利是指把上期末的本利和作为下一期的本金．(√)题型探究题型一单利与等差数列模型典例1王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”，已知当年“教育储蓄”存款的月利率是0.36%.(1)若每月存500元，则3年后，能一次支取本息多少元？(2)欲在3年后一次支取本息合计2万元，王先生每月大约存入多少元？(精确到1元)[分析]“零存整取”是单利计息方式，解答关键是理解所有的利息和为等差数列求和问题．[解析](1)每月存500元，3年后的利息为500(36×0.36%＋35×0.36%＋…＋2×0.36%＋1×0.36%)＝1198.8≈1199元，所以3年后的本息和为500×36＋1199＝19199元．(2)设王先生每月存入x元，则有xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(36＋\f(36×37,2)×0.36%))＝20000，x≈521元，故王先生每月大约存521元．[规律方法]1.本题实际上是一个“零存整取”问题，解答的关键是理解所求的本息为等差数列的求和问题．2．等差数列在日常经济生活中的应用最基本的模型是“零存整取”，即利息按单利计算．对点训练❶某人从1月起每月第一天存入100元，到12月最后一天取出全部本金和利息，已知月利率是0.165%，按单利计息，那么实际取出多少钱？[解析]实际取出的钱等于：本金＋利息．到12月最后一天取款时：第1个月存款利息：100×12×0.165%，第2个月存款利息：100×11×0.165%，…第11个月存款利息：100×2×0.165%，第12个月存款利息：100×1×0.165%，所以S12＝100×12×0.165%＋100×11×0.165%＋…＋100×2×0.165%＋100×1×0.165%＝100×0.165%(1＋2＋3＋…＋12)＝100×0.165%×eq\f(12×13,2)＝12.87.所以实际取出100×12＋12.87＝1212.87(元)．题型二复利与等比数列模型典例2某大学教授年初向银行贷款20万元用于购房，银行贷款的年利息为10%，按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)．若这笔款要分10次等额还清，每年年初还一次，并且在贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少万元？(参考数据1.110≈2.594)[分析]“定期自动转存”是复利计息方式，是等比数列模型，在计算本息和时应分清首项(本金)与公比(1与利率和)．[解析]方法一：设每年还款x万元，需10年还清，那么每年还款情况如下：第10年还款x万元，这次还款后欠款全部还清；第9年还款x万元，过一年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)万元；第8年还款x万元，过2年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)2万元；……第1年还款x万元，过9年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)9万元．依题意得：x＋x(1＋10%)＋x(1＋10%)2＋…＋x(1＋10%)9＝20(1＋10%)10，解得x＝eq\f(20×1.110×0.1,1.110－1)≈3.255(万元)．即每年应还3.255万元．方法二：第1次还款x万元之后还欠银行20(1＋10%)－x＝20×1.1－x.第2次还款x万元后还欠银行[20(1＋10%)－x](1＋10%)－x＝20×1.12－1.1x－x.……第10次还款x万元后，还欠银行20×1.110－1.19x－1.18x－…－x，依题意得，第10次还款后，欠款全部还清，故可得20×1.110－(1.19＋1.18＋1…＋1)x＝0，解得x＝eq\f(20×1.110×0.1,1.110－1)≈3.255(万元)，即每年应还3.255万元．[规律方法]复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法．复利的计算公式是S＝P(1＋r)n.对点训练❷一对夫妇为了给他们的独生孩子储备将来上大学的费用，从孩子一出生起就在孩子每年生日这一天到银行存a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款(含利息)自动转为新的一年定期，当孩子18岁上大学时(18岁的生日不再存入)将所有存款(含利息)全部取出，请你为这对夫妇算一算，能取回的钱的总数是多少？[解析]出生时的a元到18岁本利和为a(1＋r)18元；1岁生日时的a元到18岁本利和为a(1＋r)17元，……，17岁生日时的a元到18岁本利和为a(1＋r)元，由此可知存款到18岁时取回的钱的总数为a(1＋r)18＋a(1＋r)17＋…＋a(1＋r)＝eq\f(a,r)[(1＋r)19－(1＋r)](元)．即能取回的钱的总数是eq\f(a,r)[(1＋r)19－(1＋r)]元.题型三分期付款模型典例3小陆向银行贷款买房，他准备向银行贷款100万元，20年还清，偿还贷款的方式为：分20次等额归还，每年还一次，若20年期贷款的年利率为6%，且年利息均按复利计算，那么小陆每年应还多少元？(计算结果精确到1元)．(参考数据：1.0619≈3.0256，1.0620≈3.2071,1.0621≈3.3996)[解析]设每年还款x元，则第1次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x(1＋6%)19；第2次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x(1＋6%)18；……；第19次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x(1＋6%)，第20次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x元，于是还款的本利和为x(1＋6%)19＋x(1＋6%)18＋…＋x(1＋6%)＋x＝eq\f(1－1.0620,1－1.06)x≈eq\f(2.2071,0.06)x.又银行贷款20年的本利和为106(1＋6%)20≈3.2071×106元，所以eq\f(2.2071,0.06)x＝3.2071×106，解得x＝eq\f(0.06×3.2071×106,2.2071)≈87185(元)．答：每年需还款87185元．[规律方法]分期付款中的有关计算方法既是重点，又是难点，突破难点的关键在于：(1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额的增值．(注：最后一次付款没有利息)(2)明确各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和．(3)等额本息还款法是每期所付的金额相同，每期所付金额及产生的利息和成等比数列；等额本金还款法是每期所付金额为每期应还本金与所欠款额的利息，每期所付金额成等差数列．对点训练❸小王在2018年初向建行贷款50万元用于购房，银行贷款的年利率为4%，按复利计算，要求从贷款开始到2027年底分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱(保留两位小数)？(提示：(1＋4%)10≈1.48)[解析]方法一：设每年还x万元，第n年年底欠款为an，则2018年底：a1＝50(1＋4%)－x，2019年底：a2＝a1(1＋4%)－x＝50(1＋4%)2－(1＋4%)·x－x，……2027年底：a10＝a9(1＋4%)－x＝50×(1＋4%)10－(1＋4%)9·x－…－(1＋4%)·x－x＝50×(1＋4%)10－eq\f(1－(1＋4%)10,1－(1＋4%))·x＝0.解得x＝eq\f(50×(1＋4%)10[1－(1＋4%)],1－(1＋4%)10)≈6.17.即每年至少要还6.17万元．方法二：50万元10年产生本息和与每年存入x万元的本息和相等，故有购房款50万元10年的本息和：50(1＋4%)10，每年存入x万元的本息和：x·(1＋4%)9＋x(1＋4%)8＋…＋x＝eq\f(1－(1＋4%)10,1－(1＋4%))·x从而有50(1＋4%)10＝eq\f(1－(1＋4%)10,1－(1＋4%))·x解得x≈6.17，即每年至少要还6.17万元．易错警示弄错数列项数致误典例4根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的几个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn＝eq\f(n,90)(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万的月份是(C)A．5月、6月 B．6月、7月C．7月、8月 D．8月、9月[误区警示]将实际问题转化为数列问题时，极易出现弄错数列的项数，因此一定要仔细审题，弄清楚数列中的项与实际问题中的时间(如月份)之间的对应关系，尤其是首项a1代表的实际含义一定要弄清楚．[正解]∵Sn＝eq\f(n,90)(21n－n2－5)，∴Sn－1＝eq\f(n－1,90)[21(n－1)－(n－1)2－5]＝eq\f(n－1,90)(－n2＋23n－27)，∴an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n,90)(21n－n2－5)－eq\f(n－1,90)(－n2＋23n－27)＝eq\f(1,30)(－n2＋15n－9)，由eq\f(1,30)(－n2＋15n－9)>1.5，解得6<n<9，故选C．[点评]本题考查了数列前n项和的知识，二次不等式的知识，解答时充分体会二次不等式在解答中的作用以及验证法在解答选择题时的妙用.1．现存入银行10000元钱，年利率是3.60%，那么按照复利，第5年末的本利和是(C)A．10000×1.0363 B．10000×1.0364C．10000×1.0365 D．10000×1.0366[解析]按复利计息，第5年末的本利和是10000(1＋3.60%)5＝10000×1.0365，故选C．2．某工厂总产值月平均增长率为p，则年平均增长率为(D)A．p B．12pC．(1＋p)12 D．(1＋p)12－1[解析]设原有总产值为a，年平均增长率为r，则a(1＋p)12＝a(1＋r)，解得r＝(1＋p)12－1.3．某地为了保护水土资源实行退耕还林，如果2018年退耕a万亩，以后每年比上一年增加10%，那么到2025年一共退耕(A)A．10a(1.18－1)万亩 B．a(1.18－1)万亩C．10a(1.17－1)万亩 D．a(1.17－1)万亩[解析]记2018年为第一年，第n年退耕an万亩，则数列{an}为等比数列，且a1＝a，公比q＝1＋10%，则问题转化为求数列{an}的前8项